数理方程与特殊函数|定解条件
- 根据牛顿第二定律列出的运动学方程并不能准确的确定质点的运动。
- 要完全确定一个质点的运动，除了微分方程之外，还必须有初始条件。
- 二阶常微分方程的通解中含有两个任意常数，故而解不唯一确定。
- 只有偏微分方程同样如此：
- 在推导方程时，我们只考虑了介质的内部，并没有考虑介质通过表面与外界的相互作用。因此，严格来说，方程只适用于介质内部。
- 如果问题与时间有关的话，在推导方程时也并没有考虑介质的历史情况。因此，方程也只适用于初始时刻t > 0以后的任意时刻。
综上所述，为了完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就是要构成一个定解问题：除了微分方程之外，还必须有边界条件和初始条件（包含时间时）。
初始条件：
- 对于波动方程来说，应该给出初始时刻的位移和速度：
x，y，z包含了边界。 - 对于热传导方程，由于方程中只出现未知函数u对t的一阶偏微商，所以只需给出初始时刻的温度：
初始条件应该完全描写初始时刻介质内部及边界上任意一点的状况。
波动方程中的边界条件
- 弦的横振动：两端固定。
- 杆的纵振动：一端固定，
另一端受x方向上的外力作用，单位面积上的力是F(t)。
进而
利用胡克定律：
如果外力是0，即x = l端是自由的，则
如果外力F(t)不是一个确定的已知函数，而是由弹簧提供的弹性力，则
于是：
热传导问题中的边界条件
- 边界上各点温度已知：
- 单位时间内、通过单位面积的边界面流入的热量已知：
由介质表面流入的热量应当全部通过薄层的底面流向介质内部，所以边界条件为
其中
当边界绝热时上式等于0。
当介质通过边界按照牛顿冷却定律散热时，单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介质表面温度u|∑和外界温度u0之差成正比，取比例系数为H，有
总结
| 波动方程 | 热传导方程 | 类型 |
|---|---|---|
| 边界位移已知 | 边界温度已知 | 第一类边界条件 |
| 边界受力已知(边界自由) | 边界流入热量已知(边界绝热) | 第二类边界条件 |
| 边界有外加弹性力 | 边界按牛顿冷却定律散热 | 第三类边界条件 |
其数学形式分别为：
补充讨论：
- 整个边界面上，各点的边界条件并不一定能有统一的表达式，也不见得同属一种类型。上面讨论的弹性杆的边界条件（例如一端固定，另一端自由）就是如此。
- 无界空间的问题（在问题研究的尺度下，物理过程到达不了边界、边界发生的物理过程也不影响研究）：边界条件应当给出未知函数在无穷远处的极限行为，例如函数乃至其导数在无穷远处有界。
- 在有界空间的问题中，有时也要出现有界条件，例如采用极坐标系、柱坐标系或球坐标系时，偏微商在坐标原点失去意义，因而需要针对具体情况，在坐标原点补充上有界条件。
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