算法系列15天速成——第十三天 树操作【下】
2024-05-06 05:30:03
今天说下最后一种树，大家可否知道，文件压缩程序里面的核心结构，核心算法是什么？或许你知道，他就运用了赫夫曼树。
听说赫夫曼胜过了他的导师，被认为”青出于蓝而胜于蓝“，这句话也是我比较欣赏的，嘻嘻。
一 概念
了解”赫夫曼树“之前，几个必须要知道的专业名词可要熟练记住啊。
1： 结点的权
“权”就相当于“重要度”，我们形象的用一个具体的数字来表示，然后通过数字的大小来决定谁重要，谁不重要。
2： 路径
树中从“一个结点"到“另一个结点“之间的分支。
3： 路径长度
一个路径上的分支数量。
4： 树的路径长度
从树的根节点到每个节点的路径长度之和。
5： 节点的带权路径路劲长度
其实也就是该节点到根结点的路径长度*该节点的权。
6: 树的带权路径长度
树中各个叶节点的路径长度*该叶节点的权的和，常用WPL(Weight Path Length)表示。
二： 构建赫夫曼树
上面说了那么多，肯定是为下面做铺垫，这里说赫夫曼树，肯定是要说赫夫曼树咋好咋好，赫夫曼树是一种最优二叉树,
因为他的WPL是最短的，何以见得？我们可以上图说话。
现在我们做一个WPL的对比：
图A: WPL= 5*2 + 7*2 +2*2+13*2=54
图B：WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48
我们对比一下，图B的WPL最短的，地球人已不能阻止WPL还能比“图B”的小，所以，“图B"就是一颗赫夫曼树，那么大家肯定
要问，如何构建一颗赫夫曼树，还是上图说话。
第一步： 我们将所有的节点都作为独根结点。
第二步: 我们将最小的C和A组建为一个新的二叉树，权值为左右结点之和。
第三步： 将上一步组建的新节点加入到剩下的节点中，排除上一步组建过的左右子树，我们选中B组建新的二叉树，然后取权值。
第四步： 同上。
三： 赫夫曼编码
大家都知道，字符，汉字，数字在计算机中都是以0，1来表示的，相应的存储都是有一套编码方案来支撑的，比如ASC码。
这样才能在"编码“和”解码“的过程中不会成为乱码，但是ASC码不理想的地方就是等长的，其实我们都想用较少的空间来存储
更多的东西，那么我们就要采用”不等长”的编码方案来存储，那么“何为不等长呢“？其实也就是出现次数比较多的字符我们采用短编码，
出现次数较少的字符我们采用长编码，恰好，“赫夫曼编码“就是不等长的编码。
这里大家只要掌握赫夫曼树的编码规则：左子树为0，右子树为1，对应的编码后的规则是：从根节点到子节点
A: 111
B: 10
C: 110
D: 0
四： 实现
不知道大家懂了没有，不懂的话多看几篇，下面说下赫夫曼的具体实现。
第一步：构建赫夫曼树。
第二步：对赫夫曼树进行编码。
第三步：压缩操作。
第四步：解压操作。
1：首先看下赫夫曼树的结构，这里字段的含义就不解释了。
1 #region 赫夫曼树结构 2 /// <summary> 3 /// 赫夫曼树结构 4 /// </summary> 5 public class HuffmanTree 6 { 7 public int weight { get; set; } 8 9 public int parent { get; set; }10 11 public int left { get; set; }12 13 public int right { get; set; }14 }15 #endregion2： 创建赫夫曼树，原理在上面已经解释过了，就是一步一步的向上搭建，这里要注意的二个性质定理：
当叶子节点为N个，则需要N-1步就能搭建赫夫曼树。
当叶子节点为N个，则赫夫曼树的节点总数为:(2*N)-1个。
1 #region 赫夫曼树的创建 2 /// <summary> 3 /// 赫夫曼树的创建 4 /// </summary> 5 /// <param name="huffman">赫夫曼树</param> 6 /// <param name="leafNum">叶子节点</param> 7 /// <param name="weight">节点权重</param> 8 public HuffmanTree[] CreateTree(HuffmanTree[] huffman, int leafNum, int[] weight) 9 { 10 //赫夫曼树的节点总数 11 int huffmanNode = 2 * leafNum - 1; 12 13 //初始化节点，赋予叶子节点值 14 for (int i = 0; i < huffmanNode; i++) 15 { 16 if (i < leafNum) 17 { 18 huffman[i].weight = weight[i]; 19 } 20 } 21 22 //这里面也要注意，4个节点，其实只要3步就可以构造赫夫曼树 23 for (int i = leafNum; i < huffmanNode; i++) 24 { 25 int minIndex1; 26 int minIndex2; 27 SelectNode(huffman, i, out minIndex1, out minIndex2); 28 29 //最后得出minIndex1和minindex2中实体的weight最小 30 huffman[minIndex1].parent = i; 31 huffman[minIndex2].parent = i; 32 33 huffman[i].left = minIndex1; 34 huffman[i].right = minIndex2; 35 36 huffman[i].weight = huffman[minIndex1].weight + huffman[minIndex2].weight; 37 } 38 39 return huffman; 40 } 41 #endregion 42 43 #region 选出叶子节点中最小的二个节点 44 /// <summary> 45 /// 选出叶子节点中最小的二个节点 46 /// </summary> 47 /// <param name="huffman"></param> 48 /// <param name="searchNodes">要查找的结点数</param> 49 /// <param name="minIndex1"></param> 50 /// <param name="minIndex2"></param> 51 public void SelectNode(HuffmanTree[] huffman, int searchNodes, out int minIndex1, out int minIndex2) 52 { 53 HuffmanTree minNode1 = null; 54 55 HuffmanTree minNode2 = null; 56 57 //最小节点在赫夫曼树中的下标 58 minIndex1 = minIndex2 = 0; 59 60 //查找范围 61 for (int i = 0; i < searchNodes; i++) 62 { 63 ///只有独根树才能进入查找范围 64 if (huffman[i].parent == 0) 65 { 66 //如果为null，则认为当前实体为最小 67 if (minNode1 == null) 68 { 69 minIndex1 = i; 70 71 minNode1 = huffman[i]; 72 73 continue; 74 } 75 76 //如果为null，则认为当前实体为最小 77 if (minNode2 == null) 78 { 79 minIndex2 = i; 80 81 minNode2 = huffman[i]; 82 83 //交换一个位置，保证minIndex1为最小，为后面判断做准备 84 if (minNode1.weight > minNode2.weight) 85 { 86 //节点交换 87 var temp = minNode1; 88 minNode1 = minNode2; 89 minNode2 = temp; 90 91 //下标交换 92 var tempIndex = minIndex1; 93 minIndex1 = minIndex2; 94 minIndex2 = tempIndex; 95 96 continue; 97 } 98 } 99 if (minNode1 != null && minNode2 != null)100 {101 if (huffman[i].weight <= minNode1.weight)102 {103 //将min1临时转存给min2104 minNode2 = minNode1;105 minNode1 = huffman[i];106 107 //记录在数组中的下标108 minIndex2 = minIndex1;109 minIndex1 = i;110 }111 else112 {113 if (huffman[i].weight < minNode2.weight)114 {115 minNode2 = huffman[i];116 117 minIndex2 = i;118 }119 }120 }121 }122 }123 }124 #endregion3:对哈夫曼树进行编码操作，形成一套“模板”，效果跟ASC模板一样，不过一个是不等长，一个是等长。
1 #region 赫夫曼编码 2 /// <summary> 3 /// 赫夫曼编码 4 /// </summary> 5 /// <param name="huffman"></param> 6 /// <param name="leafNum"></param> 7 /// <param name="huffmanCode"></param> 8 public string[] HuffmanCoding(HuffmanTree[] huffman, int leafNum) 9 {10 int current = 0;11 12 int parent = 0;13 14 string[] huffmanCode = new string[leafNum];15 16 //四个叶子节点的循环17 for (int i = 0; i < leafNum; i++)18 {19 //单个字符的编码串20 string codeTemp = string.Empty;21 22 current = i;23 24 //第一次获取最左节点25 parent = huffman[current].parent;26 27 while (parent != 0)28 {29 //如果父节点的左子树等于当前节点就标记为030 if (current == huffman[parent].left)31 codeTemp += "0";32 else33 codeTemp += "1";34 35 current = parent;36 parent = huffman[parent].parent;37 }38 39 huffmanCode[i] = new string(codeTemp.Reverse().ToArray());40 }41 return huffmanCode;42 }43 #endregion4：模板生成好了，我们就要对指定的测试数据进行压缩处理
1 #region 对指定字符进行压缩 2 /// <summary> 3 /// 对指定字符进行压缩 4 /// </summary> 5 /// <param name="huffmanCode"></param> 6 /// <param name="alphabet"></param> 7 /// <param name="test"></param> 8 public string Encode(string[] huffmanCode, string[] alphabet, string test) 9 {10 //返回的0,1代码11 string encodeStr = string.Empty;12 13 //对每个字符进行编码14 for (int i = 0; i < test.Length; i++)15 {16 //在模版里面查找17 for (int j = 0; j < alphabet.Length; j++)18 {19 if (test[i].ToString() == alphabet[j])20 {21 encodeStr += huffmanCode[j];22 }23 }24 }25 26 return encodeStr;27 }28 #endregion5： 最后也就是对压缩的数据进行还原操作。
1 #region 对指定的二进制进行解压 2 /// <summary> 3 /// 对指定的二进制进行解压 4 /// </summary> 5 /// <param name="huffman"></param> 6 /// <param name="leafNum"></param> 7 /// <param name="alphabet"></param> 8 /// <param name="test"></param> 9 /// <returns></returns>10 public string Decode(HuffmanTree[] huffman, int huffmanNodes, string[] alphabet, string test)11 {12 string decodeStr = string.Empty;13 14 //所有要解码的字符15 for (int i = 0; i < test.Length; )16 {17 int j = 0;18 //赫夫曼树结构模板(用于循环的解码单个字符)19 for (j = huffmanNodes - 1; (huffman[j].left != 0 || huffman[j].right != 0); )20 {21 if (test[i].ToString() == "0")22 {23 j = huffman[j].left;24 }25 if (test[i].ToString() == "1")26 {27 j = huffman[j].right;28 }29 i++;30 }31 decodeStr += alphabet[j];32 }33 return decodeStr;34 }35 36 #endregion最后上一下总的运行代码
View Code
1 using System; 2 using System.Collections.Generic; 3 using System.Linq; 4 using System.Text; 5 6 namespace HuffmanTree 7 { 8 class Program 9 { 10 static void Main(string[] args) 11 { 12 //有四个叶节点 13 int leafNum = 4; 14 15 //赫夫曼树中的节点总数 16 int huffmanNodes = 2 * leafNum - 1; 17 18 //各节点的权值 19 int[] weight = { 5, 7, 2, 13 }; 20 21 string[] alphabet = { "A", "B", "C", "D" }; 22 23 string testCode = "DBDBDABDCDADBDADBDADACDBDBD"; 24 25 //赫夫曼树用数组来保存，每个赫夫曼都作为一个实体存在 26 HuffmanTree[] huffman = new HuffmanTree[huffmanNodes].Select(i => new HuffmanTree() { }).ToArray(); 27 28 HuffmanTreeManager manager = new HuffmanTreeManager(); 29 30 manager.CreateTree(huffman, leafNum, weight); 31 32 string[] huffmanCode = manager.HuffmanCoding(huffman, leafNum); 33 34 for (int i = 0; i < leafNum; i++) 35 { 36 Console.WriteLine("字符：{0}，权重:{1},编码为:{2}", alphabet[i], huffman[i].weight, huffmanCode[i]); 37 } 38 39 Console.WriteLine("原始的字符串为：" + testCode); 40 41 string encode = manager.Encode(huffmanCode, alphabet, testCode); 42 43 Console.WriteLine("被编码的字符串为：" + encode); 44 45 string decode = manager.Decode(huffman, huffmanNodes, alphabet, encode); 46 47 Console.WriteLine("解码后的字符串为：" + decode); 48 } 49 } 50 51 #region 赫夫曼树结构 52 /// <summary> 53 /// 赫夫曼树结构 54 /// </summary> 55 public class HuffmanTree 56 { 57 public int weight { get; set; } 58 59 public int parent { get; set; } 60 61 public int left { get; set; } 62 63 public int right { get; set; } 64 } 65 #endregion 66 67 /// <summary> 68 /// 赫夫曼树的操作类 69 /// </summary> 70 public class HuffmanTreeManager 71 { 72 #region 赫夫曼树的创建 73 /// <summary> 74 /// 赫夫曼树的创建 75 /// </summary> 76 /// <param name="huffman">赫夫曼树</param> 77 /// <param name="leafNum">叶子节点</param> 78 /// <param name="weight">节点权重</param> 79 public HuffmanTree[] CreateTree(HuffmanTree[] huffman, int leafNum, int[] weight) 80 { 81 //赫夫曼树的节点总数 82 int huffmanNode = 2 * leafNum - 1; 83 84 //初始化节点，赋予叶子节点值 85 for (int i = 0; i < huffmanNode; i++) 86 { 87 if (i < leafNum) 88 { 89 huffman[i].weight = weight[i]; 90 } 91 } 92 93 //这里面也要注意，4个节点，其实只要3步就可以构造赫夫曼树 94 for (int i = leafNum; i < huffmanNode; i++) 95 { 96 int minIndex1; 97 int minIndex2; 98 SelectNode(huffman, i, out minIndex1, out minIndex2); 99 100 //最后得出minIndex1和minindex2中实体的weight最小101 huffman[minIndex1].parent = i;102 huffman[minIndex2].parent = i;103 104 huffman[i].left = minIndex1;105 huffman[i].right = minIndex2;106 107 huffman[i].weight = huffman[minIndex1].weight + huffman[minIndex2].weight;108 }109 110 return huffman;111 }112 #endregion113 114 #region 选出叶子节点中最小的二个节点115 /// <summary>116 /// 选出叶子节点中最小的二个节点117 /// </summary>118 /// <param name="huffman"></param>119 /// <param name="searchNodes">要查找的结点数</param>120 /// <param name="minIndex1"></param>121 /// <param name="minIndex2"></param>122 public void SelectNode(HuffmanTree[] huffman, int searchNodes, out int minIndex1, out int minIndex2)123 {124 HuffmanTree minNode1 = null;125 126 HuffmanTree minNode2 = null;127 128 //最小节点在赫夫曼树中的下标129 minIndex1 = minIndex2 = 0;130 131 //查找范围132 for (int i = 0; i < searchNodes; i++)133 {134 ///只有独根树才能进入查找范围135 if (huffman[i].parent == 0)136 {137 //如果为null，则认为当前实体为最小138 if (minNode1 == null)139 {140 minIndex1 = i;141 142 minNode1 = huffman[i];143 144 continue;145 }146 147 //如果为null，则认为当前实体为最小148 if (minNode2 == null)149 {150 minIndex2 = i;151 152 minNode2 = huffman[i];153 154 //交换一个位置，保证minIndex1为最小，为后面判断做准备155 if (minNode1.weight > minNode2.weight)156 {157 //节点交换158 var temp = minNode1;159 minNode1 = minNode2;160 minNode2 = temp;161 162 //下标交换163 var tempIndex = minIndex1;164 minIndex1 = minIndex2;165 minIndex2 = tempIndex;166 167 continue;168 }169 }170 if (minNode1 != null && minNode2 != null)171 {172 if (huffman[i].weight <= minNode1.weight)173 {174 //将min1临时转存给min2175 minNode2 = minNode1;176 minNode1 = huffman[i];177 178 //记录在数组中的下标179 minIndex2 = minIndex1;180 minIndex1 = i;181 }182 else183 {184 if (huffman[i].weight < minNode2.weight)185 {186 minNode2 = huffman[i];187 188 minIndex2 = i;189 }190 }191 }192 }193 }194 }195 #endregion196 197 #region 赫夫曼编码198 /// <summary>199 /// 赫夫曼编码200 /// </summary>201 /// <param name="huffman"></param>202 /// <param name="leafNum"></param>203 /// <param name="huffmanCode"></param>204 public string[] HuffmanCoding(HuffmanTree[] huffman, int leafNum)205 {206 int current = 0;207 208 int parent = 0;209 210 string[] huffmanCode = new string[leafNum];211 212 //四个叶子节点的循环213 for (int i = 0; i < leafNum; i++)214 {215 //单个字符的编码串216 string codeTemp = string.Empty;217 218 current = i;219 220 //第一次获取最左节点221 parent = huffman[current].parent;222 223 while (parent != 0)224 {225 //如果父节点的左子树等于当前节点就标记为0226 if (current == huffman[parent].left)227 codeTemp += "0";228 else229 codeTemp += "1";230 231 current = parent;232 parent = huffman[parent].parent;233 }234 235 huffmanCode[i] = new string(codeTemp.Reverse().ToArray());236 }237 return huffmanCode;238 }239 #endregion240 241 #region 对指定字符进行压缩242 /// <summary>243 /// 对指定字符进行压缩244 /// </summary>245 /// <param name="huffmanCode"></param>246 /// <param name="alphabet"></param>247 /// <param name="test"></param>248 public string Encode(string[] huffmanCode, string[] alphabet, string test)249 {250 //返回的0,1代码251 string encodeStr = string.Empty;252 253 //对每个字符进行编码254 for (int i = 0; i < test.Length; i++)255 {256 //在模版里面查找257 for (int j = 0; j < alphabet.Length; j++)258 {259 if (test[i].ToString() == alphabet[j])260 {261 encodeStr += huffmanCode[j];262 }263 }264 }265 266 return encodeStr;267 }268 #endregion269 270 #region 对指定的二进制进行解压271 /// <summary>272 /// 对指定的二进制进行解压273 /// </summary>274 /// <param name="huffman"></param>275 /// <param name="leafNum"></param>276 /// <param name="alphabet"></param>277 /// <param name="test"></param>278 /// <returns></returns>279 public string Decode(HuffmanTree[] huffman, int huffmanNodes, string[] alphabet, string test)280 {281 string decodeStr = string.Empty;282 283 //所有要解码的字符284 for (int i = 0; i < test.Length; )285 {286 int j = 0;287 //赫夫曼树结构模板(用于循环的解码单个字符)288 for (j = huffmanNodes - 1; (huffman[j].left != 0 || huffman[j].right != 0); )289 {290 if (test[i].ToString() == "0")291 {292 j = huffman[j].left;293 }294 if (test[i].ToString() == "1")295 {296 j = huffman[j].right;297 }298 i++;299 }300 decodeStr += alphabet[j];301 }302 return decodeStr;303 }304 305 #endregion306 }307 }
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