二分法求解函数零点的Python程序

本节我们以一个函数为例，介绍二分法求解函数零点的Python程序.

二分法

对于区间 $[a,b]$ 上的连续且 $f(a)\cdot f(b)<0$ 的函数 $y=f(x)$ ，通过不断将区间一分为二，使区间两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法.

二分法求解函数零点的步骤

给定精度 $\varepsilon>0$ ,用二分法求解函数 $f(x)$ 零点近似值的步骤如下：

Step 1 确定区间 $[a,b]$ （即 $f(a)\cdot f(b)<0$ ）;

Step 2 令 $u=\frac{a+b}{2}$ ;

Step 3 计算 $f(u)$ :

1.若 $|f(u)|<\varepsilon$ ，则输出 $u$ ;

2.若 $|f(u)|\geqslant \varepsilon$ ，则

a.如果 $f(a)\cdot f(u)<0$ ，那么令 $b=u$ ，转Step 2;

b.如果 $f(u)\cdot f(b)<0$ ，那么令 $a=u$ ，转Step 2.

例求函数

$h(x)=1.11+lnx-[3(1-\frac{1}{2^{k-2}})+\frac{1}{2^{k-3}}](1+\frac{0.78}{x}){\color{Yellow} }$

的零点,这里 $k\geqslant 2$ 为整数.

解 python程序如下：

from math import log
from sympy import *k = int(input('请输入k的值：'))def h(x):return 1.11 + log(x) - \(3 * (1 - 2 ** (2 - k)) + 2 ** (3 - k)) * (1 + 0.78 / x)# 在区间 (a,b) 上对函数 h(x)使用二分法求其零点
# 因为 h(1)h(20)<0,所以 h(x)的零点位于区间 (1,20)内,从而令a=1,b=20
a = 1
b = 20
u = (a + b) / 2while abs(h(u)) > 10 ** (-6):if h(a) * h(u) < 0:b = uu = (a + b) / 2elif h(u) * h(b) < 0:a = uu = (a + b) / 2print('h(x)的近似零点为', '%.5f' % u)

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