楼房重建

题解

很容易发现，一个楼房能够被看到当且仅当它前面的楼房的斜率都比它的小。
我们显然可以把斜率这东西离散化下来，当成一个权值，所以我们相当于要事实维护有多少个不同的前缀最大值。
首先这应该很容易 come up with 一种 O ( m log ⁡ 2 n ) O\left(m\log^2n\right) O(mlog2n)的树套树做法，但由于它太麻烦了，这里不会讲它，我们来讲一种更简单的线段树做法。
我们不妨在线段树的每个节点上维护一个 v a l i val_{i} vali表示该区间的不同的前缀最大值个数。
显然， v a l r t val_{rt} valrt就是答案，关键是我们怎么在合并的过程中维护我们的 v a l r t val_{rt} valrt。
显然，左边的 v a l l s o n val_{lson} vallson，而右边则应该是比 m a x x l s o n maxx_{lson} maxxlson(即左儿子)大的不同的前缀最大值数量。
我们可以定义一个函数 s a k u r a ( r t , k ) sakura(rt,k) sakura(rt,k)表示在 r t rt rt的区间内比 k k k大的前缀最大值数量。

如果 m a x x l s o n > k maxx_{lson}>k maxxlson>k，显然我们的前缀最大值显然在左儿子的区间内就已然超过了 k k k，我们只需要处理左儿子有多少个大于 k k k的前缀最大值，返回 m a x x r t − m a x x l s o n + s a k u r a ( l s o n , k ) maxx_{rt}-maxx_{lson}+sakura(lson,k) maxxrt−maxxlson+sakura(lson,k)。
如果 m a x x l s o n ⩽ k ∧ m a x x r s o n > k maxx_{lson}\leqslant k\wedge maxx_{rson}>k maxxlson⩽k∧maxxrson>k，显然我们的前缀最大值是在右儿子的区间内超过 k k k的，由于左边最大值小于 k k k，显然不会对右边那些大于 k k k的前缀最大值造成影响，直接在右边求就是了，返回 s a k u r a ( r s o n , k ) sakura(rson,k) sakura(rson,k)。
如果 m a x x l s o n ⩽ k ∧ m a x x r s o n ⩽ k maxx_{lson}\leqslant k\wedge maxx_{rson}\leqslant k maxxlson⩽k∧maxxrson⩽k，那就不可能出现大于 k k k的前缀最大值了，直接返回 0 0 0。

于是，这样我们就可以 O ( log ⁡ n ) O\left(\log\,n\right) O(logn)地更新单点 v a l val val了。
由于我们每次修改会更新 log ⁡ n \log\,n logn个点的 v a l val val，总共会修改 O ( m ) O\left(m\right) O(m)次，总时间复杂度 O ( n log ⁡ 2 n ) O\left(n\log^2n\right) O(nlog2n)，但代码明显好打了。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double ld;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=1e9+7;
const int inv2=499122177;
const double jzm=0.997;
const int zero=15;
const int n1=200;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){_T f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
struct tann{int x,y;tann(){x=y=0;}tann(int X,int Y){x=X;y=Y;}bool operator == (const tann &rhs)const{return x==rhs.x&&y==rhs.y;}bool operator < (const tann &rhs)const{return 1ll*x*rhs.y<1ll*rhs.x*y;} bool operator > (const tann &rhs)const{return 1ll*x*rhs.y>1ll*rhs.x*y;}
}b[MAXN];
int n,m,totb;
struct ming{int x,y,val;tann vp;}s[MAXN];
class SegmentTree{private:int maxx[MAXN<<2],val[MAXN<<2];int sakura(int rt,int l,int r,int k){if(l==r)return maxx[rt]>k;int mid=l+r>>1;if(maxx[lson]>k)return val[rt]-val[lson]+sakura(lson,l,mid,k);if(maxx[rson]>k)return sakura(rson,mid+1,r,k);return 0;}public:void modify(int rt,int l,int r,int ai,int aw){if(l>r||l>ai||r<ai)return ;int mid=l+r>>1;if(l==r){maxx[rt]=aw;val[rt]=1;return ;}if(ai<=mid)modify(lson,l,mid,ai,aw);if(ai>mid)modify(rson,mid+1,r,ai,aw);maxx[rt]=max(maxx[lson],maxx[rson]);val[rt]=val[lson]+sakura(rson,mid+1,r,maxx[lson]);}int query(int rt){return val[rt];}
}T;
signed main(){read(n);read(m);for(int i=1;i<=m;i++){read(s[i].x),read(s[i].y);int d=gcd(s[i].y,s[i].x);b[++totb]=tann(s[i].y/d,s[i].x/d);s[i].vp=b[totb];}sort(b+1,b+totb+1);totb=unique(b+1,b+totb+1)-b-1;for(int i=1;i<=m;i++){s[i].val=lower_bound(b+1,b+totb+1,s[i].vp)-b;T.modify(1,1,n,s[i].x,s[i].val);printf("%d\n",T.query(1)); }return 0;
}

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