模型之母：简单线性回归的代码实现

关于作者：饼干同学，某人工智能公司交付开发工程师/建模科学家。专注于AI工程化及场景落地，希望和大家分享成长中的专业知识与思考感悟。

0x00 前言

在《模型之母：简单线性回归&最小二乘法》中，我们从数学的角度理解了简单线性回归，并且推导了最小二乘法。

本文内容完全承接于上一篇，我们来以代码的方式，实现简单线性回归。话不多说，码起来

0x01 简单线性回归算法的实现

首先我们自己构造一组数据，然后画图

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx = np.array([1.,2.,3.,4.,5.])y = np.array([1.,3.,2.,3.,5,])plt.scatter(x,y)plt.axis([0,6,0,6])plt.show()

下面我们就可以根据样本真实值，来进行预测。

实际上，我们是假设线性关系为： 这根直线，然后再根据最小二乘法算a、b的值。我们还可以假设为二次函数：。可以通过最小二乘法算出a、b、c

实际上，同一组数据，选择不同的f(x)，即模型，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线。

不同的数据，更可以选择不同的函数，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线。

下面让我们回到简单线性回归。我们直接假设是一条直线，模型是：

根据最小二乘法推导求出a、b的表达式：

下面我们用代码计算a、b：

# 首先要计算x和y的均值x_mean = np.mean(x)y_mean = np.mean(y)# a的分子num、分母dnum = 0.0d = 0.0for x_i,y_i in zip(x,y):   # zip函数打包成[(x_i,y_i)...]的形式    num = num + (x_i - x_mean) * (y_i - y_mean)    d = d + (x_i - x_mean) ** 2a = num / db = y_mean - a * x_mean

在求出a、b之后，可以计算出y的预测值，首先绘制模型直线：

y_hat = a * x + bplt.scatter(x,y)    # 绘制散点图plt.plot(x,y_hat,color='r')    # 绘制直线plt.axis([0,6,0,6])plt.show()

然后进行预测：

x_predict = 6y_predict = a * x_predict + bprint(y_predict)

5.2

0x02 向量化运算

我们注意到，在计算参数a时：

# a的分子num、分母dnum = 0.0d = 0.0for x_i,y_i in zip(x,y):   # zip函数打包成[(x_i,y_i)...]的形式    num = num + (x_i - x_mean) * (y_i - y_mean)    d = d + (x_i - x_mean) ** 2a = num / d

我们发现有这样一个步骤：向量w和向量v，每个向量的对应项，相乘再相加。其实这就是两个向量“点乘”

这样我们就可以使用numpy中的dot运算，非常快速地进行向量化运算。

总的来说：

向量化是非常常用的加速计算的方式，特别适合深度学习等需要训练大数据的领域。

对于 y = wx + b,  若 w, x都是向量，那么，可以用两种方式来计算，第一是for循环：

y = 0for i in range(n):    y += w[i]*x[i]    y += b

另一种方法就是用向量化的方式实现：

y = np.dot(w,x) + b

二者计算速度相差几百倍，测试结果如下：

import numpy as npimport timea = np.random.rand(1000000)b = np.random.rand(1000000)tic = time.time()c = np.dot(a, b)toc = time.time()print("c: %f" % c)print("vectorized version:" + str(1000*(toc-tic)) + "ms")c = 0tic = time.time()for i in range(1000000):    c += a[i] * b[i]toc = time.time()print("c: %f" % c)print("for loop:" + str(1000*(toc-tic)) + "ms")

运行结果：

c: 249981.256724vectorized version:0.998973846436msc: 249981.256724for loop:276.798963547ms

对于独立的样本，用for循环串行计算的效率远远低于向量化后，用矩阵方式并行计算的效率。因此：

只要有其他可能，就不要使用显示for循环。

0x03 自实现的工程文件

3.1 代码

还记得我们之前的工程文件吗？创建一个SimpleLinearRegression.py，实现自己的工程文件并调用

import numpy as npclass SimpleLinearRegression:    def __init__(self):        """模型初始化函数"""        self.a_ = None        self.b_ = None    def fit(self, x_train, y_train):        """根据训练数据集x_train,y_train训练模型"""        assert x_train.ndim ==1, \            "简单线性回归模型仅能够处理一维特征向量"        assert len(x_train) == len(y_train), \            "特征向量的长度和标签的长度相同"        x_mean = np.mean(x_train)        y_mean = np.mean(y_train)        num = (x_train - x_mean).dot(y_train - y_mean)  # 分子        d = (x_train - x_mean).dot(x_train - x_mean)    # 分母        self.a_ = num / d        self.b_ = y_mean - self.a_ * x_mean        return self    def predict(self, x_predict):        """给定待预测数据集x_predict，返回表示x_predict的结果向量"""        assert x_predict.ndim == 1, \            "简单线性回归模型仅能够处理一维特征向量"        assert self.a_ is not None and self.b_ is not None, \            "先训练之后才能预测"        return np.array([self._predict(x) for x in x_predict])    def _predict(self, x_single):        """给定单个待预测数据x_single，返回x_single的预测结果值"""        return self.a_ * x_single + self.b_    def __repr__(self):        """返回一个可以用来表示对象的可打印字符串"""        return "SimpleLinearRegression()"

3.2 调用

下面我们在jupyter中调用我们自己写的程序：

首先创建一组数据，然后生成SimpleLinearRegression()的对象reg1，然后调用一下

from myAlgorithm.SimpleLinearRegression import SimpleLinearRegressionx = np.array([1.,2.,3.,4.,5.])y = np.array([1.,3.,2.,3.,5,])x_predict = np.array([6])reg = SimpleLinearRegression()reg.fit(x,y)

输出：SimpleLinearRegression()

reg.predict(x_predict)reg.a_reg.a_

输出：array([5.2]) 0.8 0.39999999999999947

y_hat = reg.predict(x)plt.scatter(x,y)plt.plot(x,y_hat,color='r')plt.axis([0,6,0,6])plt.show()

0xFF 总结

在本篇文章中，我们实现了简单线性回归算法的代码，并且使用了向量化运算，事实证明，向量化运算能够提高运算效率。

同时我们发现，只要数学公式推导清楚了，实际写代码时没有太多难度的。

那么我们思考一个问题，在之前的kNN算法(分类问题)中，使用分类准确度来评价算法的好坏，那么回归问题中如何评价好坏呢？

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