1. 向量和正交基

1.1 向量的内积:

两个向量的内积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量方向上投影的乘积。

两个相互垂直的向量的内积为0。也就是说，两个向量的内积计算出来为0，那么这两个向量正交。

1.2 向量内积的线性表示

1.2.1 二维向量的内积

将向量用放在坐标系中进行表示，那么对于向量 a = (1, 1) 向量b = (2, 0)。那么可以通过带入坐标的方式来进行向量内积的计算。

1.2.2 多维向量的内积表示

对于n维向量，其内积的计算方式，同二维向量一致，都是通过向量对应坐标相乘再相加。

1.3正交基

在n维空间当中，由n个互相正交的向量组成一个正交基，在该空间当中的任何一个向量都可以由该正交基表示。
对于n维空间当中的一个向量，其可以用坐标来表示，其中每个坐标代表了其在对应基向量上的投影。
同样也可以说，一组正交基能够构成在该空间当中的任意一个向量，只需要在每个基向量前确定一组唯一的系数。

2.函数和正交函数集

2.1 函数的内积

对于函数，可以采用和上面向量类似的方法，来求得其内积。首先考虑离散的情况：
如下图，有两个离散的函数，其序列长度是相同的，

对这两个离散的序列求内积可以得

如果在函数得到序列的时候，序列之间的距离趋于0，那么可以两个函数内积的结果根据微积分可以得到。

2.2 函数的正交基

有了函数的内积，那么根据前面多维向量的内积进行一个类似的推导，即可以得到函数正交和函数正交基的概念。
两个函数正交，函数的内积为0

若函数

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