向量间的距离和范数到线性空间、赋范空间、內积空间
参考：
https://baike.baidu.com/item/%E8%B5%8B%E8%8C%83%E7%A9%BA%E9%97%B4/2285667?fr=aladdin
http://blog.csdn.net/mr_hai_cn/article/details/53207307#reply
http://blog.csdn.net/soudog/article/details/2050632
https://www.zhihu.com/question/19967778
距离
首先我们给出距离的定义。以了解数学上关于距离抽象的定义。
如果满足上面的3个条件，我们就称d(x,y)是这两点之间的距离。
另外我们需要理解的是，距离度量的是一种长度，既然距离是长度的量化，那么度量的就有可能是直线也有可能是曲线，就像在地球仪上找2点距离，就需要画一个大圆，然后求弧长。
向量间距离
上面讨论的距离，只是一种高度概括抽象的距离的特性。这里给出其中常用的几种具体的向量间距离公式。情形1到情形3，分别是欧氏距离，棋盘距离，曼哈顿距离（也叫城市距离）。
向量范数
向量范数可以看成向量x=(x1,x2,…,xn)到零点的距离。
当我们这样理解范数的时候，那么对上面3种情形的距离公式，我们得到的对应的向量的范数就为：
我们会发现向量的范数与向量间的距离的公式很相似，即是其中的那个y向量为0时的情况。之所以所有的向量范数都以0向量为标准，是因为在线性空间中0向量是唯一不变的。
各种空间的关系
在我们继续展开讨论之前，我希望给出一个总括性的结论，让大家对数学上提出的各种空间的相互关系有一个总的认识。线性空间（向量空间）是一个比较初级的空间，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义了角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。这些空间都是线性空间。
那么什么是完备性呢？
如果我们想研究收敛性（极限）怎么办？—定义完备性
简单的说就是空间在极限运算中，取极限不能跑出去。所以，显然有理数集，无理数集不具有完备性。实数集具有完备性。
各空间之间差别的简化展示
1.线性空间（向量空间）
线性空间又称作向量空间，关注的是向量的位置，对于一个线性空间，知道基（相当于三维空间中的坐标系）便可确定空间中元素的坐标（即位置）；线性空间只定义了加法和数乘运算。
如果我们想知道向量的长度怎么办？—-定义范数，引入赋范线性空间
2.赋范线性空间定义了范数的线性空间！！
如果我们想知道向量的夹角怎么办？—-定义内积，引入内积空间
3.内积空间定义了内积的线性空间！！
4.欧式空间定义了内积的有限维实线性空间！！
如果我们想研究收敛性（极限）怎么办？—-定义完备
5.Banach空间完备的赋范线性空间！！！
6.Hilbert空间完备的内积空间！！！（极限运算中不能跑出度量的范围）
线性空间
线性空间又称作向量空间，关注的是向量的位置，对于一个线性空间，知道基（相当于三维空间中的坐标系）便可确定空间中元素的坐标（即位置）；线性空间只定义了加法和数乘运算。
如果我们想知道向量的长度怎么办？—定义范数，引入赋范线性空间。即在线性空间中，我们是无法得出向量的长度的。
向量空间和线性空间的细微区别
线性空间和向量空间基本上是一个东西，但是线性空间中的元素可以是任何东西；在选定基以后可以表示成向量的形式，所以线性空间也叫向量空间。
具体来说，向量空间是狭义的，他的元素只能是向量。线性空间是广义的，他的元素可以任何东西，可以是向量，矩阵，多项式，函数……在线性空间选定了基以后就可以表示成向量的形式，这时2者就是同一个意思了。
线性空间的一些直观理解
摘抄于http://blog.csdn.net/soudog/article/details/2050632，感谢作者。
在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。或者我们也可以把矩阵理解为映射，一种变换函数，通过矩阵的乘法将原始点映射到想要映射的终点。
需要注意的是，上面的一句话中的运动并不是在说真正意义上的运动，即它所造成的结果（形成映射的终点）的过程并不会经过这个线性空间中的任何一个无关点，即不会形成路径到达终点。所以矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动改成矩阵是线性空间里跃迁的描述更为准确。
基
基是一组线性无关的內积为0的向量的集合。
直观地理解，选基就是找坐标系。
相似矩阵
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：
上面的公式也就是相似矩阵的定义公式。
从这里看，所谓的相似矩阵，就是同一个线性变换在不同基上的描述矩阵。也就是说一族相似矩阵都是对同一个线性变换在不同基下的描述。
赋范空间 （赋范线性空间）
首先给出百度百科上关于赋范空间的定义。
从上面的定义可以看出，赋范空间中添加了范数这一概念。所以导致添加了范数的线性空间形成了一个新的空间叫做赋范空间。因此赋范空间有向量的模长，即范数。也就是可以讨论长度了。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角，为了克服这一缺陷，我们引入了內积的概念。
內积空间
内积空间是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们严格地讨论矢量的“夹角”和“长度”。
向量间的距离和范数到线性空间、赋范空间、內积空间相关推荐
- 向量 模（module） 范数（norm）
1,向量的模和范数的计算结果都是一个实数,这个数字对应着单个向量的长度或者两个向量之间的距离. 2,在空间几何中(经常是2或3维空间),常用模来表示向量的长度或两个向量间的距离,符号为||x⃗\vec ...
- 【MQ笔记】聊一聊空间（线性空间、赋范空间、度量空间、内积空间、欧氏空间、酉空间）
哇,开始重新补数学知识了以后,才发现有好多"XX空间"这样的概念啊,这本书说这个,那篇文章又用那个,搞得人云里雾里,所以在这里把基础知识整理一下,主要关注"空间" ...
- 线性空间，赋范线性空间，內积空间，Hilbert空间等
今天学习Hilbert空间,在知乎上查找了一些资料,知道了这几个空间的区别与联系.(仅做个人知识学习笔记) 贴上链接:https://www.zhihu.com/question/19967778/a ...
- 用python实现（1.求输入的百倍，十位，个位数；2.输入a,b和ab间夹角，计算c边长；3.计算两点间曼哈顿距离；4.计算给定数据的几何平均数；5.计算向量的L1和L2范数）
import math from random import choices from functools import reduce print("1.获取输入整数的百位,十位,个位数(无 ...
- （《机器学习》完整版系列）附录 ——7、有趣的距离与范数（距离是两点之间的，如果将一个点固定在原点，则为向量的范数）
聚类的相似度通常用距离来刻划,距离又分为"(度量)距离"和"非度量距离","度量距离"由四条基本性质而"非度量距离"少满 ...
- 电子计算机应用地质地貌,岩土基础整理 一、高数24 1、空间解析几何与向量代数 两点间的距离，向量数量积，向量向量积，平面方程，两平面夹角，点到平面的距离，点... - 雪球...
来源:雪球App,作者: 超级奶爸xujunhorse,(https://xueqiu.com/3442498082/131579485) 一.高数24 1.空间解析几何与向量代数 两点间的距离,向量 ...
- 计算两个向量间的欧氏距离_计算不同长度的两个向量之间的距离
欧几里德距离公式找出了欧几里德空间中任意两点之间的距离. 欧几里德空间中的一点也被称为欧几里德矢量. 您可以使用欧氏距离公式来计算两个不同长度的向量之间的距离. 对于不同维度的矢量,适用相同的原理. ...
- 欧氏空间距离和内积_线性空间，度量空间，赋范空间，线性赋范空间，内积空间，巴拿赫空间以及希尔伯特空间、拓扑空间...
1. 距离.向量空间.度量空间.线性度量空间 距离包括各个点之间的距离,向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离等. 距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异,下面是关于距离的属性: 1)元素之 ...
- 高等工程数学 —— 第一章 （1）距离与范数
前言 研一生活开始了,看了大家对我之前博客的鼓励让我知道写博客是一件多么有意义的事情.写这些让我遇见许多陌生的有缘人,有老骥伏枥的大叔.也有可爱温暖的学妹-- 这里将高等工程数学的笔记留给不爱吃香菜的 ...
- Matlab Tricks（十八）—— 矩阵间元素距离的计算
两个矩阵间元素(向量)距离的度量,首先想到的是遍历,循环的方式,显然 matlab 下的编程并不推荐,matlab 下矩阵向量化编程效率尤高. 先考虑两个向量距离的计算: ∥x−y∥2=∥x∥2+∥y ...
最新文章
- oracle删除临时表空间一直处于等待状态
- 知识点030-邮件告诉自己备份是否成功
- redis 2m数据读取_Flink读写Redis（二）读取redis数据
- 神牛笔记：吉林大学ACM总结（fennec）
- “算法”的茧房，如何破局？
- 2015计算机类专业课类试卷,2015年自考《计算机应用基础》模拟试题及答案
- 红帽将停止支持 CentOS 8；2020 百度沸点揭晓年度知识热词；Qt 6.0 发布|极客头条...
- bootdo增加多级菜单
- 原型工具MockingBot 墨刀
- ChatGPT提问指令大全
- 如何将华氏转换为摄氏
- 除留余数法构造哈希函数并用链地址法处理哈希冲突【C++实现】
- 理论总结-三次样条插值
- 南理工计算机学院基础实验中心,数学实验教学中心
- 【指纹识别】指纹识别【含GUI Matlab源码 029期】
- pytorch CUDNN_STATUS_MAPPING_ERROR
- UE4 AndroidSDK配置
- gsoap linux 编译,gSOAP嵌入式linux下的移植与程序开发
- 在你转角看不到的温柔
- 瑞星宣布个人杀毒产品免费 行业告别收费时代