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关于曲线绘图与运动控制问题的研究姓名:张硕朱聪聪禹雪珂学号:201722060220172106102017210609专业:研究生组题目:关于曲线绘图与运动控制问题的研究摘要随着计算机的广泛应用,计算机辅助绘图在当今社会已成为计算机辅助设计的基础。本文的建模题目就是利用数学建模的方法来研究计算机绘图以及运动控制的原理。针对问题一,首先根据题意建立了满足条件的三阶贝塞尔曲线模型,让屏幕上的4点在一条光滑又简单的曲线上。然后根据模型计算出由以下4点构成的参数方程,运用matlab编程,绘出了相应的曲线。针对问题二的第一步,先把所给的参数方程的参数作4等分,即,然后用matlab编程绘图,验证出了当参数作4等分时,这些点对应的曲线弧长并不是4等分的。对于弧长n等分的问题,随后利用微积分的原理建立了求弧长的公式模型。在弧长公式的基础上,进行弧长等分。利用这个模型,求出每段弧长对应的参数t,结合所给的参数方程,最后利用编程绘制出了曲线的弧长4等分和10等分图像。关键词:贝塞尔曲线;微积分;MATLAB绘图问题重述目前计算机辅助绘图已成为计算机辅助设计的基础,本文的问题就是利用数学建模的方法来研究计算机绘图以及运动控制的基本原理。问题1:绘图在计算机屏幕上随机地画出和,利用这4个点的信息绘制出一条曲线,其中让为曲线的起点,为曲线的终点,和为控制点。曲线在起点处,以方向为切线方向,在终点处,以方向为切线方向。使用参数方程来描述这条曲线,但满足上述条件的曲线有无穷条,请增加一些条件,使它表示一条曲线,并且具有形式简单(如多项式)、曲线光滑(如连续可微)和美观等特点。根据建立的模型写出由以下4点构成曲线的参数方程,并绘出这条曲线(同时在图上标注这4个点,和相应的切线)。问题2:运动控制计算机辅助设计在一些情况下,需要对沿着指定的运动途径的空间位置进行精确的控制,而参数方程给出的曲线一般是达不到这一效果。也就是说,若将参数作等分,而对应的曲线弧长并不是等分的。例如:需要控制的曲线由下列参数方程表示(1-1)若将参数作4等分,即,而这些点对应的曲线弧长并不是4等分的,本题需要绘图验证这一点,并给出将弧长作等分的数学模型或计算公式。根据建立的数学模型,将参数方程(1-1)所绘出曲线的弧长4等分和10等分。绘出参数方程(1-1)的控制曲线,并标注出弧长4等分和10等分的等分点。二.问题分析对于问题一,是让我们对计算机屏幕上的随机4点满足的参数方程添加一些条件,使得绘出的曲线只有一条,且具有一定的特点。根据搜集的信息,首先我们建立了三阶贝塞尔曲线方程的模型,这个模型是多项式,绘出的曲线具有形式简单,曲线光滑和美观等特点。然后根据模型求出了4点满足的曲线的参数方程,并用matlab软件绘制出了相应的曲线。对于问题二,要求我们在参数等分的情况下,给出将弧长等分的数学模型。根据题意我们已经知道了需要控制的曲线的参数方程,利用微积分的方法,给出了求曲线弧长的计算公式,在此基础上对弧长进行等分。根据建立的模型,利用matlab软件绘制出将参数方程(1-1)所绘出曲线的弧长4等分和10等分的图像。三.模型假设1.假设计算机屏幕上的随机4点没有重合。2.假设计算机正常运行。3.假设用matlab运行的误差忽略不计。四.符号说明参数t定点控制点幕上的任意四点参数方程的系数总弧长每段的弧长五.模型的建立与求解5.1理论准备5.1.1贝塞尔曲线简介贝塞尔曲线,又称贝兹曲线或贝济埃曲线,是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线,贝兹曲线由线段与节点组成,节点是可拖动的支点,线段像可伸缩的皮筋,它是计算机图形学中相当重要的参数曲线。贝塞尔曲线是根据4个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线,我们把这4个点设为和,贝塞尔曲线必定通过首尾两个端点,中间的两个点虽然未必要通过,但却起着牵制曲线形状路径的作用,称为控制点。通过调整控制点,贝塞尔曲线的形状会发生变化beisaier.gif。5.1.2贝塞尔曲线的参数表示当控制点不同时,贝塞尔曲线的方程就不同。在这里,可以简单的分为一阶、二阶、三阶、和高阶贝塞尔曲线。下面对其参数方程进行简单的介绍。一阶贝塞尔曲线给定点P0、P1,线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出:且其等同于线性插值。B.二阶贝塞尔曲线二次方贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)追踪:TrueType字型就运用了以贝兹样条组成的二次贝兹曲线。C.三阶贝塞尔曲线P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝兹曲线。曲线起始于P0走向P1,并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2;这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距,决定了曲线在转而趋进P3之前,走向P2方向的“长度有多长

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