【数学】立体角，积分求球的表面积、体积

对于做实时光线跟踪的理论学习来说，立体角是个非常基础又重要的概念，因此我们要对其进行惮述。在平面圆中我们定义了角的一个衡量标准：弧度。也即当圆的半径 $r=1$ 时，该圆心角的弧长的值即为弧度。

针对三维中球面的概念，我们定义了立体角。先看图：

假若球的半径为 $r$ ，那么我们定义如图所示的锥形，也即：由水平角 $\varphi$ 和垂直角 $\theta$ 的变化量 $d\varphi$ 和 $d\theta$ 交叉形成的一小块区域，现在来估算它的面积 $dA_2$

近似的我们认为它是个长方形，其中由 $d\theta$ 决定的这一边的弧长= $rd\theta$ （弧度的定义就是其所对的单位圆的弧的长度），而另一边则要求其所围圆的半径，也即图中以红色线为半径的水平圆，则其半径 $r_\varphi =rsin\theta$ ,那么

$dA_2=rd\theta *rsin\theta d\varphi=r^2sin\theta d\theta d\varphi$ （公式一）

由此我们定义立体角 $\omega=\frac{dA_2}{r^2}=sin\theta d\theta d\varphi$ ，也即：其对应的单位球球面上的一块面积即为立体角。与平面角是单位圆上的一段弧长类似。其单位是球面度sr，在有些时候也叫平方度。

【单位球的立体角】

现在我们来计算单位球的立体角的角度为多少：

$\Omega =\int_{0}^{\pi }sin\theta d\theta \int_{0}^{2\pi }d\varphi=4\pi$

【积分求球的表面积】

由上面公式1的微元，我们可以对其进行积分：

$S=r^2\int_{0}^{\pi }sin\theta d\theta \int_{0}^{2\pi }d\varphi=4\pi r^2$

【积分求球的体积】

第一步：求体积微元

可以看成立体角椎的体积，由立体角椎的表面积微元（公式一）乘以高r，再乘以1/3也即

$dv=\frac{1}{3}rdA_2=\frac{1}{3}r^3sin\theta d\theta d\varphi$

对其进行积分

$V=\frac{1}{3}r^3\int_{0}^{\pi }sin\theta d\theta \int_{0}^{2\pi }d\varphi=\frac{4}{3}\pi r^3$

【根据场外微元A及其法向求在单位球面上的投影立体角】

可以直观的得到投影立体角 $\Omega$

$\Omega =\frac{A}{d^2}cosa$

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