1. 生成树和最小生成树的概念

设图G(V,E)连通，则
生成树：包含图G(V,E)中的所有节点，及|V|-1条边的连通图，一个图的生成树可以有多颗
最小生成树：最小权重生成树，在生成树的概念上加一个限制条件，即生成树的所有边的权值总和最小的树，最小生成树也可以有多颗

2. 求解最小生成树的通用方法

由于最小生成树包含图G的所有边，所以我们需要做的只是寻找最小生成树的边集A

设：边集A是图G的任意一颗最小生成树的边的子集，初始时A为空当A不等于G的某个最小生成树的所有边集M时循环以下步骤 找到一条属于M但不属于A的边，加入到A中

现在问题我们如何去寻找那条只属于M但不属于A的边

边v的寻找方法
当A为空时，图G(V,A)是一个有|V|个树的森林，当A中有n条边时，n<|V|-1,图G是一个有|V|-(n+1)个树的森林，我们需要寻找的边v的加入会导致图G中的森林数目减1边v是这样一条边

• 边v的两端的节点属于两颗不同的树
• 边v的权值是所有满足以上条件中权值最小的

3. Kruskal和Prim 算法

Kruskal和Prim 算法是最小生成树常用的两种算法，这两种算法都是对上述通用方法的细化，不同之处就是对边v的寻找方法上有所差异，Kruskal算法又叫做(边扩展)算法，适用于边稀疏的图，Prim算法叫做(节点扩展算法)，适用于边稠密的图

4. Kruskal算法

• 4.1. 概念
  Kruskal算法的特点是上述A中的边可以属于多颗不同的树
• 4.2. 辅助函数 MakeSet(x)

MakeSet操作创建一个包含|V|颗树的集合，每颗树只包含一个节点，我们要为每个节点x添加两个属性

 var MakeSet = (function(){let set = new Set();return function(x) {x.parent = x;x.rank = 0;if(!set.has(x)) set.add(x);return set;}
})();

• 4.3. 辅助函数 Find(x)

找到并返回x节点所在的那颗树的根节点，用于判断两个节点是否在同一颗树中，即是否相交

 function Find(x) {if (x.parent != x)x.parent = Find(x.parent);return x.parent;
}

• 4.4. 辅助函数 Union(u, v)

Union函数旨在合并两个节点，应该将这里的合并和在图G中的连通区分开，我们通过不断调用union来改变MakeSet集合中元素的连通性，被合并的两个节点会变成一颗数,当然读者也可以实现自己的Union,随意实现都行，只有调用Union操作之后改变了MakeSet,中图的连通性，是的u，v节点处于同一颗树就行,本文的Union方法采用的思想是 按秩合并(秩 rank)、路径压缩 ，通过这种方式创建的树的节点分布,会比较均匀，平衡性较高，也就导致操作效率很高

function Union(u, v) {let uRoot = Find(u);let vRoot = Find(v);// 如果 u 和 v 在同一颗树if (uRoot == vRoot) return;// 如果 u 和 v 不在同一颗树中，合并它们// 如果 uRoot 的层级比 vRoot 的小,将 uRoot 作为 vRoot 前驱节点if (uRoot.rank < vRoot.rank) uRoot.parent = vRoot;// 如果 uRoot 的层级比 vRoot 的大,将 vRoot 作为 uRoot 前驱节点else if (uRoot.rank > vRoot.rank) vRoot.parent = uRoot;//将 uRoot 设置为根节点,并将 uRoot 的层级加一else {vRoot.parent = uRoot;uRoot.rank = uRoot.rank + 1;}
}

• 4.5. Kruskal算法

Kruskal算法旨在寻找最小生成数中包含哪些边,在后面的完整代码中，该函数的实现会有所不同，这里着重体会原理

function Kruskal(G, w) {let A = []; //A用于存放最小生成数所包含的边for(let x of G.V) {MakeSet(x);}//对G.E按照边的权中从小到大排序for(let e of G.E) {quickSort(0, G.E.length-1, G.E, 'w');}//由于边已经按照从小到大的顺序有序，所以这里只需要寻找不相交的边(边所在的树不相交)，for(let e of G.E) {if(Find(e.u)!=Find(e.v)) {A.push(e);Union(e.u, e.v); //改变连通性}}return A;
}

• 4.6. 图，顶点，边，的数据结构

这里的数据结构及如何建图参照 BFS,DFS 算法原理及js实现，这里不做详细说明

//顶点数据结构
function Vertex() {if (!(this instanceof Vertex))return new Vertex();this.edges = null; //由顶点发出的所有边this.id = null; //节点的唯一标识this.data = null; //存放节点的数据
}//数据结构 邻接链表-边
function Edge() {if (!(this instanceof Edge))return new Edge();this.index = null; //边所依附的节点的位置this.sibling = null;this.w = null; //保存边的权值
}//数据结构 图-G
function Graph() {if (!(this instanceof Graph))return new Graph();this.V = []; //节点集this.E = []; //边集this.refer = new Map(); //字典 用来映射标节点的识符和数组中的位置
}
Graph.prototype = {constructor: Graph,//这里加进来的已经具备了边的关系//创建图的 节点initVertex: function(vertexs) {//创建节点并初始化节点属性 idfor (let v of vertexs) {let vertex = Vertex();vertex.id = v.id;this.V.push(vertex);}//初始化 字典for (let i in this.V) {this.refer.set(this.V[i].id, i);}},//建立图中 边 的关系initEdge: (function() {//创建链表，返回链表的第一个节点function createLink(index, len, edges, refer) {if (index >= len) return null;let edgeNode = Edge();edgeNode.index = refer.get(edges[index].id); //边连接的节点 用在数组中的位置表示 参照字典edgeNode.w = edges[index].w; //边的权值edgeNode.sibling = createLink(++index, len, edges, refer); //通过递归实现 回溯return edgeNode;}return function(edges) {for (let field in edges) {let index = this.refer.get(field); //从字典表中找出节点在 V 中的位置let vertex = this.V[index]; //获取节点vertex.edges = createLink(0, edges[field].length, edges[field], this.refer);}}}()),storageEdge: function(edges) {this.E = edges;}
}var vertexs = [{id:'a'}, {id:'b'}, {id:'c'}, {id:'d'}, {id:'e'}];
var edges = [{u:'a',v:'b',w:3},{u:'a',v:'c',w:1},{u:'b',v:'a',w:3},{u:'b',v:'c',w:4},{u:'b',v:'d',w:5},{u:'c',v:'a',w:1},{u:'c',v:'b',w:4},{u:'c',v:'d',w:6},{u:'c',v:'e',w:7},{u:'d',v:'b',w:5},{u:'d',v:'c',w:6},{u:'d',v:'e',w:2},{u:'e',v:'c',w:7},{u:'e',v:'d',w:6}
]var g = Graph();
g.initVertex(vertexs);
g.storageEdge(edges);

运行这部分代码，生成了用于Kruskal算法输入的图

• 4.7. 完整代码及测试

测试的算法的输入图为上图，红色的边为最终最小生成树包含的边，出现顺序依次为 ac,de,ab,bd,这里的输入图为无向图

//快速排序 数组a由对象组成 key为排序的参照指标 quickSort(0,a.length-1,a,'key')
function quickSort(left, right, a, key) {if (left > right)return;var i = left;var j = right;var benchMark = a[i];var temp;while (i != j) {//移动 jwhile (a[j][key] >= benchMark[key] && i < j)j--;//移动 iwhile (a[i][key] <= benchMark[key] && i < j)i++;if (i < j) {temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}}a[left] = a[i];a[i] = benchMark;quickSort(left, i - 1, a, key);quickSort(i + 1, right, a, key);
}var MakeSet = (function() {let set = new Set();return function(x) {x.parent = x;x.rank = 0;if (!set.has(x)) set.add(x);return set;}
})();//体会两个 Find 方法的不同
// function Find(x) {
//     if (x.parent != x)
//         Find(x.parent);
//     return x.parent;
// }function Find(x) {if (x.parent != x)x.parent = Find(x.parent);return x.parent;
}function Union(u, v) {let uRoot = Find(u);let vRoot = Find(v);// 如果 u 和 v 在同一颗树if (uRoot == vRoot) return;// 如果 u 和 v 不在同一颗树中，合并它们// 如果 uRoot 的层级比 vRoot 的小,将 uRoot 作为 vRoot 前驱节点if (uRoot.rank < vRoot.rank) uRoot.parent = vRoot;// 如果 uRoot 的层级比 vRoot 的大,将 vRoot 作为 uRoot 前驱节点else if (uRoot.rank > vRoot.rank) vRoot.parent = uRoot;//任选一个作为根节点else {vRoot.parent = uRoot;uRoot.rank = uRoot.rank + 1;}
}function Kruskal(G) {let A = []; //A用于存放最小生成数所包含的边for(let x of G.V) {MakeSet(x);}//对G.E按照边的权中从小到大排序for(let e of G.E) {quickSort(0, G.E.length-1, G.E, 'w');}for(let e of G.E) {let u = G.V[G.refer.get(e.u)];let v = G.V[G.refer.get(e.v)];if(Find(u)!=Find(v)) {A.push(e);Union(u, v);}}return A;
}function Vertex() {if (!(this instanceof Vertex))return new Vertex();this.edges = null; //由顶点发出的所有边this.id = null; //节点的唯一标识this.data = null; //存放节点的数据
}//数据结构 邻接链表-边
function Edge() {if (!(this instanceof Edge))return new Edge();this.index = null; //边所依附的节点的位置this.sibling = null;this.w = null; //保存边的权值
}//数据结构 图-G
function Graph() {if (!(this instanceof Graph))return new Graph();this.V = []; //节点集this.E = [];this.refer = new Map(); //字典 用来映射标节点的识符和数组中的位置
}
Graph.prototype = {constructor: Graph,//这里加进来的已经具备了边的关系//创建图的 节点initVertex: function(vertexs) {//创建节点并初始化节点属性 idfor (let v of vertexs) {let vertex = Vertex();vertex.id = v.id;this.V.push(vertex);}//初始化 字典for (let i in this.V) {this.refer.set(this.V[i].id, i);}},//建立图中 边 的关系initEdge: (function() {//创建链表，返回链表的第一个节点function createLink(index, len, edges, refer) {if (index >= len) return null;let edgeNode = Edge();edgeNode.index = refer.get(edges[index].id); //边连接的节点 用在数组中的位置表示 参照字典edgeNode.w = edges[index].w; //边的权值edgeNode.sibling = createLink(++index, len, edges, refer); //通过递归实现 回溯return edgeNode;}return function(edges) {for (let field in edges) {let index = this.refer.get(field); //从字典表中找出节点在 V 中的位置let vertex = this.V[index]; //获取节点vertex.edges = createLink(0, edges[field].length, edges[field], this.refer);}}}()),storageEdge: function(edges) {this.E = edges;}
}//测试数据
var vertexs = [{id:'a'}, {id:'b'}, {id:'c'}, {id:'d'}, {id:'e'}];
var edges = [{u:'a',v:'b',w:3},{u:'a',v:'c',w:1},{u:'b',v:'a',w:3},{u:'b',v:'c',w:4},{u:'b',v:'d',w:5},{u:'c',v:'a',w:1},{u:'c',v:'b',w:4},{u:'c',v:'d',w:6},{u:'c',v:'e',w:7},{u:'d',v:'b',w:5},{u:'d',v:'c',w:6},{u:'d',v:'e',w:2},{u:'e',v:'c',w:7},{u:'e',v:'d',w:6}
]var g = Graph();
g.initVertex(vertexs);
g.storageEdge(edges);
var A = Kruskal(g);
console.log(A);