初中生都会的平面几何题,你的毕业证还在不?
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作者 | 小K
出品 | 公众号:小K算法 (ID:xiaok365)
01
故事起源
偶然间看到了一道初中平面几何题,感觉很简单,2分钟秒杀应该问题不大。微积分也许我唯唯诺诺,初中数学还不得重拳出击啊。
如下图,其中已知的角度已标明,求角BCD多少度?
02
分析
已经给出了4个角度,所以先把能求的信息全部求出来。
角CAB=角CBA=70度,可知为等腰三角形。
延长BD与AC相交于E,可知BE垂直AC。
延长AD与BC相交于F,可知AFB为70度,则AFB也为等腰,且与CAB相似。
通过F作FG//AC,FG与AB相交于G,可知FGB也相似CAB。
到这里感觉马上就要出来了,不过好像还是差了一点点。。。
别怀疑你的智商,2分钟秒杀还是不太现实的,硬实有点难度啊,哈哈。
03
非主流思考
通过严谨的逻辑+推理,貌似并不能得到结果,那就换个思路。
比如我问你:角BCD的范围大概是多少度,你能感觉出来吗?
ACB=40,所以BCD肯定是小于40的。CD偏左一点,所以BCD肯定大于ACB的一半,即大于20,如果是中考,我可能会直接填上30度,别问为什么,问就是直觉,你信不,哈哈。
那到底BCD会不会真是30度呢?肯定不会是28.5度或者33.7度吧,那不然这个出题的老师就太坑了,得上正余弦硬解方程了。
04
特殊信息
角度信息已经利用完了,但没有得到结果,接下来要思考能不能利用边的信息。边是可以等比缩放的,所以边只考虑比例,而不是具体的值。
边肯定与角度相关,比如一些特殊角,30,45,60度等。我们可以看到图中出现了30度,那就尝试转化成边的信息继续思考。
作AD中点H,连接EH,EHD为等边三角形。作DI垂直AB,HD=HI=AH,所以角HIA=40度。
因为H是中点,且CAB是等腰三角形,可以再作AB的中点G,连接CG,HG。
HG//BD,所以角HGI=20度,因为上一步得出HIA=40度,所以HIG也是等腰三角形。
此时得到ED=HD=HI=IG。
可以再作DJ垂直CG,与CG相交于J点,所以DIGJ是一个矩形,即DJ=IG。再结合上一步信息,得出ED=DJ,所以CD是角ECJ的角平分线,因为ECJ=20度,所以角ECD=10度,所以BCD=30度。
05
总结
几何解法非常漂亮,但很难想到,辅助线非常关键,方向不对容易一条路走到黑。可以多尝试几种不同的辅助线作法。如果还是不行,那最后一招就是用正余弦定理直接解方程,这个我想大家应该都会吧,那就不再举例了,哈哈。
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