仿射变换（Affine transformation）与python实践

仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间（vector space）进行一次线性变换（linear transformation）并拼上一个平移（Translation ）。所以，本质上仿射变换针对的是某一向量空间（当然该空间中的任一向量）。

其矩阵表达形式（matrix formal）为：

y⃗ m×1=Am×nx⃗ n×1+b⃗ m×1

\vec{y}_{m\times 1}=A_{m\times n}\vec{x}_{n\times 1}+\vec{b}_{m\times 1}
表示为一个对向量 x⃗ \vec{x}平移 b⃗ \vec{b}，与旋转缩放 AA的仿射映射。
也即这里的AA控制旋转与缩放， bb控制平移；
也即仿射变换实现了 Rn\mathbb{R}^n （ x⃗ ∈Rn\vec x\in \mathbb{R}^n）空间向 Rm\mathbb{R}^m（ y⃗ ∈Rm\vec y\in \mathbb{R}^m）空间的映射。

上式在齐次坐标（homogeneous coordinates）上，等价于：

[y⃗ 1](m+1)×1=[A0,…,0b⃗ 1](m+1)×(n+1)+[x⃗ 1](m+1)×1

\begin{bmatrix} \vec{y}\\ 1 \end{bmatrix}_{(m+1)\times 1}= \begin{bmatrix} A&\vec{b}\\ 0,\ldots,0&1 \end{bmatrix}_{(m+1)\times{(n+1)}}+ \begin{bmatrix} \vec{x}\\ 1 \end{bmatrix}_{(m+1)\times 1}

我们使用python语言对之进行演示：

import numpy as np
x = np.array((1, 2, 3))
b = np.ones(2)
A = np.random.rand(2, 3)
y1 = np.dot(A, x) + b#  array([ 4.17327185,  4.0755495 ])A_aug = np.hstack((A, b.reshape((-1, 1))))
A_aug = np.vstack((A_aug, np.hstack(np.zeros(3), 1).reshape((1, -1))))
y2 = np.dot(A_aug, np.hstack((x, 1)).reshape((-1, 1)))# array([[ 4.17327185],# [ 4.0755495 ],# [ 1.        ]])# 上述构造的方式仍稍显繁琐，这里再提供一种方式
A_aug = np.zeros((A.shape[0]+1, A.shape[1]+1))
A_aug[-1, -1] = 1
A_aug[:-1, :-1] = A
A_aug[:-1, -1] = b
np.dot(A_aug, np.hstack((x, 1)).reshape((-1, 1)))

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