1 Cutting Stock Problem

1.1 问题引入及模型建立

以切割下料问题（Cutting Stock Problem）为例介绍Cplex求解优化模型，并引出列生成算法。

假设工厂有标准长度为218cm的钢管，现有客户需要44个长度为81cm的钢管，3个长度为70cm的钢卷，48个长度为68cm的钢卷。请问如何将标准长度为218cm的钢管进行切割，才能保证所使用标准长度钢管的数目最小？

切法1：将1个标准长度的钢管切成1个81cm的钢管；
切法2：将1个标准长度的钢管切成1个70cm的钢管；
切法3：将1个标准长度的钢管切成1个68cm的钢管；
……
切法n:……

上述3种切法虽然浪费材料，但这么切一定能满足要求，所以可以作为求解该问题时的初始解。
还可以有好多种切法，最后会对该问题进行求解。

切割下料问题经典的数学模型如下所示：

假设标准钢卷长度为WWW，mmm个顾客想要nin_ini个长度为wiw_iwi的钢卷(i=1,…,m)(i=1,\dots,m)(i=1,…,m)，且(wi≤W)(w_i\le W)(wi≤W)。

符号定义：
KKK：可用标准钢卷的集合；
yky_kyk：如果标准钢卷kkk被切割，yk=1y_k=1yk=1.否则yk=0y_k=0yk=0；
xikx_i^kxik：在标准钢卷kkk上将切割出长度为wiw_iwi的钢卷的数目。

则数学模型（P1P_1P1）如下：

min⁡∑k∈Kyks.t.∑k∈Kxik≥ni,i=1,…,m(需求长度约束)∑i=1mwixik≤Wykk∈K(长度限制约束)xik∈Z+,yk∈{0,1}\min\quad \sum_{k\in K}y_k\\ \text{s.t.}\quad \sum_{k\in K}x_{i}^{k}\ge n_{i},\quad i=1,\dots,m\quad\text{(需求长度约束)}\\ \sum_{i=1}^{m}w_{i}x_{i}^k\leq W{y_{k}}\quad k\in K\quad\text{(长度限制约束)}\\ x_i^k\in \mathbb{Z}_+,y_k\in\{0,1\} mink∈K∑yks.t.k∈K∑xik≥ni,i=1,…,m(需求长度约束)i=1∑mwixik≤Wykk∈K(长度限制约束)xik∈Z+,yk∈{0,1}

但是这个数学模型从计算角度和理论角度而言效率不高。

主要原因是这个数学模型的线性松弛问题LP很差（即LP问题的解与原问题的解相差很大）。事实上，松弛问题LP的界为∑i=1mwiniW\frac{\sum_{i=1}^mw_in_i}{W}W∑i=1mwini:

∑k∈Kyk=∑k∈K∑i=1mwixikW=∑i=1mwi∑k∈KxikW=∑i=1mwiniW\sum_{k\in K}y_k=\sum_{k\in K}\sum_{i=1}^m\frac{w_ix_i^k}{W}=\sum^m_{i=1}w_i\sum_{k\in K}\frac{x_i^k}{W}=\sum_{i=1}^m \frac{w_in_i}{W} k∈K∑yk=k∈K∑i=1∑mWwixik=i=1∑mwik∈K∑Wxik=i=1∑mWwini

1.2 模型P1P_1P1的Cplex直接求解

/*cplex header file*/
#include <ilcplex/ilocplex.h>/*using name space for cplex program*/
ILOSTLBEGINtypedef IloArray<IloNumVarArray> NumVarMatrix2; // 2-d float variables containerstatic void readData(const char* filename, IloNum& rollWidth, IloInt& N, IloNumArray& size, IloNumArray& amount){ifstream in(filename);if(in){in >> rollWidth;//input the standard width of the steel rollin >> N;//input the costs of rollsin >> size;//input the size demand of cilentsin >> amount;//input the amount demand of cilents}else{//in case file dose not existcerr << "No such file: " << filename << endl;exit(0);}/*check out the input data*//*cout << rollWidth << endl;cout << N << endl;for (int i = 0; i < size.getSize(); i++) {cout << size[i] << "\t";}cout << endl;for (int i = 0; i < amount.getSize(); i++) {cout << amount[i] << "\t";}cout << endl;*/
}int main(){IloEnv env;//declare the cplex environment/*try to establish the model and slove it*/try{IloInt i, j;IloNum rollWidth;//the width of rollsIloInt N;//the maximum number of rollsIloNumArray amount(env);//the wanted amount of cilentsIloNumArray size(env);//the wanted size of cilentsreadData("ncutstock.dat", rollWidth, N, size, amount);//input the data of the problem instance//system("pause");//check out the data input process/*cutting stock problem*/IloModel cutOpt(env);//declare the model for cutting stock problem/*declare and create variables*/IloBoolVarArray y(env, N);//y_iNumVarMatrix2 x(env, N);//x_{ij}for (i = 0; i < N; i++) {y[i] = IloBoolVar(env);}for (i = 0; i < N; i++) {x[i] = IloNumVarArray(env, size.getSize());for (j = 0; j < size.getSize(); j++) {x[i][j] = IloNumVar(env, 0.0, IloInfinity, ILOINT);}}//construct objective functionIloExpr obj(env);for (i = 0; i < N; i++) {obj += y[i];}//add the objective function to the solving model//IloObjective obj = IloMinimize(env, sum);cutOpt.add(IloMinimize(env, obj));//declare and construct the constraintsIloRangeArray cons(env);IloExprArray con1(env);con1 = IloExprArray(env, size.getSize());for (j = 0; j < size.getSize(); j++) {con1[j] = IloExpr(env);}for (j = 0; j < size.getSize(); j++) {for (i = 0; i < N; i++) {con1[j] += x[i][j];}cons.add(con1[j] >= amount[j]);}IloExprArray con2(env);con2 = IloExprArray(env, N);for (i = 0; i < N; i++) {con2[i] = IloExpr(env);}IloExprArray con3(env);con3 = IloExprArray(env, N);for (i = 0; i < N; i++) {con3[i] = IloExpr(env);}for (i = 0; i < N; i++) {for (j = 0; j < size.getSize(); j++) {con2[i] += size[j] * x[i][j];}}for (i = 0; i < N; i++) {con3[i] = rollWidth * y[i];}for (i = 0; i < N; i++) {cons.add(con3[i] - con2[i] >= 0);}/*add the constraints to the solving model*/cutOpt.add(cons);/*sovle the model and refer to the results*/IloCplex cutSolver(cutOpt);cutSolver.solve();//solve the master problecutSolver.exportModel("cuttingstock.lp");//export the model as lp fileif (cutSolver.getStatus() == IloAlgorithm::Infeasible) {env.out() << "No Solution" << endl;}else {cout << endl;cout << "The total costs of used rolls: " << cutSolver.getObjValue() << endl; //output the total costs of used rollscout << endl;}}catch(IloException& ex){cerr << "Error: " << ex << endl;}catch(...){cerr << "Error" << endl;}env.end();return 0;
}

假设钢管长度为120米，总共有240根，现在有10个顾客，顾客的要求随机生成如下：
demands = [10, 11, 11, 12, 12, 12, 10, 11, 12, 10]
lengths = [92, 59, 97, 32, 38, 55, 80, 75, 108, 57]
求解结果如下：

Reference

运筹学（最优化理论）学习笔记 | 列生成法
【学界/编码】从下料问题看整数规划中的列生成方法（附Gurobi求解器源代码）

C++用户的Cplex使用指南（三）——Cutting stock problem求解相关推荐

【Column Generation思考-02】|从对偶的角度理解Cutting Stock Problem【更新版本】
[Column Generation思考-01]|从对偶的角度理解 Cutting Stock Problem简介 Cutting Stock Problem的Column generation re ...
[ISUX译]iOS 9人机界面指南(三)：iOS 技术
[ISUX译]iOS 9人机界面指南(三):iOS 技术 UI规范 summer 2015-11-29 3247浏览 0评论专为0基础小白量身打造的UI设计入门课程(ps,ai软件+图标技巧),在线 ...
Linux文件命令精通指南(三)(转)
Linux文件命令精通指南(三)(转) 查看和查找文件文件过滤器用来读取文件内容和在文件内容上执行操作的命令有时被称为 1y滤器.sed 和 awk 命令是两个滤波器的例子,因为在以前的 OTN ...
上传文件转换html异常,JS 文件互转、10 个 HTML 文件上传技巧、Web 用户体验设计提升指南、奇怪的知识——位掩码 | 思否技术周刊...
上传文件功能可以说是项目经常出现的需求.从在社交媒体上上传照片到在求职网站上发布简历,文件上传无处不在.在本文中,我们将讨论 HTML文件上传支持的10种用法,希望对你有用. 1. 单文件上传我们可 ...
知乎用户和龙鹏-言有三：计算机视觉应该怎样入门？
本文来源与知乎网,版权归作者知乎用户和龙鹏-言有三所有~~~ 知乎用户: 自学了一段时间计算机视觉(Computer Vision),下文简称:CV.内容以基本概念为主,形式以看书为主,跟着敲代码为辅 ...
linux用户管理最常用的三个文件说明（不完整版）
涉及到三个文本文件:/etc/passwd /etc/shadow /etc/group 文件相关: /etc/passwd和用户名相关 /etc/shadow和密码相关 /etc/group和用户所 ...
麒麟linux创建用户组,麒麟Linux系统用户和组管理指南（21页）-原创力文档
中标麒麟Linux服务器操作系统培训系列中标麒麟Linux系统用户和组管理指南技术创新,变革未来本章目标 •熟悉中标麒麟Linux服务器操作系统中用户和组的基本操作命令和方法: •了解用户和用 ...
深信服何朝曦：托管云为用户上云提供第三种选择
9月17日,以"万物皆可云"为主题的信服云创新峰会成功举办.会上,深信服科技股份有限公司CEO何朝曦分享了运用云计算技术帮助用户进行数字化转型的观点.他认为兼具公有云和私有云优势的 ...
C++11 并发指南三(Lock 详解)
在 <C++11 并发指南三(std::mutex 详解)>一文中我们主要介绍了 C++11 标准中的互斥量(Mutex),并简单介绍了一下两种锁类型.本节将详细介绍一下 C++11 标准 ...
python输入错误提示再次输入_Python实现用户登录并且输入错误三次后锁定该用户...
实现用户登录并且输入错误三次后锁定该用户我的测试环境,win7,python3.5.1 提示输入用户名,和密码判断是否被锁定判断用户名和密码是否匹配输入错误三次,账号被锁定思路代码块 na ...

C++用户的Cplex使用指南（三）——Cutting stock problem求解

1 Cutting Stock Problem

1.1 问题引入及模型建立

1.2 模型P1P_1P1的Cplex直接求解

C++用户的Cplex使用指南（三）——Cutting stock problem求解相关推荐

最新文章

热门文章

C++用户的Cplex使用指南（三）——Cutting stock problem求解

1 Cutting Stock Problem

1.1 问题引入及模型建立

1.2 模型P1P_1P1​的Cplex直接求解

C++用户的Cplex使用指南（三）——Cutting stock problem求解相关推荐

最新文章

热门文章

1.2 模型P1P_1P1的Cplex直接求解