一道有意思的概率应用题

@(概率论)

在长为L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差。

分析：这其实是具体化的均匀分布。即在线段上任取点，取的任何一点X的概率是：

fX(x)=1Lf_X(x) = \frac{1}{L}

再任取另外一点Y,X和Y相互独立且同分布。

f(x,y)=fX(x)fY(y)=1L2f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) = \frac{1}{L^2}

由此，我们再考虑以L的左端点为原点，右端点为(L,0)，即以线段作为x轴，建立坐标系。

距离Z = |X-Y|

问题转化为求EZ,DZ。

EZ=E|X−Y|

EZ = E|X-Y|

主要是思考如何求解绝对值型的期望。

注意是在二维下：

E|X−Y|=∫+∞−∞∫+∞−∞|x−y|f(x,y)dxdyE|X-Y| = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}|x-y|f(x,y)dxdy

一般情况下用绝对值取0的分界线将积分区域一分为二即可。
因此，

E|X−Y|=∫L0dx∫x01L2(x−y)dy+∫L0dy∫y01L2(y−x)dx=L3

E|X-Y| = \int_{0}^{L}dx\int_{0}^{x}\frac{1}{L^2}(x-y)dy +\int_{0}^{L}dy\int_{0}^{y}\frac{1}{L^2}(y-x)dx \\= \frac{L}{3}

而D|X−Y|=E|X−Y|2−(E|X−Y|)2D|X-Y| = E|X-Y|^2 - (E|X-Y|)^2

E|X−Y|2=∫L0dx∫L01L2(x−y)2dy=L26

E|X-Y|^2 = \int_{0}^{L}dx\int_{0}^{L}\frac{1}{L^2}(x-y)^2dy \\= \frac{L^2}{6}

所以，D|X−Y|=L218D|X-Y| = \frac{L^2}{18}

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