文章目录

参考资料
1. 题目描述
2. 问题分析
- 1. 问题 1
- - 分析
  - python代码实现
- 2. 问题 2-1
- 3. 问题 2-2

参考资料

https://max.book118.com/html/2018/1105/8117074134001131.shtm
《一道运动学赛题的巧解及延伸》
https://zhuanlan.zhihu.com/p/364295457

这两天参加了深圳一家企业的线下笔试，这个公司出了一道当时觉得挺有意思的数学题，于是回学校后网上搜了下发现有类似的题，所以在这边总结一下。

1. 题目描述

3辆飞船A、B、C初始位置分别处于一个边长为LLL的等边三角形的顶点上，即A点坐标为(32L,0)(\frac{\sqrt{3}}{2}L,0)(23L,0)，B点坐标为(L2,0)(\frac{L}{2},0)(2L,0)，C点坐标为(−L2,0)(-\frac{L}{2},0)(−2L,0)。飞船飞行过程中，飞船均具有相等的速度vvv，并且A始终朝着B前进，B始终朝着C前进，C始终朝着A前进。

问题1：从初始到t1t_1t1时刻，飞船A,B,C的运行轨迹（假设采样时间为Δt\Delta tΔt）。
问题2：到无穷远时刻时，飞船A,B,C最终的状态是怎样的？如果三者速度不相等，那么此时飞船A,B,C最终的状态又是怎样的？请推到分析。

2. 问题分析

1. 问题 1

对于问题1，当时错误理解成A、B、C在一开始的等边三角形的边上运动了，所以三下五除二就写出来了，很快啊（真的笑哭）。。

分析

由题意可知，三辆飞船因为速度相等，所以每时每刻飞船之间的距离都是相等的，即每时每刻都构成一个等边三角形，大致如图所示，他们依据某种螺旋曲线靠近。

我们从飞船A开始推导，其他两只飞船同理。假设ttt时刻飞船A的坐标为PA(t)P_A(t)PA(t)，那么根据向量的关系，很容易得到下一时刻飞船A的位置为
PA(t+1)=PA(t)+nAB(t)vΔt(1)\tag{1} P_A(t+1)=P_A(t)+n_{AB}(t)v\Delta t PA(t+1)=PA(t)+nAB(t)vΔt(1)

nAB(t)n_{AB}(t)nAB(t)为ttt时刻，飞船AAA指向飞船BBB的单位向量，它等于
nAB(t)=PB(t)−PA(t)∣∣PB(t)−PA(t)∣∣(2)\tag{2} n_{AB}(t)=\frac{P_B(t)-P_A(t)}{||P_B(t)-P_A(t)||} nAB(t)=∣∣PB(t)−PA(t)∣∣PB(t)−PA(t)(2)
将等式(2)带入等式(1)，可得飞船A飞行的实时轨迹为
PA(t+1)=PA(t)+PB(t)−PA(t)∣∣PB(t)−PA(t)∣∣vΔt(3)\tag{3} P_A(t+1)=P_A(t)+\frac{P_B(t)-P_A(t)}{||P_B(t)-P_A(t)||}v\Delta t PA(t+1)=PA(t)+∣∣PB(t)−PA(t)∣∣PB(t)−PA(t)vΔt(3)
同理，B、C飞船的轨迹为
PB(t+1)=PB(t)+PC(t)−PB(t)∣∣PC(t)−PB(t)∣∣vΔt(4)\tag{4} P_B(t+1)=P_B(t)+\frac{P_C(t)-P_B(t)}{||P_C(t)-P_B(t)||}v\Delta t PB(t+1)=PB(t)+∣∣PC(t)−PB(t)∣∣PC(t)−PB(t)vΔt(4)
PC(t+1)=PC(t)+PA(t)−PC(t)∣∣PA(t)−PC(t)∣∣vΔt(5)\tag{5} P_C(t+1)=P_C(t)+\frac{P_A(t)-P_C(t)}{||P_A(t)-P_C(t)||}v\Delta t PC(t+1)=PC(t)+∣∣PA(t)−PC(t)∣∣PA(t)−PC(t)vΔt(5)

根据等式(3)-(5)，通过不停地迭代，即可求出从0时刻到t1t_1t1时刻的完整轨迹。

python代码实现

为了更好地画图展示效果，这边使用python编程。代码仓库见于github链接。

导入相关库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from celluloid import Camera  # 保存动图时用，pip install celluloid%matplotlib qt5

参数设置

# 采样时间
dt=0.01
# 原等边三角形长度
L=1
# 初始坐标点
p_a = np.array([0,np.sqrt(3)/2*L])
p_b = np.array([1/2*L,0])
p_c = np.array([-1/2*L,0])
# 速度
v_a = 1.0
v_b = 1.0
v_c = 1.0p_center=np.array([0,1/np.sqrt(3)/2]) # 等边三角形中心# 存储轨迹
trajectory_a=[]
trajectory_b=[]
trajectory_c=[]# 假设到t时刻停止
t = 1

迭代公式

def trajectory_point(p_1,p_2,v):n_ = (p_2-p_1)/np.linalg.norm(p_2-p_1)p_now = p_1+n_*v*dtreturn p_now

求解轨迹

def all_trajectory(p_1,p_2,p_3,v_a,v_b,v_c):delta=0while(delta<t/dt):p__1=trajectory_point(p_1,p_2,v_a)p__2=trajectory_point(p_2,p_3,v_b)p__3=trajectory_point(p_3,p_1,v_c)delta+=1p_1,p_2,p_3=p__1,p__2,p__3trajectory_a.append(p_1)trajectory_b.append(p_2)trajectory_c.append(p_3)return p__1,p__2,p__3all_trajectory(p_a,p_b,p_c,v_a,v_b,v_c)trajectory_a=np.array(trajectory_a)
trajectory_b=np.array(trajectory_b)
trajectory_c=np.array(trajectory_c)

画图

fig = plt.figure()
camera = Camera(fig)  # 保存动图用
for i in range(len(trajectory_a)):plt.cla()plt.plot([p_a[0], p_b[0]], [p_a[1], p_b[1]], '-.r', linewidth=1.0)plt.plot([p_b[0], p_c[0]], [p_b[1], p_c[1]], '-.r', linewidth=1.0)plt.plot([p_c[0], p_a[0]], [p_c[1], p_a[1]], '-.r', linewidth=1.0)plt.scatter(p_center[0],p_center[1])plt.plot(trajectory_a[0:i,0], trajectory_a[0:i,1], '-r',label="A")plt.plot(trajectory_b[0:i,0],trajectory_b[0:i,1],'-g',label="B")plt.plot(trajectory_c[0:i,0], trajectory_c[0:i,1], '-b',label="C")plt.legend()plt.xlabel('x/m')plt.ylabel('y/m')plt.axis('square')plt.grid(True)plt.pause(0.001)# camera.snap()# animation = camera.animate()
# animation.save('trajectory.gif')plt.show()

运行轨迹如图所示：

2. 问题 2-1

其实我们可以很容易猜到，三辆飞船在速度相等的情况下，一定会在经过一段时间后三艘飞船相遇在原等边三角形的中心处，因为他们是高度对称的。那么是在什么时候相遇呢，可以看下面推导。

解法 1

根据题意，由于三个飞船都作等速率曲线运动, 而任一时刻三艘飞船的位置都在正三角形的三个顶点上, 但这三角形的边长不断缩小, 如图所示。

现把从开始到追上的时间 ttt 分成 nnn 个相等的时间间隔 Δt\Delta tΔt, 在每个微小的时间间隔内, 每艘飞船的运动都可看成是直线运动. 经 Δt,2Δt,3Δt,⋯⋯nΔt\Delta t, 2 \Delta t, 3 \Delta t, \cdots \cdots n \Delta tΔt,2Δt,3Δt,⋯⋯nΔt, 对应的三角形边长依次为 L1,L2,L3⋯⋯LnL_1, L_2, L_3 \cdots \cdots L_nL1,L2,L3⋯⋯Ln。当 Ln→0L_n \rightarrow 0Ln→0 时三艘飞船相聚。

A1B1A_1 B_1A1B1 与 A1B1′A_1 B_1^{\prime}A1B1′，差为二阶小量，所以
L1=A1B1≈A1B1′=L−AA1−BB1cos⁡60∘=L−32vΔtL_1=A_1 B_1\approx A_1 B_1^{\prime}=L-A A_1-B B_1 \cos 60^{\circ}=L-\frac{3}{2} v \Delta tL1=A1B1≈A1B1′=L−AA1−BB1cos60∘=L−23vΔt

同理
L2=L1−32vΔt=L−232vΔt,L3=L2−32vΔt=L−332vΔt,⋯⋯Ln=L−n32vΔtL_2=L_1-\frac{3}{2} v \Delta t=L-2 \frac{3}{2} v \Delta t,\\ \\ \\ L_3=L_2-\frac{3}{2} v \Delta t=L-3 \frac{3}{2} v \Delta t, \\ \\ \cdots \cdots L_n=L-n \frac{3}{2} v \Delta tL2=L1−23vΔt=L−223vΔt,L3=L2−23vΔt=L−323vΔt,⋯⋯Ln=L−n23vΔt

当 Ln→0L_n \rightarrow 0Ln→0 时三艘飞船相聚, 得 t=nΔt=2L3vt=n \Delta t=\frac{2 L}{3 v}t=nΔt=3v2L。每艘飞船走过的路程 s=vt=2L3s=v t=\frac{2 L}{3}s=vt=32L.

解法2

因三艘飞船都作等速率曲线运动, 而任一时刻三艘飞船的位置都在正三角形的三个顶点上, 即速度沿三角形中心的分速度不变, 指向三角形中心的分速度
v′=vcos⁡30∘v^{\prime}=v \cos 30^{\circ}v′=vcos30∘
沿三角形中心的位移
s′=L2cos⁡30°s'=\frac{L}{2\cos 30°}s′=2cos30°L
则时间t=s′v′=2L3vt=\frac{s'}{v'}=\frac{2L}{3v}t=v′s′=3v2L
从开始到相遇每艘飞船走过的路程为
s=vt=2L3s=vt=\frac{2L}{3}s=vt=32L

3. 问题 2-2

如果三艘飞船的速度各不相等，那么很显然，最终相遇点不会是原等边三角形的中心。显然相遇点会偏向速度更慢的飞船。

例如，vA>vB>vCv_A>v_B>v_CvA>vB>vC，大致的运行轨迹如下所示：

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