0402换元积分法-不定积分

文章目录

1 第一类换元法
- 1.1 定理1
- 1.2 例题
- 1.2 常见凑微分形式
- - 1.2.1常见基本的导数公式的逆运算
  - 1.2.2被积函数含有三角函数
2 第二类换元法
- 2.1 定理2
- 2.2 常见第二换元代换方法
- - 2.2.1 三角代换-弦代换
  - 2.2.2 三角代换-切代换
  - 2.2.3 三角代换-割代换
  - 2.2.4 三角代换汇总
  - 2.2.5 倒代换
  - 2.2.6 根式代换
3 积分推导公式
后记

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。换元法分为两类。

1 第一类换元法

1.1 定理1

设 f ( u ) f(u) f(u)具有原函数 F ( u ) F(u) F(u),即

F ′ ( u ) = f ( u ) , ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C F^{'}(u)=f(u),\int{f(u)du}=F(u)+C F′(u)=f(u),∫f(u)du=F(u)+C

如果u是中间变量: u = ϕ ( x ) ，且设 ϕ ( x ) u=\phi(x)，且设\phi(x) u=ϕ(x)，且设ϕ(x)可微，那么根据复合函数微分法，有

d F [ ϕ ( x ) ] = f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x ) d x dF[\phi(x)]=f[\phi(x)]\phi^{'}(x)dx dF[ϕ(x)]=f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx,

根据不定积分的定义就得

∫ f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x ) d x = F [ ϕ ( x ) ] + C = [ ∫ f ( u ) d u ] u = ϕ ( x ) \int{f[\phi(x)]\phi^{'}(x)dx}=F[\phi(x)]+C=[\int{f(u)du}]_{u=\phi(x)} ∫f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx=F[ϕ(x)]+C=[∫f(u)du]u=ϕ(x)

定理1 设 f ( u ) f(u) f(u)具有原函数， u = ϕ ( x ) u=\phi(x) u=ϕ(x)可导，则有换元公式

∫ f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x ) d x = [ ∫ f ( u ) d u ] u = ϕ ( x ) \int{f[\phi(x)]\phi^{'}(x)dx}=[\int{f(u)du}]_{u=\phi(x)} ∫f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx=[∫f(u)du]u=ϕ(x)

1.2 例题

例1 求 ∫ 1 3 + 2 x d x \int{\frac{1}{3+2x}dx} ∫3+2x1dx
解： ∫ 1 3 + 2 x d x = 1 2 ∫ 1 3 + 2 x d ( 3 + 2 x ) = 1 2 ln ⁡ ∣ 3 + 2 x ∣ + C 解：\\ \int{\frac{1}{3+2x}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{3+2x}d(3+2x)}=\frac{1}{2}\ln|3+2x|+C 解：∫3+2x1dx=21∫3+2x1d(3+2x)=21ln∣3+2x∣+C
例2 求 ∫ x 2 ( x + 2 ) 3 d x \int{\frac{x^2}{(x+2)^3}dx} ∫(x+2)3x2dx

注：分式积分，分母越简单越易积
解：令 u = x + 2 , x = u − 2 ∫ x 2 ( x + 2 ) 3 d x = ∫ ( u − 2 ) 2 u 3 d u = ∫ 1 u d u − ∫ 4 u 2 d u + ∫ 4 u 3 d u = ln ⁡ ∣ x + 2 ∣ + 4 x + 2 − 1 2 ( x + 2 ) 2 + C 解：\\ 令u=x+2,x=u-2 \\ \int{\frac{x^2}{(x+2)^3}dx}=\int{\frac{(u-2)^2}{u^3}du}\\ =\int{\frac{1}{u}du}-\int{\frac{4}{u^2}du}+\int{\frac{4}{u^3}du}\\ =\ln|x+2|+\frac{4}{x+2}-\frac{1}{2(x+2)^2}+C 解：令u=x+2,x=u−2∫(x+2)3x2dx=∫u3(u−2)2du=∫u1du−∫u24du+∫u34du=ln∣x+2∣+x+24−2(x+2)21+C

例3 求 ∫ 1 a 2 + x 2 d x \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx} ∫a2+x21dx

解析：基本积分公式 ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C \int{\frac{1}{1+x^2}dx}=\arctan x+C ∫1+x21dx=arctanx+C
解 : ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a 2 ∫ 1 1 + ( x a ) 2 d x = 1 a ∫ 1 1 + ( x a ) 2 d ( x a ) = 1 a arctan ⁡ x a + C 解:\\ \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a^2}\int{\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}dx}\\ =\frac{1}{a}\int{\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}d(\frac{x}{a})}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C 解:∫a2+x21dx=a21∫1+(ax)21dx=a1∫1+(ax)21d(ax)=a1arctanax+C

例4 求 ∫ 1 x 2 − a 2 d x \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx} ∫x2−a21dx

注：裂项公式，分母为两个一次项乘积形式 1 ( x + a ) ( x + b ) = 1 b − a ( 1 x + a − 1 x + b ) \frac{1}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}) (x+a)(x+b)1=b−a1(x+a1−x+b1)
解 : ∫ 1 x 2 − a 2 d x = 1 2 a [ ∫ 1 x − a d ( x − a ) − ∫ 1 x + a d ( x + a ) ] = 1 2 a ( ln ⁡ ∣ x − a ∣ − ln ⁡ ∣ x + a ∣ ) + C = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C 解:\\ \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}[\int{\frac{1}{x-a}d(x-a)}-\int{\frac{1}{x+a}d(x+a)}]\\ =\frac{1}{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)+C=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C 解:∫x2−a21dx=2a1[∫x−a1d(x−a)−∫x+a1d(x+a)]=2a1(ln∣x−a∣−ln∣x+a∣)+C=2a1ln∣x+ax−a∣+C

例5 求 ∫ d x x ( 1 + 2 ln ⁡ x ) \int{\frac{dx}{x(1+2\ln x)}} ∫x(1+2lnx)dx

解析： ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x (\ln x)^{'}=\frac{1}{x} (lnx)′=x1
解 : ∫ d x x ( 1 + 2 ln ⁡ x ) = 1 2 ∫ d ( 1 + 2 ln ⁡ x ) 1 + 2 ln ⁡ x = 1 2 ln ⁡ ∣ 1 + 2 ln ⁡ x ∣ + C 解:\\ \int{\frac{dx}{x(1+2\ln x)}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d(1+2\ln x)}{1+2\ln x}}\\ =\frac{1}{2}\ln|1+2\ln x|+C 解:∫x(1+2lnx)dx=21∫1+2lnxd(1+2lnx)=21ln∣1+2lnx∣+C

例6 求 ∫ e 3 x x d x \int{\frac{e^{3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx} ∫x e3x dx

解析： ( x ) ′ = 1 2 ⋅ 1 x (\sqrt{x})^{'}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}} (x )′=21⋅x 1
解 : ∫ e 3 x x d x = 2 3 ∫ e 3 x d ( 3 x ) = 2 3 e 3 x + C 解:\\ \int{\frac{e^{3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}=\frac{2}{3}\int{e^{3\sqrt{x}}d(3\sqrt{x})}\\ =\frac{2}{3}e^{3\sqrt{x}}+C 解:∫x e3x dx=32∫e3x d(3x )=32e3x +C

例7 求 ∫ s i n 2 x cos ⁡ 5 x d x \int{sin^2x\cos^5xdx} ∫sin2xcos5xdx

解析： ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 (\sin x)^{'}=\cos x\quad (\cos x)^{'}=-\sin x\quad \sin^2x+\cos^2x=1 (sinx)′=cosx(cosx)′=−sinxsin2x+cos2x=1
解： ∫ s i n 2 x cos ⁡ 5 x d x = ∫ s i n 2 x cos ⁡ 4 x d ( sin ⁡ x ) = ∫ s i n 2 x ( 1 − sin ⁡ 2 x ) 2 d ( sin ⁡ x ) = ∫ ( sin ⁡ 6 x − 2 sin ⁡ 4 x + sin ⁡ 2 x ) d ( sin ⁡ x ) = 1 7 sin ⁡ 7 x − 2 5 sin ⁡ 5 x + 1 3 sin ⁡ 3 x + C 解：\int{sin^2x\cos^5xdx}=\int{sin^2x\cos^4xd(\sin x)}\\ =\int{sin^2x(1-\sin^2x)^2d(\sin x)}=\int{(\sin^6x-2\sin^4x+\sin^2x)d(\sin x)}\\ =\frac{1}{7}\sin^7x-\frac{2}{5}\sin^5x+\frac{1}{3}\sin^3x+C 解：∫sin2xcos5xdx=∫sin2xcos4xd(sinx)=∫sin2x(1−sin2x)2d(sinx)=∫(sin6x−2sin4x+sin2x)d(sinx)=71sin7x−52sin5x+31sin3x+C

一般地，对于 sin ⁡ 2 k + 1 x cos ⁡ n x 或 sin ⁡ n x cos ⁡ 2 k + 1 x ( 其中 k ∈ N ) \sin^{2k+1}x\cos^nx或\sin^nx\cos^{2k+1}x(其中k\in N) sin2k+1xcosnx或sinnxcos2k+1x(其中k∈N)型函数的积分，总可依次做变换 u = cos ⁡ x 或 u = sin ⁡ x u=\cos x或u=\sin x u=cosx或u=sinx,求得结果。

例8 求 ∫ tan ⁡ x d x \int{\tan xdx} ∫tanxdx
解： ∫ tan ⁡ x d x = ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x = − ∫ 1 cos ⁡ x d ( cos ⁡ x ) = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C 解：\int{\tan xdx}=\int{\frac{\sin x}{\cos x}dx}=-\int{\frac{1}{\cos x}d(\cos x)}\\ =-\ln|\cos x|+C 解：∫tanxdx=∫cosxsinxdx=−∫cosx1d(cosx)=−ln∣cosx∣+C

类似可得 ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C \int{\cot xdx}=\ln|\sin x|+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C

例9 求 ∫ x 3 ( x 2 − 2 x + 2 ) \int{\frac{x^3}{(x^2-2x+2)}} ∫(x2−2x+2)x3

1.2 常见凑微分形式

1.2.1常见基本的导数公式的逆运算

∫ f ( 1 x ) ⋅ 1 x 2 d x = − ∫ f ( 1 x ) d 1 x \int{f(\frac{1}{x})\cdot\frac{1}{x^2}dx}=-\int{f(\frac{1}{x})d\frac{1}{x}} ∫f(x1)⋅x21dx=−∫f(x1)dx1
∫ f ( x ) 1 x d x = 2 ∫ f ( x ) d x \int{f(\sqrt{x})\frac{1}{\sqrt{x}}dx}=2\int{f(\sqrt{x})d\sqrt{x}} ∫f(x )x 1dx=2∫f(x )dx
∫ f ( sin ⁡ x ) cos ⁡ x d x = ∫ f ( sin ⁡ x ) d sin ⁡ x \int{f(\sin x)\cos xdx}=\int{f(\sin x)d\sin x} ∫f(sinx)cosxdx=∫f(sinx)dsinx
∫ f ( cos ⁡ x ) sin ⁡ x d x = − ∫ f ( cos ⁡ x ) d cos ⁡ x \int{f(\cos x)\sin xdx}=-\int{f(\cos x)d\cos x} ∫f(cosx)sinxdx=−∫f(cosx)dcosx
∫ f ( ln ⁡ x ) 1 x d x = ∫ f ( ln ⁡ x ) d ln ⁡ x \int{f(\ln x)\frac{1}{x}dx}=\int{f(\ln x)d\ln x} ∫f(lnx)x1dx=∫f(lnx)dlnx
∫ f ( x ln ⁡ x ) ( 1 + ln ⁡ x ) d x = ∫ f ( x ln ⁡ x ) d ( x ln ⁡ x ) \int{f(x\ln x)(1+\ln x)dx}=\int{f(x\ln x)d(x\ln x)} ∫f(xlnx)(1+lnx)dx=∫f(xlnx)d(xlnx)
∫ f ( sec ⁡ x ) sec ⁡ x tan ⁡ x d x = ∫ f ( sec ⁡ x ) d sec ⁡ x \int{f(\sec x)\sec x\tan xdx}=\int{f(\sec x)d\sec x} ∫f(secx)secxtanxdx=∫f(secx)dsecx
∫ f ( csc ⁡ x ) csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − ∫ f ( csc ⁡ x ) d csc ⁡ x \int{f(\csc x)\csc x\cot xdx}=-\int{f(\csc x)d\csc x} ∫f(cscx)cscxcotxdx=−∫f(cscx)dcscx
∫ f ( tan ⁡ x ) sec ⁡ 2 x d x = ∫ f ( tan ⁡ x ) d tan ⁡ x \int{f(\tan x)\sec^2xdx}=\int{f(\tan x)d\tan x} ∫f(tanx)sec2xdx=∫f(tanx)dtanx
∫ f ( cot ⁡ x ) csc ⁡ 2 x d x = − ∫ f ( cot ⁡ x ) d cot ⁡ x \int{f(\cot x)\csc^2xdx}=-\int{f(\cot x)d\cot x} ∫f(cotx)csc2xdx=−∫f(cotx)dcotx
∫ f ( arcsin ⁡ x ) 1 1 − x 2 d x = ∫ f ( arcsin ⁡ x ) d arcsin ⁡ x \int{f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\int{f(\arcsin x)d\arcsin x} ∫f(arcsinx)1−x2 1dx=∫f(arcsinx)darcsinx
∫ f ( arctan ⁡ x ) 1 1 + x 2 d x = ∫ f ( arcsin ⁡ x ) d arctan ⁡ x \int{f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx}=\int{f(\arcsin x)d\arctan x} ∫f(arctanx)1+x21dx=∫f(arcsinx)darctanx
∫ f ( e x ) e x d x = ∫ f ( e x ) d e x \int{f(e^x)e^xdx}=\int{f(e^x)de^x} ∫f(ex)exdx=∫f(ex)dex

1.2.2被积函数含有三角函数

常用的三角恒等式：

sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 \sin^2x+\cos^2x = 1 sin2x+cos2x=1
1 + tan ⁡ 2 x = sec ⁡ 2 x 1+\tan^2x=\sec^2x 1+tan2x=sec2x
1 + cot ⁡ 2 x = csc ⁡ 2 x 1+\cot^2x=\csc^2 x 1+cot2x=csc2x
两角和差的三角公式
1. cos ⁡ ( α ± β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β ± sin ⁡ α sin ⁡ β \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\pm\sin\alpha\sin\beta cos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβ
2. sin ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
2倍角公式，降幂公式
1. cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α = 2 cos ⁡ 2 α − 1 = 1 − 2 sin ⁡ 2 α \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α
2. sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha sin2α=2sinαcosα
3. cos ⁡ 2 α = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 α ) \cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha) cos2α=21(1+cos2α)
4. sin ⁡ 2 α = 1 2 ( 1 − cos ⁡ 2 α ) \sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha) sin2α=21(1−cos2α)
积化和差，和差化积

一般地，对于 sin ⁡ 2 k + 1 x cos ⁡ n x 或 sin ⁡ n x cos ⁡ 2 k + 1 x ( 其中 k ∈ N ) \sin^{2k+1}x\cos^nx或\sin^nx\cos^{2k+1}x(其中k\in N) sin2k+1xcosnx或sinnxcos2k+1x(其中k∈N)型函数的积分，总可依次做变换 u = cos ⁡ x 或 u = sin ⁡ x u=\cos x或u=\sin x u=cosx或u=sinx,求得结果。

tan ⁡ n x sec ⁡ 2 k x 或者 tan ⁡ 2 k − 1 x sec ⁡ n x ( n , k ∈ N + ) \tan^nx\sec^{2k}x或者\tan^{2k-1}x\sec^nx(n,k\in N_+) tannxsec2kx或者tan2k−1xsecnx(n,k∈N+)型积分，可依次做变换 u = tan ⁡ x 或 u = sec ⁡ x u=\tan x或u=\sec x u=tanx或u=secx

2 第二类换元法

2.1 定理2

设 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)是单调可导的函数，并且 ϕ ′ ( t ) ≠ 0. 又设 f [ ϕ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) \phi^{'}(t)\not=0.又设f[\phi(t)]\phi^{'}(t) ϕ′(t)=0.又设f[ϕ(t)]ϕ′(t)具有原函数，则有换元公式

∫ f ( x ) d x = [ ∫ f [ ϕ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) d t ] t = ϕ − 1 ( x ) \int{f(x)dx}=[\int{f[\phi(t)]\phi^{'}(t)dt}]_{t=\phi^{-1}(x)} ∫f(x)dx=[∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt]t=ϕ−1(x)

其中 ϕ − 1 ( x ) 是 x = ϕ ( t ) \phi^{-1}(x)是x=\phi(t) ϕ−1(x)是x=ϕ(t)的反函数。

证明：设 f [ ϕ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) 的原函数为 Φ ( t ) , 记 Φ ( t ) = Φ [ ϕ − 1 ( x ) ] = F ( x ) 利用复合函数和反函数的求导法则，有 F ′ ( x ) = d Φ d t ⋅ d t d x = f [ ϕ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) ⋅ 1 ϕ ′ ( t ) = f ( x ) 即 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数，所以有 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + c = Φ [ ϕ − 1 ( x ) ] + C = [ ∫ f [ ϕ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) d t ] t = ϕ − 1 ( x ) 证明：\\ 设f[\phi(t)]\phi^{'}(t)的原函数为\Phi(t),记\Phi(t)=\Phi[\phi^{-1}(x)]=F(x)\\ 利用复合函数和反函数的求导法则，有\\ F^{'}(x)=\frac{d\Phi}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=f[\phi(t)]\phi^{'}(t)\cdot\frac{1}{\phi^{'}(t)}=f(x) \\ 即F(x)是f(x)的原函数，所以有 \\ \int{f(x)dx}=F(x)+c=\Phi[\phi^{-1}(x)]+C=[\int{f[\phi(t)]\phi^{'}(t)dt}]_{t=\phi^{-1}(x)} 证明：设f[ϕ(t)]ϕ′(t)的原函数为Φ(t),记Φ(t)=Φ[ϕ−1(x)]=F(x)利用复合函数和反函数的求导法则，有F′(x)=dtdΦ⋅dxdt=f[ϕ(t)]ϕ′(t)⋅ϕ′(t)1=f(x)即F(x)是f(x)的原函数，所以有∫f(x)dx=F(x)+c=Φ[ϕ−1(x)]+C=[∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt]t=ϕ−1(x)

注：

必须写出变量代换 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)
必须替换微分 d x = ϕ ′ ( t ) d t dx=\phi^{'}(t)dt dx=ϕ′(t)dt
最后结果必须还原成原来积分变量 t = ϕ − 1 ( x ) t=\phi^{-1}(x) t=ϕ−1(x)

2.2 常见第二换元代换方法

三角代换
倒代换
根式代换

2.2.1 三角代换-弦代换

正弦或者余弦代换

例1 求 ∫ a 2 − x 2 d x ( a > 0 ) \int{\sqrt{a^2-x^2}dx}(a\gt0) ∫a2−x2 dx(a>0)
解：令 x = a sin ⁡ t , − π 2 < t < π 2 a 2 − x 2 = a cos ⁡ t , d x = a cos ⁡ t d t ∫ a 2 − x 2 d x = ∫ a cos ⁡ t ⋅ a cos ⁡ t d t = a 2 2 t + a 2 4 sin ⁡ 2 t + C = a 2 2 t + a 2 2 sin ⁡ t cos ⁡ t + C 其中 t = arcsin ⁡ x a , sin ⁡ t = x a , cos ⁡ t = a 2 − x 2 a ∫ a 2 − x 2 d x = a 2 2 arcsin ⁡ x a + x a 2 − x 2 2 + C 解：令x=a\sin t,-\frac{\pi}{2}\lt t\lt\frac{\pi}{2}\\ \sqrt{a^2-x^2}=a\cos t,dx=a\cos tdt \\ \int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\int{a\cos t\cdot a\cos tdt}=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}\sin2t+C\\ =\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{2}\sin t\cos t+C\\ 其中t=\arcsin\frac{x}{a},\sin t=\frac{x}{a},\cos t=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\\ \int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C 解：令x=asint,−2π<t<2πa2−x2 =acost,dx=acostdt∫a2−x2 dx=∫acost⋅acostdt=2a2t+4a2sin2t+C=2a2t+2a2sintcost+C其中t=arcsinax,sint=ax,cost=aa2−x2 ∫a2−x2 dx=2a2arcsinax+2xa2−x2 +C

2.2.2 三角代换-切代换

正切或者余切

例2 求 ∫ 1 x 2 + a 2 d x ( a > 0 ) \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}(a>0) ∫x2+a2 1dx(a>0)
解：令 x = a tan ⁡ t , − π 2 < t < π 2 x 2 + a 2 = a sec ⁡ t , d x = a s e c 2 t ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ∫ 1 a sec ⁡ t ⋅ a sec ⁡ 2 t d t = ∫ sec ⁡ t d t = ln ⁡ ∣ sec ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C 其中 tan ⁡ t = x a , sec ⁡ t = x 2 + a 2 a ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ⁡ ∣ x 2 + a 2 a + x a ∣ + C 1 = l n ( x 2 + a 2 + x ) + C 解：令x=a\tan t,-\frac{\pi}{2}\lt t\lt\frac{\pi}{2} \\ \sqrt{x^2+a^2}=a\sec t,dx=asec^2t \\ \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}=\int{\frac{1}{a\sec t}\cdot a\sec^2tdt}\\ =\int{\sec tdt}=\ln|\sec t+\tan t|+C \\ 其中\tan t=\frac{x}{a},\sec t=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a} \\ \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}=\ln|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C_1\\ =ln(\sqrt{x^2+a^2}+x)+C 解：令x=atant,−2π<t<2πx2+a2 =asect,dx=asec2t∫x2+a2 1dx=∫asect1⋅asec2tdt=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C其中tant=ax,sect=ax2+a2 ∫x2+a2 1dx=ln∣ax2+a2 +ax∣+C1=ln(x2+a2 +x)+C

2.2.3 三角代换-割代换

正割或者余割

例3 求 ∫ 1 x 2 − a 2 d x ( a > 0 ) \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}(a\gt0) ∫x2−a2 1dx(a>0)
解：定义域 x > a 或者 x < − a ( 1 ) 当 x > a 时，令 x = a sec ⁡ t , 0 < t < π 2 x 2 − a 2 = a tan ⁡ t , d x = a sec ⁡ t tan ⁡ t d t ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ∫ 1 a tan ⁡ t a sec ⁡ t tan ⁡ t d t = ∫ sec ⁡ t d t = ln ⁡ ∣ sec ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C 1 其中 sec ⁡ t = x a , tan ⁡ t = x 2 − a 2 a ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ( x + x 2 − a 2 ) + C ( 2 ) 当 x < − a 时 , 令 u = − x , 则 u > a ∫ 1 x 2 − a 2 d x = − ∫ 1 u 2 − a 2 d u = − ln ⁡ ( u + u 2 − a 2 ) + C = − ln ⁡ ( − x + x 2 − a 2 ) + C = ln ⁡ ( − x − x 2 − a 2 ) + C 1 综上当 x > a 时， ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ( x + x − a 2 ) + C x < − a 时， ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ( − x − x 2 − a 2 ) + C 所以 ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C 解：定义域x\gt a或者x\lt -a \\ (1)当x\gt a时，令x=a\sec t,0\lt t\lt\frac{\pi}{2} \\ \sqrt{x^2-a^2}=a\tan t,dx=a\sec t\tan tdt \\ \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\int{\frac{1}{a\tan t}a\sec t\tan tdt}\\ =\int{\sec tdt}=\ln|\sec t+\tan t|+C_1 \\ 其中\sec t=\frac{x}{a},\tan t=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} \\ \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C \\ (2)当x\lt -a时,令u=-x,则u\gt a \\ \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=-\int{\frac{1}{\sqrt{u^2-a^2}}du}\\ =-\ln(u+\sqrt{u^2-a^2})+C=-\ln(-x+\sqrt{x^2-a^2})+C=\ln(-x-\sqrt{x^2-a^2})+C_1\\ 综上当x\gt a时，\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\ln(x+\sqrt{x^-a^2})+C \\ x\lt -a时，\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\ln(-x-\sqrt{x^2-a^2})+C\\ 所以\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C 解：定义域x>a或者x<−a(1)当x>a时，令x=asect,0<t<2πx2−a2 =atant,dx=asecttantdt∫x2−a2 1dx=∫atant1asecttantdt=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C1其中sect=ax,tant=ax2−a2 ∫x2−a2 1dx=ln(x+x2−a2 )+C(2)当x<−a时,令u=−x,则u>a∫x2−a2 1dx=−∫u2−a2 1du=−ln(u+u2−a2 )+C=−ln(−x+x2−a2 )+C=ln(−x−x2−a2 )+C1综上当x>a时，∫x2−a2 1dx=ln(x+x−a2 )+Cx<−a时，∫x2−a2 1dx=ln(−x−x2−a2 )+C所以∫x2−a2 1dx=ln∣x+x2−a2 ∣+C

2.2.4 三角代换汇总

被积函数中函数含有	三角代换
a 2 − x 2 \sqrt{a^2-x^2} a2−x2	x = a sin ⁡ t , − π 2 < t < π 2 x=a\sin t,-\frac{\pi}{2}\lt t\lt \frac{\pi}{2} x=asint,−2π<t<2π
a 2 + x 2 \sqrt{a^2+x^2} a2+x2	x = a tan ⁡ t , − π 2 < t < π 2 x=a\tan t,-\frac{\pi}{2}\lt t\lt \frac{\pi}{2} x=atant,−2π<t<2π
x 2 − a 2 \sqrt{x^2-a^2} x2−a2	x > a , x = a sec ⁡ t , 0 < t < π 2 x\gt a,x=a\sec t,0\lt t\lt \frac{\pi}{2} x>a,x=asect,0<t<2π

2.2.5 倒代换

适用：分母次数>分子次数

例4 求 ∫ a 2 − x 2 x 4 d x ( a ≠ 0 ) \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx}(a\not=0) ∫x4a2−x2 dx(a=0)
解： ( 1 ) 利用上面的三角代换，自己做 ( 1 ) 倒代换 , 令 x = 1 t d x = − 1 t 2 , a 2 − x 2 = a 2 t 2 − 1 ∣ t ∣ ∫ a 2 − x 2 x 4 d x = ∫ a 2 t 2 − 1 ∣ t ∣ ⋅ t 4 ⋅ ( − 1 t 2 ) d t = − ∫ a 2 t 2 − 1 ⋅ ∣ t ∣ d t 当 x > 0 时， t = 1 x > 0 ∫ a 2 − x 2 x 4 d x = − 1 2 a 2 ∫ ( a 2 t 2 − 1 ) 1 2 d ( a 2 t 2 − 1 ) d t = − ( a 2 − x 2 ) 3 2 3 a 2 x 3 + C 当 x < 0 时， t = 1 x < 0 ∫ a 2 − x 2 x 4 d x = − ( a 2 − x 2 ) 3 2 3 a 2 x 3 + C 综上 ∫ a 2 − x 2 x 4 d x = − ( a 2 − x 2 ) 3 2 3 a 2 x 3 + C 解：(1)利用上面的三角代换，自己做\\ (1)倒代换,令x=\frac{1}{t} \\ dx=-\frac{1}{t^2},\sqrt{a^2-x^2}=\frac{\sqrt{a^2t^2-1}}{|t|} \\ \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx}=\int{\frac{\sqrt{a^2t^2-1}}{|t|}\cdot t^4\cdot(-\frac{1}{t^2})dt} \\ =-\int{\sqrt{a^2t^2-1}\cdot|t|dt} \\ 当x\gt0时，t=\frac{1}{x}\gt0\\ \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx}=-\frac{1}{2a^2}\int{(a^2t^2-1)^{\frac{1}{2}}d(a^2t^2-1)dt}=-\frac{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}{3a^2x^3}+C\\ 当x\lt0时，t=\frac{1}{x}\lt0\\ \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx}=-\frac{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}{3a^2x^3}+C \\ 综上 \int{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^4}dx}=-\frac{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}{3a^2x^3}+C 解：(1)利用上面的三角代换，自己做(1)倒代换,令x=t1dx=−t21,a2−x2 =∣t∣a2t2−1 ∫x4a2−x2 dx=∫∣t∣a2t2−1 ⋅t4⋅(−t21)dt=−∫a2t2−1 ⋅∣t∣dt当x>0时，t=x1>0∫x4a2−x2 dx=−2a21∫(a2t2−1)21d(a2t2−1)dt=−3a2x3(a2−x2)23+C当x<0时，t=x1<0∫x4a2−x2 dx=−3a2x3(a2−x2)23+C综上∫x4a2−x2 dx=−3a2x3(a2−x2)23+C

2.2.6 根式代换

例5 求 ∫ 1 1 + 2 x d x \int{\frac{1}{1+\sqrt{2x}}dx} ∫1+2x 1dx
解：令 2 x = t , x = t 2 2 , d x = t ∫ 1 1 + 2 x d x = ∫ t 1 + t d t = t − ln ⁡ ∣ t + 1 ∣ + C = 2 x − ln ⁡ ∣ s q r t 2 x + 1 ∣ + C 解：令\sqrt{2x}=t,x=\frac{t^2}{2},dx=t \\ \int{\frac{1}{1+\sqrt{2x}}dx}=\int{\frac{t}{1+t}dt}=t-\ln|t+1|+C\\ =\sqrt{2x}-\ln|sqrt{2x}+1|+C 解：令2x =t,x=2t2,dx=t∫1+2x 1dx=∫1+ttdt=t−ln∣t+1∣+C=2x −ln∣sqrt2x+1∣+C

3 积分推导公式

常用积分公式，除了基本积分表中，在添加下面几个前面推导的公式：

∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C \int{\tan xdx}=-\ln|\cos x|+C ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C
∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C \int{\cot xdx}=\ln|\sin x|+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C \int{\sec xdx}=\ln|\sec x+\tan x|+C ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C \int{\csc xdx}=\ln|\csc x-\cot x|+C ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C ∫a2+x21dx=a1arctanax+C
∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C \int{\frac{dx}{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C ∫x2−a2dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C
∫ d x a 2 − x 2 = arcsin ⁡ x a + C \int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+C ∫a2−x2 dx=arcsinax+C
∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C ∫x2+a2 dx=ln(x+x2+a2 )+C
∫ d x x 2 − a 2 = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C ∫x2−a2 dx=ln∣x+x2−a2 ∣+C

例6 求 ∫ x 3 ( x 2 − 2 x + 2 ) 2 d x \int{\frac{x^3}{(x^2-2x+2)^2}dx} ∫(x2−2x+2)2x3dx
解： x 2 − 2 x + 2 = ( x − 1 ) 2 + 1 , 令 x − 1 = tan ⁡ t , ( − π 2 < t < π 2 ) ∫ x 3 ( x 2 − 2 x + 2 ) 2 d x = ∫ ( tan ⁡ t + 1 ) 3 sec ⁡ 4 t sec ⁡ 2 t d t = ∫ ( sin ⁡ 3 t cos ⁡ − 1 t + 3 sin ⁡ 2 t + 3 sin ⁡ t cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t ) d t = − ln ⁡ cos ⁡ t − cos ⁡ 2 t + 2 t − sin ⁡ t cos ⁡ t + C 按 tan ⁡ t = x − 1 做辅助三角形， cos ⁡ t = 1 x 2 − 2 x + 2 , sin ⁡ t = x − 1 x 2 − 2 x + 2 ∫ x 3 ( x 2 − 2 x + 2 ) 2 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 − 2 x + 2 ) + 2 arctan ⁡ ( x − 1 ) − x x 2 − 2 x + 2 + C 解：\\ x^2-2x+2=(x-1)^2+1 ,令x-1=\tan t ,(-\frac{\pi}{2}\lt t\lt\frac{\pi}{2})\\ \int{\frac{x^3}{(x^2-2x+2)^2}dx}=\int{\frac{(\tan t+1)^3}{\sec^4t}\sec^2tdt}\\ =\int{(\sin^3t\cos^{-1}t+3\sin^2t+3\sin t\cos t+\cos^2t)dt}\\ =-\ln\cos t-\cos^2t+2t-\sin t\cos t+C\\ 按\tan t=x-1做辅助三角形，\\ \cos t=\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}},\sin t=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}} \\ \int{\frac{x^3}{(x^2-2x+2)^2}dx}=\frac{1}{2}\ln(x^2-2x+2)+2\arctan(x-1)-\frac{x}{x^2-2x+2}+C 解：x2−2x+2=(x−1)2+1,令x−1=tant,(−2π<t<2π)∫(x2−2x+2)2x3dx=∫sec4t(tant+1)3sec2tdt=∫(sin3tcos−1t+3sin2t+3sintcost+cos2t)dt=−lncost−cos2t+2t−sintcost+C按tant=x−1做辅助三角形，cost=x2−2x+2 1,sint=x2−2x+2 x−1∫(x2−2x+2)2x3dx=21ln(x2−2x+2)+2arctan(x−1)−x2−2x+2x+C
辅助三角形图示：

后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P193~p207.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p28.

三角函数公式