编译原理：有穷自动机（DFA与NFA）
任何关于算法、编程、AI行业知识或博客内容的问题，可以随时扫码关注公众号「图灵的猫」，加入”学习小组“，沙雕博主在线答疑~此外，公众号内还有更多AI、算法、编程和大数据知识分享，以及免费的SSR节点和学习资料。其他平台（知乎/B站）也是同名「图灵的猫」，不要迷路哦~
正则表达式的规则很容易理解，但是正则表达式并不能直接用来解析字符串，我们还要引入一种适合转化为计算机程序的模型。今天我们引入的这种模型就叫做有穷自动机（finite automation，FA）,有时也叫有穷状态机（finite state machine）。有穷自动机首先包含一个有限状态的集合，还包含了从一个状态到另外一个状态的转换。有穷自动机看上去就像是一个有向图，其中状态是图的节点，而状态转换则是图的边。此外这些状态中还必须有一个初始状态和至少一个接受状态。
自动机是一种非常有力的工具，其完备的理论可以参考编译原理或者形式语言与自动机等相关教材。从某种定义角度而言，图灵机也是自动机的一种。这里提到的自动机特指有限状态自动机，简称为FA，根据状态转移的性质又分为确定的自动机（DFA）和非确定的自动机（NFA）。FA的表达能力等价于正规表达式或者正规文法。
FA可以看做是一个有向带权图，图的顶点集合称为自动机的状态集合，图的权值集合为自动机的字母集合，图的边代表了自动机中状态变化的情况。此外，根据需要，自动机还需指定初始状态和终态。FA最基本的作用就是形式化描述，而且有利于编程实现。以下提到自动机全部指的是DFA。
考虑仅由字母{a, b}组成的字符串，要求字符串中字母b必须成对出现，否则字符串非法。这个规则实现起来其实非常简单，不需要自动机也完全可以。但是我们考虑使用自动机来进行判断。顺便，该规则的正规表达式描述是：(a|bb)*。星号运算代表重复若干次，包括零次。
我们考虑做一个图来表示描述该规则的DFA。令状态1为初始状态，显然在状态1上，我们还没有违反规则。因此，经过字母a以后我们还可以回到状态1。经过字母b就不能回到状态1了，此时需要一个新状态，令其为2。
状态2表示“待定的”状态，在这个状态时不能肯定字符串是非法的，但也不是合法的。在状态2上，如果经过字母b，就回到了合法的状态也就是状态1,；如果经过字母a，则该字符串肯定是非法的。建立一个新状态即状态3，用于表示非法状态。
状态3比较简单，已经到了非法状态，其后的任何字母都不会改变这个状态了。因此，该DFA可以表示如下。
程序实现也非常简单，状态和字母都被编码成整数，使用一个矩阵表示状态转移，再写一个函数表示自动机的运行，对每一个字符串，从状态1开始运行，运行完毕进行状态判断即可。最后能停留在状态1的字符串才是符合规则的，其余都是非法的。
下面的图展示了一个有穷自动机，有根从外边来的箭头指向的状态表示初始状态，有个黑圈的状态是接受状态：
现在我们来看看有穷自动机怎么处理输入的字符串：
- 一开始，自动机处于初始状态
- 输入字符串的第一个字符，这时自动机会查询当前状态上与输入字符相匹配的边，并沿这条边转换到下一个状态。
- 继续输入下一个字符，重复第二步，查询当前状态上的边并进行状态转换
- 当字符串全部输入后，如果自动机正好处于接受状态上，就说该自动机接受了这一字符串。
刚才我们画的自动机，假如输入的字符串是"hello"（带引号）。一开始状态机处于状态1，输入引号以后就沿引号的边转换到了状态2；接下来输入hello都会沿着a-z这条边回到状态2，最后输入引号，转换到了状态3。由于状态3是接受状态，那么这个自动机就会接受这个字符串。而如果字符串是"abc（不带后面的引号），那么当字符串输入完毕之后自动机会处在状态2，而状态2不是接受状态，所以这个自动机就不接受"abc这个字符串。一个自动机接受的所有字符串组成的集合称作这个自动机的语言。这里语言的概念和上一回我们介绍正则表达式的语言概念是一样，都表示一个有限字符集上的字符串集合。
上面我们画的自动机是一个确定性有穷自动机（DFA），其特点是从每一个状态只能发出一条具有某个符号的边。也就是说不能出现同一个符号出现在同一状态发出的两条边上。但是，还有一种非确定性有穷自动机（NFA），它允许从一个状态发出多条具有相同符号的边，甚至允许发出标有ε（表示空）符号的边，也就是说，NFA可以不输入任何字符就自动沿ε边转换到下一个状态。下图展示了一个非确定性有穷自动机：
非确定性有穷自动机在遇到两条边上有相同的符号，会选择哪一边呢？遇到ε边到底会转移还是不会转移呢？答案是，NFA会自动猜测应该选择哪一条边，而且每次都能猜对。比如说，上面的NFA，假如输入字符串是aa，它就会选择右边这条路径，并且接受这个字符串；假如输入字符是aaa，它就会走左边这条路径，并接受字符串。它绝不会在输入字符是aaa的时候选择右边路径然后做出不接受这一判断。由于我们的计算机并没有这种“猜测”能力，大家可能会对NFA具有这种能力感到奇怪。有些人在刚刚接触这些概念的时候可能会觉得NFA因为具有自动猜测的能力，应该要比DFA更加强大。但事实上是，DFA、NFA和正则表达式是等价的，任何NFA都存在一个与之接受同样语言的DFA，和一个定义相同语言的正则表达式；同理任何正则表达式，也存在一个接受其所定义语言的NFA和一个DFA。这三种模型虽然定义迥然不同，但却表示同样的正则语言。幸运的是，只需要很简单的规则，就能把任何正则表达式转化成NFA，而任何一个NFA又都可以转化为DFA，这样我们就能把正则表达式转化为易于编程的DFA，来真正进行词法分析的工作。（注，也有正则表达式引擎直接模拟NFA的运行来解析字符串，有兴趣的读者可以自行寻找有关的资料。）
现在我们来看怎么把正则表达式转化为NFA。我们上次学到正则表达式有两种基本要素——字符表达式和ε表达式，以及三种基本运算——并、连接和闭包。首先我们来看最基础的ε表达式，它的NFA是这样的：
接下来是字符表达式a，它的NFA是这样：
所有正则表达式都可以转化为一个有一条输入边，以及一个接受状态的的正则表达式，我们先假设一个一般的正则表达式的NFA是这样：
然后我们定义两个正则表达试的并运算，X|Y的NFA为：（实际应用中，常常可以简化掉一部分ε转换边）
两个这正则表达式的连接运算，XY的NFA为：
一个正则表达式的克林闭包运算，Y*的NFA为：
递归运用以上规则，就可以把任何正则表达式转化为NFA。我们来试试看。上次研究了标识符的正则表达式[a-z][a-z0-9]*，运用以上规则，转换成的NFA是：
词法分析时，我们要把所有的单词的正则表达式分别转换成NFA，然后用“并”的关系将所有NFA连接到一起，就成了词法分析所需的最终NFA。
编译原理：有穷自动机（DFA与NFA）相关推荐
- 编译原理——正规式、NFA转换构造DFA、DFA的化简
一.DFA和NFA的区别 NFA:非确定有限自动机 DFA:确定有限自动机 NFA在同一状态,可以有多条出边,DFA在同一状态,只能有一条出边: NFA的初态可以具有多个,DFA的初态是唯一的: 比如 ...
- 编译原理知识点总结——从NFA到DFA的转化
都是由若干个a加若干个b加若干个c,若干个最少为1. 例2,带空边的
- 【编译原理】有限自动机NFA-ε到NFA的探索
文章目录 1 原理分析 2 图解 3 实例推导 1 原理分析 Q:有限个数状态的集合 ∑:输入字母表 T :迁移函数 S :初始状态 F :结束状态 现在来介绍从 NFA-ε 到 NFA 的转换 令Q ...
- 【编译原理】NFA转DFA（子集构造法）
前文回顾 [编译原理]正则表达式转NFA 算法 来自龙书第二版 C++实现 #include<iostream> #include<string> #include<cs ...
- 编译原理3 - 词法分析
目录 正则表达式 (Regular Expression, RE) 正则表达式的定义 正则定义 有穷自动机 (Finite Automata, FA) 概念 FA模型 FA的表示 匹配原则 有穷自动机 ...
- 编译原理——词法分析（3）有穷自动机中DFA与NFA的理解
1.1词法分析器生成工具Lex 虽然在学习上,我们学习的是Lex,但是最近经常使用的是词法分析器生成工具是Flex,它可以为C语言生成代码,Vern Paxson于1987年以C语言写作了Flex,他 ...
- 【编译原理笔记03】词法分析：正则表达式、有穷自动机（FA）、DFA与NFA及RE的相互转换、DFA识别单词、语法检测
本次笔记内容: 3-1 正则表达式 3-2 正则定义 3-3 有穷自动机 3-4 有穷自动机的分类 3-5 从正则表达式到有穷自动机 3-6 从NFA到DFA的转换 3-7 识别单词的DFA 文章目录 ...
- 【C++实现】编译原理 免考小队 NFA转换为等价的DFA
背景 期末考试免考,冲! 实验名称 对任意给定的NFA M进行确定化操作 实验时间 2020年5月21日 到 2020年5月24日 院系 信息科学与工程学院 组员姓名 Chocolate.kry202 ...
- 编译原理: Subset Construction 子集构造法(幂集构造)(NFA转DFA)
编译原理: Subset Construction 子集构造法(幂集构造)(NFA转DFA) 文章目录 编译原理: Subset Construction 子集构造法(幂集构造)(NFA转DFA) 简 ...
- 【编译原理核心知识点总结】第三章、正则文法、NFA、DFA
阅读规范: 本文以重点为主,零碎知识点/相对不够重要的为辅助阅读内容,以脚注形式给出,点击脚注即可快速跳转. 助解题目通常是为了帮助理解给出的题目,考试不考,若已理解可直接跳过. 文中提到的课本是陈火 ...
最新文章
- java.util.Collections.synchronizedSet()方法的使用
- v-vim 代码批量缩进，字符串精确查找及替换
- XML实现Android动画效果anim
- C语言字符篇（五）内存函数
- 很好的 .NET 换肤软件 IrisSkin
- java服务端无法发送给客户端,无法从客户端向服务器发送消息
- #ifndef、#def、#endif等宏是什么意思
- Vue框架里使用Swiper - 安装篇
- golang后端php前端,Golang如何接收前端的参数
- 淘宝面试-Strcpy与memcpy两函数的经典实现
- python多继承顺序及分配,python多继承的查找顺序是什么？
- PHP 代码规范简洁之道
- 服务器wifi无线放大器,无线wifi中继放大器的使用方法
- mount挂载硬盘出错 linux 下分区格式为lvm
- matlab 设置position 位置 /xlabel/legend位置的设置方式
- XMLHttpRequest和referer
- 亚洲领军汽车产业展会Automechanika Shanghai开幕丨Xtecher 前线
- 芯片制造过程3洁净室
- linux考试不及格反思100字,考试不好的检讨书100字（精选7篇）
- 说一说我们合肥黑马程序员