这是多年以前做的一道题目，原题来自软件报或者电脑报 ，我记不清了。解决这个题目有一个关键的步骤，就是要求一个整数在一个整数三角阵中的坐标。这篇blog就是讨论这个求坐标的问题，不是讨论那个报纸上的题目。现在将题目描述如下：

三角阵如下所示：

1

2         3

4         5         6

7        8         9        10

11       12       13       14        15

... ... ...

n     n+1    n+2             ... ...               n+k

三角阵中的每一个数字都有一个坐标对应，其中行是X轴，从右上往左下倾斜的边是Y轴。比如：2的坐标是（2，1），9的坐标是（4，3），应该很容易理解吧。下面还是从最简单的解法开始讨论。先看X轴坐标的求法。我们需要逐步的减去整数的个数，第一次减去第一行的整数个数，第二次减去第2行的整数的个数，如此重复知道给定的整数不够减而成为负数为止。这时将循环中当前使用的行数就是X轴的坐标，而不够减的数值就是Y轴的坐标。现在的问题就是怎么个减法效率才能尽可能的高，因为给定的整数可能非常的大，这里考虑理想情况，不要考虑具体一个语言的对整数溢出的限制，否则讨论算法的效率就没有意义了。

第一个方法是写一个第一项为1，公差为1的等差数列的求和函数，参数为n，返回值是前n项的和。然后开始从1循环，将返回值和给定整数比较，从而求得坐标。这个当然是最差的做法，效率几乎是最低的。如果谁在我的项目中这样写代码，那么这个月的工资会打折扣的。至少我们给出的解法应该是这样的：不能用一个求和函数来做，而是应该利用循环，从前n项的和递推出前n+1项的和，循环中应该有类似如下的递推求和代码：

nCount = nCount + 1; nSum = nSum + nCount;

由于整个计算过程使用加减完成，并且不存在回溯的情况，虽然整数有可能会很大，但是这个解法的效率应该是不会太差的，这个非常显然。因为大O时间复杂度中最高的指数为1，效率是很高的了。所以这算是一个解法，如此写代码的话至少满足使用要求，不扣工资了。

但是这个解法有一个问题，就是太过简单。当然在很多时候简单是一个非常好的特点，但是在这里不行，简单的让人觉得简陋了。思考片刻后，我得到了又一个更好的解法。那就是在循环递推前n项的和的时候，循环递增的步长不设置为固定的1，而是可变长的，比如2的整数倍，也就是每次循环递增一倍。这样通过若干次循环后，我们可以发现给定的整数会落在前一次循环（假设此时nCount等于n）所求和，和本次循环（假设此时nCount等于2n）所求和的范围之内。即便是对于一个很大的整数，由于循环的步长是2的几何数量级的增长，所以可以很快的找到这个范围。那么找到了这个范围之后又如何呢？我们可以在脑海中假设一个数组，这个数组是这个等差数列的前n项和的数组。第一个元素是前一项的和，第二个元素是前两项的和，如此，第n个元素就是前n项的和。那么我们知道了给定整数所落在的范围，于是我们就可以使用折半查找的办法来获得X轴坐标。但是需要注意的是，这个前n项和的数组不是写死的，需要在使用的时候动态计算出第n个元素的值。显然从算法的角度看这个解法的效率远比前面那个高。我一度为这个解法得意，但是在得意的同时又感到一点遗憾，就是感觉自己不是用算法解决的效率问题，而是用编程技巧解决的问题。我隐隐的感觉似乎还有一个完美的解隐藏着。

于是继续思考，没多久我终于找到了这个完美的解，找到了一个时间复杂度与给定整数大小几乎没有关系的算法。等差数列的求和公式是这样的：S = n(n+1)/2。以前的思路都是从n求得S，然后做减法再接着判断处理，在一个灵感的帮助下，我发现可以把给定的整数看做S，通过求和公式直接求得n。这时n的整数部分就是X坐标，然后减去X坐标值所表示的前若干项的和，就可以得到Y轴的坐标。

从结果看这是最好的算法，它的最优几乎可以被证明。那么如此利用了求和公式而得到的解法能不能算是一个算法呢？当时我认为是，但是由于所用知识过于简单，我不能肯定。直到2年后我自学了一本书，名字叫组合数学，其中有一章讲到了母函数。这时我才明白，我在不自觉地情况下使用了母函数的思路解决了问题。只是这个求和公式比较简单不需要求解特征方程等等相关的东西，所以我才作了出来。至此，我的疑问得到了解答，这是一个堂堂正正的算法。