测度定义_测度论浅谈

最近本公众号竟然几乎每天都会涨一个粉，简直太开心了，也许等小编大四的时候会破百哈哈哈，由于太兴奋，所以决定在十点来写这篇推文。

近期没有想好要写的推文的内容，所以就找到了大二下学期和同学一起写(其实是抄各种不同版本的教材)的实变函数结课的小论文。由于全文篇幅过长，就只选取了前面很小的部分(大概前1/9的内容)来做展示(摘要和论文前1/3是本小编写的，所以相较于其他部分会更熟悉些)。

(其实严格地说，并不能算是自己写的，毕竟纯数方向论文十分考验数学功底，本科阶段除非神仙，一般人都没法下笔。很多人也许一辈子也无法发出一篇高质量的纯数论文——数学真是神仙专业。所以我只是做了一个教材的“搬运工”，只不过加上了很多自己的话，用比较通俗的语言大致地说了极小的部分而已)

(先上个部分思维导图——由我的室友画的)

再来展示一下结课小论文的摘要部分：(所有的主要内容都显示在摘要里，在推文里我做了全部摘要展示，是为了让大家能够对测度论有个大致宏观的思路，但是今天的推文只有前面“引入外测度”的部分内容)

为了解决实变函数论的核心问题Lebesgue积分的理论的构建，测度论的引入具有必要性。本文将介绍测度论的构建过程，并针对测度的性质、可测集的判别、可测集常用例子等进行详尽说明。

首先，我们期望平面上的每个点集都有类似长度、面积或体积的度量，这种度量概念应与我们对一般度量的基本要求保持一致，如平移不变性、可加(减)性、非负单调等，从而我们定义了外测度，可是我们发现不管如何更改它的具体定义，在满足非负性、单调性、次可数可加性、平移不变性以及区间的外测度等于它的长度这些必须具备的性质情况下，通过选择公理可证出外测度不具有“体积”所具有的可加性(对于选择公理存在的一些问题，以注释形式给出)。进一步，将目标放在了外测度可列可加性不会“失效”的集合上，针对这类“不失效”集合，引入内测度概念，从而定义新的概念--测度。经过验证可知测度满足原本期望的可列可加性等基本性质。

我们将外测度可列可加性不会“失效”的集合定义为“可测集”，利用可列可加性推出可测集满足的Caratheodory条件。在确定好测度的作用域是可测集后，我们希望知道测度的作用范围是否“广泛”，因此通过分析常见的区间、开集、闭集以及囊括这些的Borel集，我们得出所有Borel集都是可测集的结论；并且进一步分析Borel集和可测集的区别在于相差零测度。

在讨论了上述性质之后,我们还考虑当可测集合列取极限时,其测度会如何变化，通过讨论单调集合列引出测度的上下连续性.

本文主体讨论的测度以及相应性质是关于只取非负值的可列可加的集函数，在拓展部分，我们考虑在理论和应用上常常出现一些可取负值的、满足可列可加性的集函数。

现在开始正文：

今天就先这样吧(有史以来最晚的推文)，可能有些草率，等过段时间有思路了一定好好写！

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