机器学习-决策树（Decision Tree）

内容参考自：ML-NLP/Machine Learning/3.Desition Tree at master · NLP-LOVE/ML-NLP · GitHub，有修改

1. 什么是决策树

1.1 决策树的基本思想

1.2 “树”的成长过程

1.3 "树"怎么长

2. 树形结构为什么不需要归一化?

3. 分类决策树和回归决策树的区别

4. 决策树如何剪枝

5. 代码实现

1. 什么是决策树

1.1 决策树的基本思想

其实用一下图片能更好的理解LR模型和决策树模型算法的根本区别，我们可以思考一下一个决策问题：是否去相亲，一个女孩的母亲要给这个女海介绍对象。

大家都看得很明白了吧！LR模型是一股脑儿的把所有特征塞入学习，而决策树更像是编程语言中的if-else一样，去做条件判断，这就是根本性的区别。

1.2 “树”的成长过程

决策树基于“树”结构进行决策的，这时我们就要面临两个问题：

“树”怎么长。
这颗“树”长到什么时候停。

弄懂了这两个问题，那么这个模型就已经建立起来了，决策树的总体流程是“分而治之”的思想，一是自根至叶的递归过程，一是在每个中间节点寻找一个“划分”属性，相当于就是一个特征属性了。接下来我们来逐个解决以上两个问题。

这颗“树”长到什么时候停

当前结点包含的样本全属于同一类别，无需划分；例如：样本当中都是决定去相亲的，属于同一类别，就是不管特征如何改变都不会影响结果，这种就不需要划分了。
当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分；例如：所有的样本特征都是一样的，就造成无法划分了，训练集太单一。
当前结点包含的样本集合为空，不能划分。

1.3 "树"怎么长

在生活当中，我们都会碰到很多需要做出决策的地方，例如：吃饭地点、数码产品购买、旅游地区等，你会发现在这些选择当中都是依赖于大部分人做出的选择，也就是跟随大众的选择。其实在决策树当中也是一样的，当大部分的样本都是同一类的时候，那么就已经做出了决策。

我们可以把大众的选择抽象化，这就引入了一个概念就是纯度，想想也是如此，大众选择就意味着纯度越高。好，在深入一点，就涉及到一句话：信息熵越低，纯度越高。我相信大家或多或少都听说过“熵”这个概念，信息熵通俗来说就是用来度量包含的“信息量”，如果样本的属性都是一样的，就会让人觉得这包含的信息很单一，没有差异化，相反样本的属性都不一样，那么包含的信息量就很多了。

一到这里就头疼了，因为马上要引入信息熵的公式，其实也很简单：

Pk表示的是：当前样本集合D中第k类样本所占的比例为Pk。

信息增益（information gain）

表示得知特征X的信息而使得类Y的信息不确定性减少的程度，G(D,a)表示使用属性a对样本集D进行划分带来的信息增益，设D为数据集， $\left | D \right |$ 为样本数，有K个类Ck， $\left | C_{k} \right |$ 类Ck的样本数，有 $\sum_{k=1}^{K}C_{k}=\left | D \right |$

a有v个取值{a1,a2,...av}，根据特征将D划分为V个子集，D1,D2,...DV， $\left | D_{v} \right |$ 为Dv的样本个数，Dv中属于Ck的样本集合为Dvk

其中：

$Ent(D) = - \sum_{k=1}^{K}\frac{\left | C_{k} \right |}{\left | D \right |}log_{2}\frac{\left | C_{k} \right |}{\left | D \right |}$ ,

$Ent(D^{v}) = - \sum_{k=1}^{K}\frac{\left | D_{vk} \right |}{\left | D_{v} \right |}log_{2}\frac{\left | D_{vk} \right |}{\left | D_{v} \right |}$

好了，有了前面的知识，我们就可以开始“树”的生长了。

1.3.1 ID3算法

ID3算法的核心就是在决策树的各个节点处使用信息增益为准则选择属性，递归的构造决策树。具体方法，在根节点处计算信息熵，然后根据属性依次划分并计算其节点的信息熵，用根节点信息熵减去属性节点的信息熵=信息增益，根据信息增益进行降序排列，排在前面的就是第一个划分属性，其后依次类推，这就得到了决策树的形状，也就是怎么“长”了。

不过，信息增益有一个问题：对可取值数目较多的属性有所偏好，例如：考虑将“编号”作为一个属性。为了解决这个问题，引出了另一个算法C4.5。

1.3.2 C4.5

为了解决信息增益的问题，引入一个信息增益率：

其中：

属性a的可能取值数目越多(即V越大)，则IV(a)的值通常就越大。**信息增益比本质：是在信息增益的基础之上乘上一个惩罚参数。特征个数较多时，惩罚参数较小；特征个数较少时，惩罚参数较大。**不过有一个缺点：

缺点：信息增益率偏向取值较少的特征。

使用信息增益率：基于以上缺点，并不是直接选择信息增益率最大的特征，而是现在候选特征中找出信息增益高于平均水平的特征，然后在这些特征中再选择信息增益率最高的特征。

1.3.3 CART(Classification And Regression Tree)算法

CART假设决策树是二叉树（即特征取值为是和否），左分支为取值为“是”的分支，右分支为取值为“否”的分支。这样的决策树等价于递归的二分每个特征。

数学家真实聪明，想到了另外一个表示纯度的方法，叫做基尼指数(讨厌的公式)：

表示在样本集合中一个随机选中的样本被分错的概率。举例来说，现在一个袋子里有3种颜色的球若干个，伸手进去掏出2个球，颜色不一样的概率，这下明白了吧。Gini(D)越小，数据集D的纯度越高。

举个例子

假设现在有特征 “学历”，此特征有三个特征取值： “本科”，“硕士”， “博士”，

当使用“学历”这个特征对样本集合D进行划分时，划分值分别有三个，因而有三种划分的可能集合，划分后的子集如下：

1.划分点： “本科”，划分后的子集合： {本科}，{硕士，博士}

2.划分点： “硕士”，划分后的子集合： {硕士}，{本科，博士}

3.划分点： “博士”，划分后的子集合： {博士}，{本科，硕士}}

对于上述的每一种划分，都可以计算出基于 划分特征= 某个特征值 将样本集合D划分为两个子集的纯度：

因而对于一个具有多个取值（超过2个）的特征，需要计算以每一个取值作为划分点，对样本D划分之后子集的纯度Gini(D,Ai)，(其中Ai 表示特征A的可能取值)

然后从所有的可能划分的Gini(D,Ai)中找出Gini指数最小的划分，这个划分的划分点，便是使用特征A对样本集合D进行划分的最佳划分点。到此就可以长成一棵“大树”了。

1.3.4 三种不同的决策树

ID3：取值多的属性，更容易使数据更纯，其信息增益更大。

训练得到的是一棵庞大且深度浅的树：不合理。
C4.5：采用信息增益率替代信息增益。
CART：以基尼系数替代熵，最小化不纯度，而不是最大化信息增益。

2. 树形结构为什么不需要归一化?

因为数值缩放不影响分裂点位置，对树模型的结构不造成影响。按照特征值进行排序的，排序的顺序不变，那么所属的分支以及分裂点就不会有不同。而且，树模型是不能进行梯度下降的，因为构建树模型（回归树）寻找最优点时是通过寻找最优分裂点完成的，因此树模型是阶跃的，阶跃点是不可导的，并且求导没意义，也就不需要归一化。

既然树形结构（如决策树、RF）不需要归一化，那为何非树形结构比如Adaboost、SVM、LR、Knn、KMeans之类则需要归一化。

对于线性模型，特征值差别很大时，运用梯度下降的时候，损失等高线是椭圆形，需要进行多次迭代才能到达最优点。但是如果进行了归一化，那么等高线就是圆形的，促使SGD往原点迭代，从而导致需要的迭代次数较少。

3. 分类决策树和回归决策树的区别

Classification And Regression Tree(CART)是决策树的一种，CART算法既可以用于创建分类树（Classification Tree），也可以用于创建回归树（Regression Tree），两者在建树的过程稍有差异。

回归树：

CART回归树是假设树为二叉树，通过不断将特征进行分裂。比如当前树结点是基于第j个特征值进行分裂的，设该特征值小于s的样本划分为左子树，大于s的样本划分为右子树。

而CART回归树实质上就是在该特征维度对样本空间进行划分，而这种空间划分的优化是一种NP难问题，因此，在决策树模型中是使用启发式方法解决。典型CART回归树产生的目标函数为：

因此，当我们为了求解最优的切分特征j和最优的切分点s，就转化为求解这么一个目标函数：

所以我们只要遍历所有特征的的所有切分点，就能找到最优的切分特征和切分点。最终得到一棵回归树。

参考文章：经典算法详解--CART分类决策树、回归树和模型树

4. 决策树如何剪枝

决策树的剪枝基本策略有预剪枝 (Pre-Pruning) 和后剪枝 (Post-Pruning)。

预剪枝：其中的核心思想就是，在每一次实际对结点进行进一步划分之前，先采用验证集的数据来验证如果划分是否能提高划分的准确性。如果不能，就把结点标记为叶结点并退出进一步划分；如果可以就继续递归生成节点。
后剪枝：后剪枝则是先从训练集生成一颗完整的决策树，然后自底向上地对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树替换为叶结点能带来泛化性能提升，则将该子树替换为叶结点。

参考文章：决策树及决策树生成与剪枝

5. 代码实现

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