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看到群里面一个人说："神经网络本质上就是一个复合函数，初中生都懂。”他的理由是：

「人工神经网络其实就是个复合函数，也就是类似y=h(g(f(x)))这种简单的破玩意，是初高中生都会的东西。哪怕深度神经网络，也不过是函数复合程度很高罢了。就是这么个简单得不能再简单的东西，神经网络这种看起来很高大上的单词只不过是某些"计算机人工智能深度学习业界砖家"们的骗局，在真正的数学家面前不堪一击。因为它本身就是一场骗局，所以你们知道为什么深度学习的泡沫会崩溃了吧？」。

请教一下各位大佬，尤其是数学方面的大佬，如何评价这种言论，从数学意义上看他说的真的正确吗？神经网络真的这么简单吗，真的有他说的这么不堪吗？

作者：Yuhang Liu
https://www.zhihu.com/question/359965663/answer/927763066

复合函数并不简单。。了解一点动力系统的人都知道，哪怕是x^2+c这么简单的二次函数，自迭代很多次以后也可以产生非常复杂/混沌的动力学行为。当然神经网络不一定是从离散动力系统的角度做的，但是非线性函数多重复合，确实可以用来拟合很复杂的映射。非线性是魔鬼啊，自然界的复杂性大部分来自非线性。

另外定义简单不代表内容简单，哥德巴赫猜想连小学生都看得懂呢。。我相信神经网络里面蕴含非常复杂的数学问题，只是做神经网络的人可能不会把这些问题提炼抽象出来，他们只关注实际模型上的效果。而且虽然做深度学习的人天天说着要学数学的人加入，但是真正的数学工作者加入以后似乎也没什么有价值的产出啊。。顾险峰用最优传输解释GAN的文章，在业界风评到底如何？

作者：章彦博
https://www.zhihu.com/question/359965663/answer/927773868

复合函数并不简单。。了解一点动力系统的人都知道，哪怕是x^2+c这么简单的二次函数，自迭代很多次以后也可以产生非常复杂/混沌的动力学行为。当然神经网络不一定是从离散动力系统的角度做的，但是非线性函数多重复合，确实可以用来拟合很复杂的映射。非线性是魔鬼啊，自然界的复杂性大部分来自非线性。

另外定义简单不代表内容简单，哥德巴赫猜想连小学生都看得懂呢。。我相信神经网络里面蕴含非常复杂的数学问题，只是做神经网络的人可能不会把这些问题提炼抽象出来，他们只关注实际模型上的效果。而且虽然做深度学习的人天天说着要学数学的人加入，但是真正的数学工作者加入以后似乎也没什么有价值的产出啊。。顾险峰用最优传输解释GAN的文章，在业界风评到底如何？

说这种话的人，我一般称之为「Trivializer」。他们喜欢给不平凡的事物强加一个平凡的解读，还美其名曰「本质」。

如果这个「本质」不能容易地解释：为何神经网络有通用的拟合能力、具有泛化能力、在一些行为上与人脑类似，那这就不叫本质，充其量是另一个表象而已，而且还是个没用的表象。

对于神经网络的惊人特性，这种解读没有做出任何直接解释。反倒是洋洋自得、大肆批判，「看！我窥见了本质！神经网络不过如此！」

不，你没有窥见本质。

作者：aluea
https://www.zhihu.com/question/359965663/answer/986326443

不请自来

首先只有复合函数的话不是神经网络，因为这个复合函数只是一阶的，而一阶函数无法'逼近任意形式的函数'，不满足定义。(稍微列一下可能的基础知识点)

1.需要激活函数，对向量中每个元素进行运算，需要线性代数的知识。

2.如何求解这个函数的参数呢，初中就可以联立方程组求解，但很可惜，5阶及以上的函数不存在固定的求根公式。只能进行估计，极大似然估计近似最优化求解(梯度下降就是方法之一，还有核方法，牛顿方法，EM算法，分支定界+退火等)，至少需要概率论基础知识。

3.最优化问题，如果被优化的是一个凸函数，只要收敛一定会到达最优解。但是数据分布不是凸函数，任务目标样目繁多，均衡两者用辅助函数构造一个凸的目标函数，高等代数都不能够。

4.所以凸函数也就是想想，大多数目标函数都是非凸的。存在大量的局部最优点，即非凸优化问题，这个问题本身就是一门学科。且易证明高维参数空间中落到局部最优点的概率极端的小，更多的是大片的平滑鞍面，如何避免陷入这个面，是非凸优化在神经网络上的应用。

5.评价，用什么方法来衡量模型到底学会了没有，或者说损失函数怎么搞。一本信息论可以搞定一半，贝叶斯定理打打补丁。

6.'逼近任意形式的函数'这个命题对吗，不对，有限制。可证明，若要n维数据必定可分，需要嵌入2n+2维数据空间。以及激活函数在空间上的变换作用(残差学习的必要性)。欧式空间性质高维拓展。

7.限制二，无法逼近狄克拉函数。通过傅里叶变换观察神经网络的频谱可以发现其频率存在上界。是一个关于谱范数的不等式，即谱范数越大，神经网络能够捕捉的频率越高。这里谱范数是一个关于神经网络每层参数范数的积的函数。从傅里叶变换的角度说明了正则项对于过拟合的意义。

8.流形，通常描述为高维空间中嵌入的低维几何结构(也可以同维)。神经网络就是将数据表示的流形映射到输出空间的工具。对于不同的流形，神经网络的学习效率也不同。例如，含有高频分量的流形，能够帮助神经网络(低频的)表达高频信息。高等几何仅能让你对此并非一无所知。

9.归纳偏置(模型结构)，权重无关神经网络证明了即使所有的权重都是1，结构化的神经网络也可以很好的工作，图论、群论。侧面说明的模型结构的重要性，自动获得一个可以工作的网络结构是一个细分的学科，空间搜索。

etc.手动获得一个网络结构(这里往下已经和"本质"没关系了)。卷积层(泛函分析),循环层(随机过程)，注意力机制，上采样，BN，归一化，overlap，dropout，残差，池化，随机森林以及包括但不限于脑科学、解剖神经学、心理学、物理学，哲学等学科的启发知识。

ps.围绕着这一网络定义，在方法论上的不同。监督学习、无监督学习、强化学习、对抗学习、教师强制，课程学习，模仿学习，迁移学习，小样本学习，多任务学习，多模态学习，元学习等。

pps.其他的网络定义，图网络，脉冲神经网络，选择性脱敏神经网络，层级时间记忆网络等。

ppps.和上述轻型垂直应用神经网络(专用人工智能)并行的交叉学科，通用人工智能。

一样东西是什么，取决于你观察它的角度。

作者：徐知
https://www.zhihu.com/question/359965663/answer/927767545

这题我最适合回答，因为专业相关。

这是我们第一天上课老师给的一张图

所以，提出这个观点的人现在正处在图上有一点对应的位置。

作者：知乎用户
https://www.zhihu.com/question/359965663/answer/927753897

本质上就是复合函数没错。

但怎么从浩如烟海的函数空间里找到最好用的那个就是难点了。(从纯数学角度是无穷多个，考虑计算机处理数字是离散化的，总量是有限的，但依然远超天文数字。)

当然，计算机科学家和数学家实际上也没法保证找到最好用的那个，只能在一些条件下给出一些非常弱的估计。

幂级数、傅里叶级数不过是选了一些基函数做简单的线性叠加，如果固定有限项截断，可以看作是一层或两层（取决于你把x变成sin(x)或cos(x)算不算一层，该层只是个预处理，激活函数不统一，系数也不参与优化。）的神经网络。

而函数复合能产生什么东西，这是非常非常非常难的。

随便写一个，是否存在函数f(x)使得f(f(x))=sin x?

对于业界而言，重要的不是背后的原理有多高深，而是能不能解决问题。

如果你能在围棋上赢了alphago，那么你用的方法越浅显不是越好么？（当然，必须遵守围棋的基本规则，掀棋盘之类不用说）

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