期权价格
- 期权价格上限
- 不支付红利股票的欧式看涨期权的下限
- 不支付红利的股票的欧式看跌期权下限
- 看涨期权-看跌期权平价关系
- 红利影响
- 提前行权
股票价格模型
- 维纳过程
伊藤过程和伊藤引理
- 不支付红利股票价格的行为过程

期权价格

期权价格上限

根据看涨期权的定义和无套利原理可知，无论欧式看涨期权(ccc)还是美式看涨期权(CCC)的价值都不会超过标的物的价格，否则就会出现套利。即
c≤S;C≤Sc\leq S;C\leq Sc≤S;C≤S.
看跌期权可以以行权价格KKK出售股票，无论股票价格多低，期权的价格不会低于KKK.即
p≤K;P≤Kp\leq K;P\leq Kp≤K;P≤K
欧式期权在时间TTT内的价值不会超过KKK
p≤Ke−r(T−t)p\leq Ke^{-r(T-t)} p≤Ke−r(T−t)

不支付红利股票的欧式看涨期权的下限

不支付红利股票的欧式看涨期权的下限为
S−Ke−r(T−t)S-Ke^{-r(T-t)} S−Ke−r(T−t)
考虑以下两个组合：
组合A：一个价格为ccc的欧式看涨期权加上金额为Ke−r(T−t)Ke^{-r(T-t)}Ke−r(T−t)的现金
组合B：一股标的价格为SSS的股票
在TTT时刻，如果ST>KS_T>KST>K，组合A的价值为STS_TST，如果ST<KS_T<KST<K，组合A的价值为KKK，所以在TTT时刻组合AAA的价值为
min⁡{ST,K}\min\{S_T, K\} min{ST,K}
由于组合A具有转为组合B的权利，所以在ttt时刻，组合A的价值大于组合B
c+Ke−r(T−t)≥Sc+Ke^{-r(T-t)}\geq S c+Ke−r(T−t)≥S
即
c≥max⁡{S−Ke−r(T−t),0}c\geq \max\{S-Ke^{-r(T-t)}, 0\} c≥max{S−Ke−r(T−t),0}

不支付红利的股票的欧式看跌期权下限

不支付红利股票的欧式看跌期权的下限为
Ke−r(T−t)−SKe^{-r(T-t)}-S Ke−r(T−t)−S
考虑如下两个组合：
组合A：一个价格为ppp的欧式看跌期权加上一股标的价格为SSS的股票
组合B：金额为Ke−r(T−t)Ke^{-r(T-t)}Ke−r(T−t)的现金
如果ST<KS_T<KST<K，那么在TTT时刻，组合A将进行行权，组合价值为KKK；如果ST>KS_T>KST>K，组合A将不行权，组合价值为STS_TST，所以在时刻TTT，组合A价值是
max⁡{ST,K}\max\{S_T, K\} max{ST,K}
可以发现，组合A有置换为组合B的权利，因此组合A的价值大于等于组合B的价值
p+S>Ke−r(T−t)，p≥0p>max⁡{Ke−r(T−t)−S,0}p+S>Ke^{-r(T-t)}，p\geq 0\\ p>\max\{Ke^{-r(T-t)}-S, 0\} p+S>Ke−r(T−t)，p≥0p>max{Ke−r(T−t)−S,0}

看涨期权-看跌期权平价关系

考虑欧式看跌期权价格ppp和欧式看涨期权ccc之间的关系
组合A：一个价格为ccc的欧式看涨期权加上金额为Ke−r(T−t)Ke^{-r(T-t)}Ke−r(T−t)的现金
组合B：一个价格为ppp的欧式看跌期权加上一股标的价格为SSS的股票
可以知道，两个组合在时间TTT的价值均为
max⁡{ST,K}\max\{S_T, K\} max{ST,K}
根据欧式期权的性质，可知组合A和组合B在任意时刻的价值均相等，即
c+Ke−r(T−t)=p+Sc+Ke^{-r(T-t)}=p+S c+Ke−r(T−t)=p+S
如果是不支付红利的美式期权，可以推导出关系
S−K<C−P<S−Ke−r(T−t)S-K<C-P<S-Ke^{-r(T-t)} S−K<C−P<S−Ke−r(T−t)

红利影响

欧式看涨期权
考虑以下两种组合：
组合A：一个价格ccc的欧式看涨期权加上数额为D+Ke−r(T−t)D+Ke^{-r(T-t)}D+Ke−r(T−t)的现金（DDD为行权期内红利的现值）
组合B：股价为SSS的股票
可以推出
c>S−D−Ke−r(T−t)c>S-D-Ke^{-r(T-t)} c>S−D−Ke−r(T−t)
欧式看跌期权
考虑以下两种组合：
组合A：一个价格为ccc的欧式看涨期权加上一股价格为SSS的股票
组合B：数额为D+Ke−r(T−t)D+Ke^{-r(T-t)}D+Ke−r(T−t)的现金
可以推出
p>D+Ke−r(T−t)−Sp>D+Ke^{-r(T-t)}-S p>D+Ke−r(T−t)−S
欧式平价关系
c+D+Ke−r(T−t)=p+Sc+D+Ke^{-r(T-t)}=p+S c+D+Ke−r(T−t)=p+S
美式平价关系
S−D−K<C−P<S−Xe−r(T−t)S-D-K<C-P<S-Xe^{-r(T-t)} S−D−K<C−P<S−Xe−r(T−t)

提前行权

关于提前行权的结论
(1) 在期权到期日之前，不支付红利股票的美式看涨期权提前行权不是最优的选择
(2) 当预期有红利派发时，在除息日前立即执行美式看涨期权是明智的选择
(3) 在期权到期日之前，不支付红利股票的美式看跌期权提前行权可能是明智的选择

股票价格模型

维纳过程

马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，该过程中，变量的变化仅仅依赖该变量前一瞬间的状态，当变量遵从马尔科夫过程时，变量在相邻时间内变化的方差具有可加性，但是标准差不具有可加性. 马尔科夫过程的重要特征是，变量的随机变化是i.i.d的.
如果z=z(t)z=z(t)z=z(t)服从维纳过程，增量Δz\Delta zΔz必须满足以下两个性质：
性质1：Δz\Delta zΔz与Δt\Delta tΔt之间满足关系
Δz=εΔt\Delta z=\varepsilon \sqrt{\Delta t} Δz=εΔt
微分形式
dz=εdtdz=\varepsilon\sqrt{dt} dz=εdt
性质2：对任意两个不同时间间隔Δt\Delta tΔt，Δz\Delta zΔz的值相互独立

变量xxx服从一般维纳过程的定义如下
dx=adt+bdzdx=adt+bdz dx=adt+bdz
其中a,ba, ba,b为常数，aaa是预期漂移率，bbb是波动率.

伊藤过程和伊藤引理

伊藤过程：
dx=a(x,t)dt+b(x,t)dzdx=a(x, t)dt+b(x, t)dz dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz
伊藤引理：假设变量xxx服从伊藤过程，dzdzdz是维纳过程，设G=G(x,t)G=G(x, t)G=G(x,t)是xxx的二次连续可微函数，则G(x,t)G(x, t)G(x,t)遵从如下过程：
dG=(∂G∂xa+∂G∂t+12∂2G∂x2b2)dt+∂G∂xbdzdG=(\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial x^2}b^2)dt+\frac{\partial G}{\partial x}bdz dG=(∂x∂Ga+∂t∂G+21∂x2∂2Gb2)dt+∂x∂Gbdz

不支付红利股票价格的行为过程

设股票价格变化比例dS/SdS/SdS/S服从一般维纳过程
dSS=μdt+σdz\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dz SdS=μdt+σdz
股票价格SSS可以用漂移率μS\mu SμS和波动率σS\sigma SσS的伊藤过程描述
dS=μSdt+σSdzdS=\mu Sdt+\sigma Sdz dS=μSdt+σSdz
离散形式为
ΔS=μSΔt+σSΔz\Delta S=\mu S\Delta t+\sigma S\Delta z ΔS=μSΔt+σSΔz
如果SSS服从伊藤过程，则SSS和ttt的函数GGG也服从伊藤过程
dG=(∂G∂SμS+∂G∂t+12∂2G∂S2σ2S2)dt+∂G∂SσSdzdG=(\frac{\partial G}{\partial S}\mu S+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial S^2}\sigma^2S^2)dt+\frac{\partial G}{\partial S}\sigma Sdz dG=(∂S∂GμS+∂t∂G+21∂S2∂2Gσ2S2)dt+∂S∂GσSdz
定义G=ln⁡S,∂G∂S=1S,∂2G∂S2=−1S2,∂G∂t=0G=\ln S, \frac{\partial G}{\partial S}=\frac{1}{S}, \frac{\partial^2 G}{\partial S^2}=-\frac{1}{S^2}, \frac{\partial G}{\partial t}=0G=lnS,∂S∂G=S1,∂S2∂2G=−S21,∂t∂G=0，代入得到
dG=(μ−σ22)dt+σdzdG=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})dt+\sigma dz dG=(μ−2σ2)dt+σdz
StS_tSt在时间区间[t,T][t, T][t,T]满足对数正态分布
ln⁡ST−ln⁡S∼N((μ−σ22)(T−t),σ2(T−t))\ln S_T-\ln S \sim \mathcal{N}((\mu-\frac{\sigma^2}{2})(T-t), \sigma^2(T-t)) lnST−lnS∼N((μ−2σ2)(T−t),σ2(T−t))

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