一道关于老鼠繁衍的算法题

题目源头

这道题目是前些日子，面试阿里的时候，给的一道在线测评算法题

题目描述

大海中央的一座孤岛，上面本来没有老鼠。有一艘路过的船只在附近沉没了，船上 x 对 新出生的老鼠，顺着船只残骸漂流到小岛上。
1. 每两个月一次生产，每次出生 2对 老鼠
2. 老鼠的寿命是 5个月，也就是说一辈子可以生产 2次
3. 这个岛上，每个月因为神秘原因，假如存在 3个月大的老鼠，会死去一对问 n个月后，岛上有多少只老鼠 (假设存活率 100% )

解题思路

1

如果只看第一个条件，颇有一点斐波那契数列的样子。但是这个题目，老鼠不是单纯的生，还有死、意外死，还有生的限制

2

进一步，可以看到，这个题目似乎老鼠是有几个状态的：新生的老鼠，意外死亡，正常死亡的老鼠等
最开始在想，是不是可以存在几个状态转移方程，譬如fn=nx，n个月时该状态下的老鼠数量，多个状态转移与岛上的老鼠有什么关系，去寻找这种关系
但是，想了一会儿，发现这种思路，偏复杂，比如意外死亡是需要考虑老鼠的年龄的，并不是单纯的将现存的老鼠直接-1就可以的，必须是年龄到3个月的时候才可-1。那就说明，这种状态方程计算数目的时候，必须要引入老鼠的年龄的概念。
这里的动态转移方程：已经想到这个题目应该是可以利用动态规划的思想去解决的

3

从老鼠年龄的角度出发，记录不同的月份的老鼠的有多少只，岛上的老鼠数目，就是当前n个月，不同月份的老鼠数目和

思路图解

下文提到的如(1，2)表示，1个月后，年龄为2两个月的老鼠数目

0个月时

其实就是新生老鼠来到岛上的时候，只存在x只新生的老鼠

1个月时

约束：
- (1,1)的老鼠，只能由0个月时的0个月的老鼠(0,0)成长而来，计算时候只需要考虑(0,0)格子(当前月份的老鼠，只能由上一个月的老鼠成长而来)
- 同理，(1,2)有(0,1)
- 没有新生，(1,0)为0

2个月时

约束：
- 岛上开始出现2个月的老鼠(1,1)经过1个月的成长具备生育能力，(2,0)为2*(1,1)

3个月时

约束：
- 岛上开始出现3个月的老鼠，出现意外死亡，(3,3)=(2,2)-1
- (3,0)为0，因为(2,1)为0，不存在具备生育能力的老鼠
- (3,1)，(3,2)分别由(2,0)，(2，1)成长而来

4个月时

约束：
- (3,3)经过一个月的成长，又具备生育能力了(每两个月)，因此(4,0)=2*(3,1)+2*(3,3)

5个月时

约束：
- 正常死亡，(5,5)由(4,4)成长而来，但是会死亡，所以(5，5)为0
- 其实这个状态是可以没有的，因为(n,5)恒为0，不存在5个月的老鼠，但是这里为了体现死亡状态，特地把这一行写出来

状态转移方程

得出状态转移方程

0个月 f0(n) = 2f1(n-1)+2f3(n-1) //1个月，3个月的老鼠剩余
1个月 f1(n) = f0(n-1) //0个月的老鼠成长
2个月 f2(n) = f1(n-1) //1个月的老鼠成长
3个月 f3(n) = f2(n-1)-1 假设f2(n-1)>0 //2个月的老鼠成长，意外死亡1对
4个月 f4(n) = f3(n-1) //3个月的老鼠成长
5个月 f5(n) = 0 //4个月成长的老鼠，死亡
总的老鼠：total[n] = f0+f1+f2+f3+f4+f5

// f0(n) n个月时，0个月的老鼠有几只
// 从上面其实可以看出，再强调一次，第n个月老鼠数目，只与n-1个月时的不同月份的老鼠有关(后面代码优化的时候会用到的)

一个二维数组记录n+1行，6列，行数表示当前时间，列数表述当前n个月，不同年龄的老鼠array[n+1][6]


0个月时，[x,0,0,0,0,0]
1个月时，根据array[0]进行计算
2个月时，根据array[1]进行计算
3个月时，根据array[2]进行计算
.....

**总的老鼠：total[n] = array[n][0]+array[n][1]+array[n][2]+array[n][3]+array[n][4]+array[n][5]

空间复杂度优化

其实，思路解析到这里，如果有接触过01背包问题的同学，已经感觉到非常熟悉了，01背包问题的优化，最后会有存在对空间复杂度的优化
这里用二维数组进行记录，array[n]的状态，只跟array[n-1]有关，其实不需要O(n)的空间复杂度的
只需要array[2][6]的数组即可！

0个月时，[x,0,0,0,0,0]
1个月时，根据array[0]进行计算(跟前面一样)2个月时，根据array[1]进行计算，记录在array[0](因为，原先的array[0]已经成长为array[1]了，array[0]已经是废弃数据了，因此原先的array[2]数据可以记录在array[0]，上一个月数据就是array[1])3个月时，根据array[0]进行计算，记录在array[1]
.....

实际写代码的时候，只要当前月份除2取余数，得出记录月份以及上一月的计算基础

代码

阿里的测评，对面试者，并没有类似leetcode提交代码，看是否ac。而是给出思路，手写代码。所以这边只提供思路，不提供解题代码~（其实，上面的分析，理解完，代码已经非常清晰了）
我自己用js将上面的状态转移方程呈现出来，以及考虑优化，代码在50行以内
大家可以用自己熟悉的语言写写看

last

不清楚上面是否有遗漏的case，欢迎交流，提供不一样的解题思路~

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解题思路

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思路图解

0个月时

1个月时

2个月时

3个月时

4个月时

5个月时

状态转移方程

空间复杂度优化

代码

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