数学物理方法 06 定解问题
第六章定解问题 \color{blue}{第六章 定解问题}
§6.1引言 \color{blue}{\S 6.1 引言}
6.1.1数理方程简介 \color{blue}{6.1.1 数理方程简介}
1.数学物理方程概念 1.数学物理方程概念
数学物理方程是指从物理、工程问题中,导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程. 数学物理方程是指从物理、工程问题中,导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间\\ 相互制约关系的一些偏微分方程.
数学物理方程{线性方程非线性方程 数学物理方程 \left \{ \begin{array}{l}线性方程 \\ 非线性方程 \end{array} \right.
2.数理方程的产生和发展 2.数理方程的产生和发展
(1)18世纪初期:taylor:u tt =a 2 u xx +f (1) 18世纪初期: taylor:u_{tt} = a^2 u_{xx} + f
(2)19世纪中期:三类数学物理方程: (2) 19世纪中期: 三类数学物理方程:
波动方程:u tt =a 2 Δu+f \color{blue}{波动方程:u_{tt} = a^2 \Delta u + f}
u−波动,a−波速,f−与源有关的函数 u - 波动, a-波速, f-与源有关的函数
输运方程:u t =DΔu+f \color{blue}{输运方程: u_{t} = D \Delta u + f}
u−浓度,D−系数,f−与源有关的已知量 u - 浓度, D - 系数, f - 与源有关的已知量
泊松方程:Δu=−h \color{blue}{泊松方程: \Delta u = - h}
h−与源有关的已知量,u−表示稳定物理量 h - 与源有关的已知量, u - 表示稳定物理量
(3)19世纪末到20世纪初 (3) 19世纪末到20世纪初
高阶方程(梁的横震动):u tt =a 2 u xxxx +f(x,t) \color{blue}{高阶方程(梁的横震动): u_{tt} = a^2 u_{xxxx} + f(x, t)}
非线性方程:KdV:u t +σuu x +u xxx =0 \color{blue}{非线性方程: KdV: u_t + \sigma u u_x + u_{xxx} = 0}
schro ¨ −dinger:iℏ∂ψ∂t =−ℏ 2 2u Δψ+U(r)ψ \color{blue}{schr \ddot o -dinger: i\hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t} = - \dfrac{\hbar ^2}{2 u} \Delta \psi + U(r) \psi}
6.1.2用数理方法研究问题的步骤 \color{blue}{6.1.2 用数理方法研究问题的步骤}
1.写出定解问题 1.写出定解问题
{泛定方程:数理方程(一般规律)定解条件:初始、边界、衔接条件(个性) \left \{ \begin{array}{l} 泛定方程:数理方程(一般规律) \\ 定解条件: 初始、边界、衔接条件(个性) \end{array} \right.
如:y ′′ (t)−4y=0−−泛定方程 如:y^{\prime \prime}(t) - 4y = 0 -- 泛定方程
y=C 1 e 2t +C 2 e −2t −−通解 y = C_1e^{2t} +C_2e^{-2t} -- 通解
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ′′ −4y=0y(0)=0y ′ (0)=4 }−−定解条件 \left \{ \begin{array}{l} y^{\prime \prime} - 4y = 0 \\ \left. \begin{array}{l} y(0) = 0 \\ y^{\prime}(0) = 4 \end{array} \right \} -- 定解条件 \end{array} \right.
2求解 2求解
求解方法:行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法 求解方法:\\ 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法
3.分析解答:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 物理意义适定性⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 存在唯一稳定 3.分析解答:\left \{ \begin{array}{l} 物理意义 \\ 适定性 \left \{ \begin{array}{l} 存在 \\ 唯一 \\ 稳定 \end{array} \right. \end{array} \right.
§6.2三类数理方程的导出 \color{blue}{\S 6.2 三类数理方程的导出}
6.2.1弦的横震动 \color{blue}{6.2.1 弦的横震动}
1.物理模型: 1.物理模型:
细长而柔软的弦线,紧绷与A、B两点之间,作振幅极微小的横震动,求其运动规律. 细长而柔软的弦线,紧绷与A、B两点之间,作振幅极微小的横震动,求其运动规律.
2.分析: 2.分析:
(1)研究的问题:u(x,t)−−弦的位移 (1) 研究的问题:u(x, t) -- 弦的位移
(2)已知:a.密度ρ(x,t)=ρ(t),重力p=0； (2) 已知:a. 密度\rho (x, t) = \rho(t),重力 p = 0；
b.无抗弯力 b. 无抗弯力
c.张力T沿切向; c.张力T沿切向;
d.u x 是小量,u 2 x ≈0 d.u_x是小量, u_x^2 \approx 0
(3)研究方法:微积分思想、任意性. (3)研究方法:微积分思想、任意性.
3.建立方程: 3.建立方程:
(1)考虑任意段,Δx受力: (1)考虑任意段, \Delta x 受力:
x:{−T 1 cosα 1 T 2 cosα 2 x: \left \{ \begin{array}{l} -T_1 \cos \alpha_1 \\ T_2 \cos \alpha_2 \end{array} \right.
y:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ −T 1 sinα 1 T 2 sinα 2 F(x+η 1 Δx,t)⋅Δx(0≤η 1 ≤1)(F是单位长度所受外力) y: \left \{ \begin{array}{l} -T_1 \sin \alpha_1 \\ T_2 \sin \alpha_2 \\ F(x + \eta_1 \Delta x, t) \cdot \Delta x \quad (0 \leq \eta_1 \leq 1) (F是单位长度所受外力) \end{array} \right.
(2)按牛顿运动定律写出方程 (2) 按牛顿运动定律写出方程
T 2 cosα 2 −T 1 cosα 1 =0(1) T_2 \cos \alpha_2 - T_1 \cos \alpha_1 = 0 \quad (1)
T 2 sinα 2 −T 1 sinα 1 +F(x+η 1 Δx,t)Δx=u tt (x+η 2 Δx,t)ρΔx(2) T_2 \sin \alpha_2 - T_1 \sin \alpha_1 + F(x + \eta_1 \Delta x, t) \Delta x = u_{tt}(x + \eta_2 \Delta x, t) \rho \Delta x \quad (2)
(3)简化整理 (3)简化整理
u tt =a 2 u xx +f−−弦的横震动 u_{tt} = a^2 u_{xx} + f -- 弦的横震动
其中a 2 =Tρ ,量纲:g⋅cm/s 2 g/cm =(cms ) 2 其中 a^2 = \dfrac{T}{\rho}, 量纲: \dfrac{g \cdot cm/s^2}{g/cm} = (\dfrac{cm}{s})^2
f=Fρ −−单位质量所受力(即力密度) f = \dfrac{F}{\rho} -- 单位质量所受力(即力密度)
注意: 注意:
(1)f=0称为齐次方程:u tt =a 2 u xx +f→u tt =a 2 u xx (1) f = 0称为齐次方程: u_{tt} = a^2 u_{xx} + f \to u_{tt} = a^2u_{xx}
(2)三维波动方程:u tt =a 2 Δu+f (2) 三维波动方程: u_{tt} = a^2 \Delta u + f
(3)建立方程的步骤:A.从内部划出一小块,B.由物理规律写出算式,C.化简整理得方程 (3)建立方程的步骤:A.从内部划出一小块, B.由物理规律写出算式, C.化简整理得方程
6.2.2热传导方程 \color{blue}{6.2.2 热传导方程}
0.热量的几个概念: 0.热量的几个概念:
设:Q−热量,S−面积,V−体积,t−时间,ρ−密度,T−温度,则: 设:Q - 热量, S - 面积, V - 体积, t - 时间, \rho - 密度, T - 温度, 则:
(1)比热C:单位物质,温度升高一度所需热量.C=Q(ρV)T (1) 比热C:单位物质,温度升高一度所需热量. C = \dfrac{Q}{(\rho V) T}
(2)热流密度q:单位时间流过单位面积的热量.q=QtS (2) 热流密度q: 单位时间流过单位面积的热量. q = \dfrac{Q}{tS}
(3)傅里叶实验定理:q=−k∂T∂n k−导热率 (3)傅里叶实验定理: q = -k \dfrac{\partial T}{\partial n} \quad k - 导热率
热流密度与温度的下降率成正比. 热流密度与温度的下降率成正比.
(4)热源强度F:单位时间,单位体积发出热量.F=QtV (4)热源强度F:单位时间,单位体积发出热量. F = \dfrac{Q}{tV}
1.物理模型: 1.物理模型:
截面积为A的均匀细杆,侧面绝热,沿杆长方向有温差,求热量的流动. 截面积为A的均匀细杆, 侧面绝热, 沿杆长方向有温差, 求热量的流动.
2.分析: 2.分析:
(1)研究的问题:u(x,t)−−温度 (1)研究的问题: u(x, t) -- 温度
(2)已知:c、ρ、k是常数;u=u(x,t)是一维问题 (2)已知:c、\rho、k是常数; u = u(x, t)是一维问题
(3)研究方法:微积分思想、任意性. (3)研究方法:微积分思想、任意性.
3建立方程: 3建立方程:
(1)考虑任一Δx段在Δt时间热量情况: (1) 考虑任一\Delta x 段在 \Delta t 时间热量情况:
流入x面:Q 1 =−k∂u∂x | x ⋅AΔt 流入x面: Q_1 = -k \dfrac{\partial u}{\partial x} | _ {x} \cdot A \Delta t
流出x+Δx面:Q 2 =−k∂u∂x | x+Δx ⋅AΔt 流出x + \Delta x面: Q_2 = -k \dfrac{\partial u}{\partial x} | _ {x + \Delta x} \cdot A \Delta t
热源产生:Q 3 =F⋅Δt(AΔx)(设其热源强度为F) 热源产生: Q_3 = F \cdot \Delta t (A \Delta x) \quad (设其热源强度为F)
升温所需热量:Q=C⋅(ρAΔx)[u(x,t+Δt)−u(x,t)] 升温所需热量: Q = C \cdot(\rho A \Delta x) [u(x, t + \Delta t) - u(x, t)]
(2)根据热量守恒定律:Q=Q 1 −Q 2 +Q 3 (2) 根据热量守恒定律: Q = Q_1 - Q_2 + Q_3
(3)简化整理得:u t =Du xx +f (3)简化整理得: u_t = D u_{xx} + f
其中D=kcρ ,f=Fcρ 其中 D = \dfrac{k}{c \rho }, f = \dfrac{F}{c \rho}
此即为一维的热传导方程,中子扩散,高频电流分布皆属于此类方程. 此即为一维的热传导方程, 中子扩散,高频电流分布皆属于此类方程.
6.2.3泊松公式 \color{blue}{6.2.3 泊松公式}
1.物理模型: 1.物理模型:
设在充满了介电常数ε的区域中,有体电荷密度为ρ(x,y,z)的电荷,求静电场. 设在充满了介电常数\varepsilon的区域中, 有体电荷密度为\rho(x, y, z)的电荷,求静电场.
2.分析: 2.分析:
(1)研究的问题:∵E ⃗ =−∇V,V−−标量势 (1) 研究的问题: \because \vec E = - \nabla V, V -- 标量势
(2)已知:稳定场 (2) 已知:稳定场
(3)方法:与上面方法相同 (3)方法:与上面方法相同
3.建立方程: 3.建立方程:
(1)考虑封闭曲面S中的情况 (1)考虑封闭曲面S中的情况
(2)由电学中奥−高定理,有:∮ s E ¯ ⋅ds ¯ =4π⋅14πε ∫ τ ρdτ (2)由电学中奥-高定理,有: \oint _s \bar E \cdot d \bar s = 4 \pi \cdot \dfrac{1}{ 4 \pi \varepsilon} \int _ {\tau} \rho d \tau
(通过一封闭面的静余电通量,等于该平面内所有电荷的代数和) (通过一封闭面的静余电通量,等于该平面内所有电荷的代数和)
(3)简化整理得:ΔV=−ρε →Poisson方程 (3)简化整理得:\Delta V = - \dfrac{\rho}{\varepsilon} \to Poisson方程
若ρ=0,则ΔV=0→Laplace方程 若\rho = 0, 则 \Delta V = 0 \to Laplace方程
注意: 注意:
在稳定温度场中u t =0 在稳定温度场中 u_{t} = 0
u t =DΔu+f→Δu=−fD u_{t} = D \Delta u + f \to \Delta u = -\dfrac{f}{D}
§6.3定解条件 \color{blue}{\S 6.3 定解条件}
引入定解条件的必要性: 引入定解条件的必要性:
a.从物理的角度看:数理方程仅能表示一般性 a.从物理的角度看:数理方程仅能表示一般性
b.从数学的角度看:微分方程的解的任意性也需附加条件来确定 b.从数学的角度看:微分方程的解的任意性也需附加条件来确定
定解条件⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 初始条件边界条件其它条件 定解条件 \left \{ \begin{array}{l} 初始条件 \\ 边界条件 \\ 其它条件 \end{array} \right.
6.3.1初始条件 \color{blue}{6.3.1 初始条件}
1.定义: 1.定义:
物理过程初始状况的数学表达式为初始条件. 物理过程初始状况的数学表达式为初始条件.
弦振动:{u| t=0 =φ(x)u t | t=0 =ψ(x) 弦振动: \left \lbrace \begin{array}{l} u|_{t=0} = \varphi(x) \\ u_t | _{t = 0} = \psi(x) \end{array} \right.
2.注意 2.注意
(1)整个系统的初始状况: (1)整个系统的初始状况:
弦的横震动,当t=0时 弦的横震动,当t = 0时
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u| t=0 ={(2h/l)x(0≤x≤l/2)(2h/l)(l−x)(l/2≤x≤l) u t | t=0 =0 \left \lbrace \begin{array}{l} u | _{t=0} = \left \lbrace \begin{array}{l} (2h/l)x \quad (0 \leq x \leq l / 2) \\ (2h/l)(l-x) \quad (l/2 \leq x \leq l) \end{array} \right. \\ u_t | _{t=0} = 0 \end{array} \right.
杆的纵震动,当t=0时 杆的纵震动,当t = 0时
u| t=0 =bl x u | _{t=0} = \dfrac{b}{l} x
(2)时间t的n阶方程需要n个条件: (2) 时间t的n阶方程需要n个条件:
如:u tt =a 2 u xx +f→{u| t=0 =φ(x)u t | t=0 =ψ(x) 如:u_{tt} = a^2 u_{xx} + f \to \left \lbrace \begin{array}{l} u| _{t=0} = \varphi(x) \\ u_t| _ {t=0} = \psi(x) \end{array} \right.
u t =DΔu+f→u| t=0 =φ(x) u_t = D \Delta u + f \to u | _{t = 0 } = \varphi(x)
Δu=−ρε \Delta u = - \dfrac{\rho}{\varepsilon}
6.3.2边界条件 \color{blue}{6.3.2 边界条件}
1.定义: 1.定义:
物理过程边界状况的数学表达式为边界条件 物理过程边界状况的数学表达式为边界条件
2.三类边界条件: 2.三类边界条件:
(1)第一类边界条件(Dirichlet条件) (1)第一类边界条件(Dirichlet条件)
u| 边 =f(M,t)(已知函数) u | _{边} = f(M, t) \quad (已知函数)
杆的导热问题:u| x=l =T 0 e −t 杆的导热问题: u | _{x = l} = T_0e^{-t}
两端固定弦横震动:u| x=0 ,u| x=l =0 两端固定弦横震动: u | _{x=0}, u | _{x = l} = 0
(2)第二类边界条件(Neuman条件) (2)第二类边界条件(Neuman条件)
u n | 边 =f(M,t)(已知函数) u_n | _{边} = f(M, t) \quad(已知函数)
杆的纵震动问题:一端固定,另一端单位面积受力为F(t) 杆的纵震动问题:一端固定,另一端单位面积受力为F(t)
u x | x=l =F/E, u_x | _{x = l} = F / E,
杆的导热问题: 杆的导热问题:
a)x=l端有热量流出,热流密度为ψ(t):∂u∂x | x=l =−ψ(t)k a) x = l 端有热量流出,热流密度为\psi(t): \dfrac{\partial u}{\partial x} | _{x = l} = - \dfrac{\psi(t)}{k}
b)x=l端有热量流入,热流密度为ψ(t):∂u∂x | x=l =ψ(t)k b)x = l端有热量流入,热流密度为\psi(t): \dfrac{\partial u}{\partial x} | _{x=l} = \dfrac{\psi(t)}{k}
c)x=0端有热量流入,热流密度为ψ(t):∂u∂x | x=0 =−ψ(t)k c)x=0端有热量流入,热流密度为\psi(t): \dfrac{\partial u}{\partial x} | _{x=0} = - \dfrac{\psi(t)}{k}
(3)第三类边界条件(混合边界条件): (3)第三类边界条件(混合边界条件):
(u+hu n )| 边 =f(M,t)(已知函数) (u + hu_n) | _{边} = f(M, t) \quad (已知函数)
杆的导热问题:一端自由冷却(即牛顿冷却问题) 杆的导热问题:一端自由冷却(即牛顿冷却问题)
∵[u+hu x ] x=l =u 0 ,h=kH \because [u + hu_x]_{x=l} = u_0, h = \dfrac{k}{H}
杆的纵震动问题:若一端固定,一端与弹簧相连 杆的纵震动问题:若一端固定,一端与弹簧相连
u| x=0 =0,(u+Esk u x )| x=l =0 u|_{x=0} = 0, (u + \dfrac{Es}{k}u_x)|_{x=l} = 0
3.注意： 3.注意：
(1)区别边界条件和外源 (1)区别边界条件和外源
例:长为l的均匀杆,一端固定于x=0，在t=0时,一个沿着杆长方向的力F(单位面积上)加在杆的另一端上,求t>0时杆长各点的位移。 例:长为l的均匀杆,一端固定于x = 0，在t = 0时, 一个沿着杆长方向的力F\\ (单位面积上)加在杆的另一端上,求t > 0时杆长各点的位移。
u x | x=l =FE u_x | _ {x = l} = \dfrac{F}{E}
(2)一个边界只有一个边界条件 (2)一个边界只有一个边界条件
例:长为l的均匀杆一端固定于以匀速v前进的撤壁上,另一端自由,突然静止,写出杆做纵震动的定解条件 例:长为l的均匀杆一端固定于以匀速v前进的撤壁上, 另一端自由, 突然静止,\\ 写出杆做纵震动的定解条件
u x | x=l =0,u| x=0 =0 u_x | _{x=l} = 0, u|_{x=0} = 0
(3)当f=0时,分别称为第1、2、3类齐次边界条件 (3)当f = 0时, 分别称为第1、2、3类齐次边界条件
6.3.3其它条件 \color{blue}{6.3.3 其它条件}
1.衔接条件 1.衔接条件
若所研究的问题由不同部分组成,相接处有衔接条件. 若所研究的问题由不同部分组成,相接处有衔接条件.
杆的纵震动问题:若由两段不同材料组成,则其衔接处有 杆的纵震动问题:若由两段不同材料组成,则其衔接处有
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u 1 | x=x 0 =u 2 | x=x 0 E 1 ∂u 1 ∂x | x=x 0 =E 2 ∂u 2 ∂x | x=x 0 \left \lbrace \begin{array}{l} u_1 | _{x = x_0} = u_2 | _{x=x_0} \\ E_1 \dfrac{\partial u_1}{\partial x} | _ {x = x_0} = E_2 \dfrac{\partial u_2}{\partial x} | _{x = x_0} \end{array} \right.
静电场问题:若由两种介质组成,则其衔接处有 静电场问题:若由两种介质组成,则其衔接处有
电势连续:u 1 | σ =u 2 | σ 电势连续: u_1 |_{\sigma} = u_2 | _{\sigma}
电位移矢量连续:ε 1 ∂u 1 ∂n | σ =ε 2 ∂u 2 ∂n | σ 电位移矢量连续: \varepsilon_1 \dfrac{\partial u_1}{\partial n} | _{\sigma} = \varepsilon_2 \dfrac{\partial u_2}{\partial n} | _ {\sigma}
2.自然边界条件: 2.自然边界条件:
物理问题的有限性、单值性、周期所决定的条件. 物理问题的有限性、单值性、周期所决定的条件.
例:(Euler)方程通解为: 例:(Euler)方程通解为:
y=Ax l +Bx −(l+1) y = A x^{l} + B x^{-(l+1)}
[0,a]:y=Ax l ,[a,∞):y=Bx −(l+1) [0, a]: y = A x_l, \quad [a, \infty): y = B x ^{-(l+1)}
6.3.4三类定解问题 \color{blue}{6.3.4 三类定解问题}
1.初值问题: 1.初值问题:
只有初始条件而无边界条件的定解问题: 只有初始条件而无边界条件的定解问题:
例:{u tt =a 2 u xx ,−∞<x<∞u| t=0 =φ(x),u t | t=0 =ψ(x) 例:\left \lbrace \begin{array}{l}u_{tt} = a^2 u_{xx}, -\infty
2.边值问题: 2.边值问题:
只有边界条件而无初始条件的定解问题: 只有边界条件而无初始条件的定解问题:
例{Δu=0u| σ =f(M) 例\left \lbrace \begin{array}{l} \Delta u = 0 \\ u | _{\sigma} = f(M) \end{array} \right.
3.混合问题: 3.混合问题:
既有边界条件又有初始条件的定解问题: 既有边界条件又有初始条件的定解问题:
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =a 2 u xx u| x=0 =u| x=l =0u| t=0 =φ(x),u t | t=0 =ψ(x) \left \lbrace \begin{array}{l} u_{tt} = a^2 u_{xx} \\ u| _{x=0} = u| _{x = l} = 0 \\ u | _{t=0} = \varphi(x), u_t | _ {t=0} = \psi(x) \end{array} \right.
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