关于被忽略的转置矩阵的公式

关于转置的公式常用的有：

(AB)T=BTAT,(AT)T=A,(kA)T=kAT

(AB)^T = B^TA^T, \\ (A^T)^T = A, \\ (kA)^T = kA^T

有一个非常不同于逆与伴随的是：
(A+B)T=AT+BT(A+B)^T = A^T+B^T

由此引申出来的有：
(A−E)T=AT−ET(A-E)^T = A^T - E^T

看一个例子：
设A是奇数阶矩阵，AAT=ATA=E,|A|>0AA^T= A^TA= E,|A| > 0,则|A−E|=?|A-E| = ?

分析：这里就用到了上面那个被忽视的公式，或者说转置的性质。

|A−E|=|A−AAT|=|A||E−AT|=|A||ET−AT|=|A||(E−A)T|=|A||E−A|;|A−E|=|A−AAT|=|A||E−AT|=|A||AT||A−E|=|A|2|A−E|→|A|2=1,即|A|=1

|A-E| = |A-AA^T| = |A||E-A^T| = |A||E^T-A^T| \\= |A||(E-A)^T| = |A||E-A|; \\|A-E| = |A-AA^T| = |A||E-A^T| = |A||A^T||A-E| = |A|^2|A-E| \\\rightarrow |A|^2 = 1, 即|A| = 1

从而|A−E|=|E−A|;(1)|A-E| = |E-A| ; (1)这是通过一系列运算得到的性质。而|A−E|=|−(E−A)|=(−1)n|E−A|,n是奇数|A-E| = |-(E-A)| = (-1)^n|E-A|, n是奇数

所以|A−E|=−|E−A|;(2)|A-E| = -|E-A| ;(2)
由(1),(2)可以得知：|A−E|=0|A-E| = 0

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