哈密顿圈问题是NP完全的

【哈密顿圈问题】
对于一个有向图G=(V,E),如果G中的圈C恰好经过每一个顶点一次，则称圈C是一个哈密顿圈。即，哈密顿圈构成一条经过所有的顶点，没有重复的“路线”。如图6是一个含有哈密顿圈的图。

图6 一个含有哈密顿圈的有向图

证明哈密顿圈问题是NPC的，可以通过证明3-SAT ≤ p \leq_p ≤p哈密顿圈来得到。
【3-SAT ≤ p \leq_p ≤p哈密顿圈】
构造方法如下:
(1)对于每一个变量 x i x_i xi,创建3m+3个顶点。命名为 v i , 1 , . . . , v i , 3 m + 3 v_{i,1},...,v_{i,3m+3} vi,1,...,vi,3m+3，并且对相邻的顶点，添加边( v i , j , v i , j + 1 v_{i,j},v_{i,j+1} vi,j,vi,j+1)和( v i , j + 1 , v i , j v_{i,j+1},v_{i,j} vi,j+1,vi,j)。如图中7中红色的点和绿色的边。如果 x i x_i xi为1，则路径 P i P_i Pi从左到右。反之，如果 x i x_i xi为0，则路径 P i P_i Pi从右到左。
（2）对于每一个变量，添加边 ( v i , 1 , v i + 1 , 1 ) (v_{i,1},v_{i+1,1}) (vi,1,vi+1,1), ( v i , 1 , v i + 1 , 3 m + 3 ) (v_{i,1},v_{i+1,3m+3}) (vi,1,vi+1,3m+3), ( v i , 3 m + 3 , v i + 1 , 1 ) (v_{i,3m+3},v_{i+1,1}) (vi,3m+3,vi+1,1), ( v i , 3 m + 3 , v i + 1 , 3 m + 3 ) (v_{i,3m+3},v_{i+1,3m+3}) (vi,3m+3,vi+1,3m+3)。
（3）添加两个节点s,t。添加边 ( s , v 1 , 1 ) (s,v_{1,1}) (s,v1,1), ( s , v 1 , 3 m + 3 ) (s,v_{1,3m+3}) (s,v1,3m+3), ( v 3 m + 3 , 1 , t ) (v_{3m+3,1},t) (v3m+3,1,t), ( v 3 m + 3 , 3 m + 3 , t ) (v_{3m+3,3m+3},t) (v3m+3,3m+3,t)。
（4）添加边 ( t , s ) (t,s) (t,s)。
构造后的图如图7所示。

图7 3-SAT到哈密顿圈的归约，第1部分
在图7中，可以看到有哈密顿回路：从t出发到达s，s再经过 P i P_{i} Pi，最后到达t，记为A。
之后对子句进行约束。
（5）对于每个子句 C a C_a Ca，假设子句为 C 1 = x 1 ∨ x ‾ 2 ∨ x 3 C_1=x_1 \vee \overline x_2 \vee x_3 C1=x1∨x2∨x3，则这个子句表示哈密顿圈首先由左到右通过 P 1 P_1 P1，然后由右向左通过 P 2 P_2 P2，最后由左向右通过 P 3 P_3 P3。如图8所示，添加点和边。

图8 3-SAT到哈密顿圈的归约，第2部分
可以看到，图中有哈密顿圈当且仅当3-SAT实例有满足的赋值。
证明：假设3-SAT实例有满足的赋值，则给出的哈密顿圈中，如果在满足的赋值中 x i x_i xi为1，则由左到右通过 P i P_{i} Pi，反之由右到左通过 P i P_{i} Pi。对于每一个子句，因为其是被满足的，所以至少有一条路径是按照与该项相关的“正确”的方向通过的。从而添加的子句顶点在哈密顿圈中能够被通过。反之，假设图G中有一个哈密顿圈，则所有添加的子句顶点（图8添加的点）都会被通过。即所有的子句都被满足。
因此，可以得到3-SAT实例是可满足的当且仅当G有哈密顿圈。证明了3-SAT ≤ p \leq_p ≤p哈密顿圈。因此哈密顿圈问题是NPC的。

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