Codeforces 338 D. GCD Table

http://codeforces.com/problemset/problem/338/D

题意：

有一张n*m的表格，其中第i行第j列的数为gcd(i,j)

给出k个数

问在这张表格中是否有某一行中连续的某一部分就是这k个数

题意转化：

是否存在一对i，j

满足gcd（i，j）=a1，gcd（i，j+1）=a2，…… gcd（i，j+k-1）=ak

直观上感觉：

i要满足的必要条件是 i | lcm（a1，a2……ak）

j要满足的必要条件是

j= a1*k1，j+1=a2*k2……，j+k-1=ak*k_k

相当于

j ≡ 0 mod a1

j ≡ -1 mod a2

……

j≡ -(k-1) mod ak

利用扩展中国剩余定理可以求出满足条件的最小的j

我们令i=lcm（a1，a2……ak）

去检验是否满足 gcd（i，j+m-1）= a_m m∈[1,k]

若满足条件输出YES，否则输出NO

为什么用满足必要条件的最小的i和j检验?

证明 i= lcm（a1，a2……ak）是唯一满足要求的i：

若还存在一个 i*x 满足条件，那么

将 i ， i*x，j 质因数分解，存在一个 p^k 能整除i*x、j，不能整除i

∵ i= lcm（a1，a2……ak）

∴i的质因数分解的任意一项必须能整除 a中的某一个

而 p^k 不能整除a 中的任意一个，否则i的质因数分解包含 p^k

证明满足 j ≡ -（h-1） mod a[h] 的最小的j一定满足要求

若存在一个j*x 满足条件，而j不满足条件

即存在一个h，满足 gcd（i，j+h-1）< a[h]，gcd（i，j*x+h-1）= a[h]

将 j，j*x ，a[h]质因数分解，j*x 中存在一个p^k2，满足

j 中为 p^k1，a[h] 中为 p^k2 ，且 k1<k2

∵ j ≡ -（h-1） mod a[h]

即 j= a[h]*s - h+1

∴ j+h-1 = a[h]*s，所以k1>=k2

所以最小的j一定满足要求

#include<cstdio>
#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;#define N 10001LL a[N];LL n1,a1;LL lcm;template<typename T>
void read(T &x)
{x=0; char c=getchar();while(!isdigit(c)) c=getchar();while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
}LL gcd(LL a,LL b) { return !b ? a : gcd(b,a%b); }bool judge_lcm(int k,LL n)
{lcm=1;for(int i=1;i<=k;++i) {lcm=lcm/gcd(lcm,a[i])*a[i];if(lcm>n) return false;}return true;
}void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{if(!b) { x=1; y=0; return;}exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x;
}LL mul(LL a,LL b,LL mod)
{LL res=0;while(b){if(b&1) { b--; res+=a; res%=mod; }a<<=1; a%=mod; b>>=1;}return res;
}    LL merge(LL n2,LL a2)
{LL d=gcd(n1,n2),c=a2-a1;if(c%d) return -1;LL x,y;exgcd(n1/d,n2/d,x,y);LL mod=n2/d;x=(x%mod+mod)%mod;LL k=(mul(c/d,x,mod)%mod+mod)%mod;a1=(a1+n1*k%(mod*n1))%(mod*n1);n1*=mod;return a1;
}int main()
{LL n,m; int k;read(n); read(m); read(k);for(int i=1;i<=k;++i) read(a[i]);if(!judge_lcm(k,n)){puts("NO");return 0;}n1=a[1]; a1=0;LL j=a1;for(int i=2;i<=k;++i){j=merge(a[i],a[i]-(i-1));if(j==-1) { puts("NO"); return 0; }}if(!j) j=lcm;if(j+k-1>m) { puts("NO"); return 0;}for(int i=1;i<=k;++i) if(gcd(lcm,j+i-1)!=a[i]) { puts("NO"); return 0; }puts("YES");
}

转载于:https://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/8459432.html

Codeforces 338 D. GCD Table相关推荐

Codeforces Round #323 (Div. 2) C. GCD Table
C. GCD Table 题目链接: http://codeforces.com/contest/583/problem/C 题意是给你n个数,可以构成n*n的GCD矩阵,矩阵里的元素顺序可以是任意的 ...
Codeforces Round #323 (Div. 2) C.GCD Table
C. GCD Table The GCD table G of size n × n for an array of positive integers a of length n is define ...
CF338D GCD Table（拓展中国剩余定理，细节处理，2900分）
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划 CF338D GCD Table(拓展中国剩余定理,细节处理,2900分) Problem 有一张 n ...
Codeforces Round #323 (Div. 2): C. GCD Table（思维题）
题意: 给你一个长度为n的序列a[1]~a[n], 之后用这个序列生成一个n*n的矩阵,其中矩阵第i行第i列的值为a[i],第i行第j列(j!=i)的值为Gcd(a[i], a[j]),现在给你一个矩 ...
CodeForces - 803C Maximal GCD（贪心 + 枚举）
链接一链接二 You are given positive integer number n. You should create such strictly increasing sequence ...
CodeForces - 1459C Row GCD(数论+推公式)
题目链接:点击查看题目大意:给出一个长度为 nnn 的数组 aaa,再给出一个长度为 mmm 的数组 bbb,现在要求输出,当 j=1,2,...,mj = 1,2,...,mj=1,2,...,m ...
Codeforces 40 E. Number Table
题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/40/E 妙啊... 因为已经确定的格子数目严格小于了$max(n,m)$,所以至少有一行或者一列是空着的, ...
CF D. GCD Table
传送门题意: 给你一个n*m的矩阵,第i行j列元素的值为gcd(i,j),现给你一个长度为k的序列,问这个序列是否能和矩阵中某一行连续子串匹配. 思路: 对于 a 1 a_1 a1来说,我们可以列 ...
Codeforces 623B Array GCD 数论,dp
文章目录题意题解题意一个序列每个数都大于111,要使整个数列的最大公约数大于111,可以最多删除一个子串,每一个数花费aaa元,也可以给一个数增添111或者减少111,每个数最多操作一次.求达 ...

Codeforces 338 D. GCD Table

Codeforces 338 D. GCD Table相关推荐

最新文章

热门文章