写在前面

刷题过程中，为了避免高精度的整数运算，常常会要求答案对某个数取模。但这衍生了一个新问题，如果运算过程中涉及了除法，如ab\frac{a}{b}ba，如果先对a和b取模再做除法，会导致答案错误。比如:
205mod10=4\frac{20}{5}\ mod\ 10 = 4520 mod 10=4
但是，
20mod105mod10=0\frac{20\ mod\ 10}{5\ mod\ 10} = 05 mod 1020 mod 10=0

为了解决这个问题，我们需要学习新知识：模运算下的乘法逆元。

乘法逆元

什么是逆元呢？百度百科告诉我们：逆元是指一个可以取消另一给定元素运算的元素。

比如，在实数的加法中，任意实数 a 和它的相反数 -a，互为加法逆元。因为对于任意实数 x，加上a之后，再加上-a，仍然等于 x，换言之，-a取消了x和a的加法运算。

再比如，在实数的乘法中，任意不为0的实数b和它的倒数1b\frac{1}{b}b1，互为乘法逆元。因为对于任意实数x，乘上b之后，在乘上1b\frac{1}{b}b1，仍然等于x，换言之，1b\frac{1}{b}b1取消了x 和 b 的乘法运算。

接下来看看模运算下的乘法逆元定义：如果两个整数a 和 b 满足 (a∗b−1)modp=0(a*b-1)\ mod\ p = 0(a∗b−1) mod p=0，即 a∗b≡1(modp)a*b≡1(mod\ p)a∗b≡1(mod p)，则称，a 和 b 互为模 p 的乘法逆元。

换言之，如果整数a, b, p 满足a∗b≡1(modp)a*b≡1(mod\ p)a∗b≡1(mod p)，那么 b 可以取消 a 和任意整数x在模p时的乘法，即 a 和 b 互为模 p 的乘法逆元。即 x∗a∗b≡x(modp)x*a*b≡x (mod\ p)x∗a∗b≡x(mod p)，证明过程如下：

xmodp=x(a∗b−1)+xmodp=(x∗a∗b−x)+xmodp=x∗a∗bmodp\begin{aligned} x\ mod\ p &= x(a*b-1)+x \ mod\ p \\ &= (x*a*b-x)+x \ mod \ p \\ &= x*a*b \ mod \ p \end{aligned} x mod p=x(a∗b−1)+x mod p=(x∗a∗b−x)+x mod p=x∗a∗b mod p

举个实际的例子：比如 10 和 12 互为模7时的乘法逆元。然后再找个整数，比如 18，此时有：

18mod7=418\ mod\ 7 = 4 \\ 18 mod 7=4

另有，

18∗10∗12mod7=2160mod7=4\begin{aligned} 18 * 10 * 12\ mod\ 7 &= 2160\ mod\ 7 \\ &= 4 \end{aligned} 18∗10∗12 mod 7=2160 mod 7=4

何时存在乘法逆元

结论

先说结论：a 与 p 互质 是 存在a关于模p的乘法逆元b 的充分必要条件。

存在逆元 → 互质

证明 a 与 p 互质 是 存在乘法逆元b 的必要条件。不妨先假设 a 与 b 互为模p时的乘法逆元，且a与p的最大公约数为d，则有：

(a∗b−1)modp=0(a*b-1)\ mod\ p = 0(a∗b−1) mod p=0

显然，a*b-1 为 p 的 n 倍，n 为整数，则上式转化为：

(a∗b−1)=np(a*b-1)=np(a∗b−1)=np

将等式中的a与p用d代替，则等式转化为：

(x∗d∗b−1)=n∗y∗d(x∗d∗b−n∗y∗d)=1(x∗b−n∗y)∗d=1x∗b−n∗y=1d\begin{aligned} (x*d*b-1)&=n*y*d \\ (x*d*b - n*y*d) &= 1 \\ (x*b - n*y)*d &= 1 \\ x*b - n*y &= \frac{1}{d} \\ \end{aligned} (x∗d∗b−1)(x∗d∗b−n∗y∗d)(x∗b−n∗y)∗dx∗b−n∗y=n∗y∗d=1=1=d1

显然，x*b-n*y是一个整数，所以仅当d为1时，即a与p互质时，上述等式才可能成立。

互质 → 存在逆元

证明 a 与 p 互质 是 存在乘法逆元b 的充分条件。

在证明之前先来回忆一下辗转相除法：
gcd(a,p)=gcd(p,amodp)\begin{aligned} gcd(a,p) &= gcd(p, a\ mod\ p) \\ \end{aligned} gcd(a,p)=gcd(p,a mod p)

不妨用r来表示模运算的结果：
gcd(a,p)=gcd(p,r1)=gcd(r1,r2)=...=gcd(rm−1,rm)=1//因为a与p互质\begin{aligned} gcd(a,p) &= gcd(p, r_1) \\ &= gcd(r_1,r_2) \\ &= ... \\ &= gcd(r_{m-1}, r_m) \\ &= 1\ \ //因为a与p互质 \end{aligned} gcd(a,p)=gcd(p,r1)=gcd(r1,r2)=...=gcd(rm−1,rm)=1 //因为a与p互质

将上式用除法表示，则有：
a=n1p+r1p=n2r1+r2r1=n3r2+r3...=...rm−3=nm−1rm−2+rm−1rm−2=nmrm−1rm−1=1rm=0\begin{aligned} a &= n_1p + r_1\\ p &= n_2r_1 + r_2 \\ r_1 & = n_3r_2 + r_3 \\ ... &= ... \\ r_{m-3} &= n_{m-1}r_{m-2} + r_{m-1} \\ r_{m-2} &= n_{m}r_{m-1} \\ r_{m-1} &= 1\\ r_{m} &= 0 \\ \end{aligned} apr1...rm−3rm−2rm−1rm=n1p+r1=n2r1+r2=n3r2+r3=...=nm−1rm−2+rm−1=nmrm−1=1=0

由上述的m+2个等式移项可得：
r1=a−n1pr2=p−n2r1...=...ri=ri−2−ni∗ri−1rm−1=rm−3−nm−1rm−2特别的，1=rm−1\begin{aligned} r_1 &= a - n_1p \\ r_2 &= p - n_2r_1 \\ ... &= ... \\ r_{i} &= r_{i-2} - n_{i}*r_{i-1} \\ r_{m-1} &= r_{m-3} - n_{m-1}r_{m-2} \\ 特别的，1 &= r_{m-1} \\ \end{aligned} r1r2...rirm−1特别的，1=a−n1p=p−n2r1=...=ri−2−ni∗ri−1=rm−3−nm−1rm−2=rm−1

将 r_m-1，r_m-2 … 以及 r₁ 依次代入
1=rm−11 = r_{m-1}1=rm−1

可以得到用 a，p 以及 n_i表示的等式：
ax+py=1ax+py=1ax+py=1

其中，x 与 y 为 n₁，n₂，n₃ … 的加减乘的运算结果，显然为整数。

得证，当 a 与 p 互质时，存在整数x与y 满足
ax+py=1ax−1=py(ax−1)modp=0ax≡1(modp)\begin{aligned} ax+py &= 1 \\ ax-1 &= py \\ (ax-1)\ mod\ p &= 0 \\ ax &≡ 1\ (mod\ p) \end{aligned} ax+pyax−1(ax−1) mod pax=1=py=0≡1 (mod p)

即，当 a 与 p 互质时，存在整数x 与 a互为模p时的乘法逆元。

如何计算乘法逆元

扩展欧几里得算法

回忆一下欧几里得的递归过程：
gcd(a,b)=gcd(b,amodb)=gcd(b,a−b⌊ab⌋)\begin{aligned} gcd(a,b) &= gcd(b, a\ mod\ b) \\ &= gcd(b, a - b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor) \end{aligned} gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)=gcd(b,a−b⌊ba⌋)

当 a 与 b 互质时，有 x，y，x'，y' 满足：
{ax+by=1bx′+(a−b⌊ab⌋)y′=1\left\{ \begin{aligned} ax+by=1 \\ bx'+ (a - b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)y' = 1\\ \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧ax+by=1bx′+(a−b⌊ba⌋)y′=1

将上式合并移项：
bx′+(a−b⌊ab⌋)y′=ax+bya(x−y′)+b(y−(x′−⌊ab⌋)y′)=0\begin{aligned} bx'+ (a - b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)y'&=ax+by \\ a(x-y') + b(y-(x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)y')&=0 \end{aligned} bx′+(a−b⌊ba⌋)y′a(x−y′)+b(y−(x′−⌊ba⌋)y′)=ax+by=0

令x，y，x'，y' 满足下述关系，则对于任意 a 和 b 上述公式都能成立。
{x=y′y=(x′−⌊ab⌋)y′\left\{ \begin{aligned} x &= y' \\ y &= (x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)y' \\ \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧xy=y′=(x′−⌊ba⌋)y′

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