索引

含有a2−x2,a>0\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}},\text{ }a>0a2−x2, a>0的形式
- 41. ∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\arcsin \frac{x}{a}+C∫a2−x21dx=arcsinax+C
- 42.∫1xa2−x2dx=−1aln⁡∣a+a2−x2x∣+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-1}{a}\ln \left| \frac{a+\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x} \right|+C∫xa2−x21dx=a−1ln∣∣∣xa+a2−x2∣∣∣+C
- 43.∫1x2a2−x2dx=−a2−x2a2x+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{a}^{2}}x}+C∫x2a2−x21dx=a2x−a2−x2+C
- 44.∫x2a2−x2dx=12(−xa2−x2+a2arcsin⁡xa)+C\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{1}{2}\left( -x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{a}^{2}}\arcsin \frac{x}{a} \right)+C∫a2−x2x2dx=21(−xa2−x2+a2arcsinax)+C
- 45.∫1(a2−x2)32dx=xa2a2−x2+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}dx}=\frac{x}{{{a}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}+C∫(a2−x2)231dx=a2a2−x2x+C
含有sin⁡x\sin xsinx或cos⁡x\cos xcosx的形式
- 46.∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\sin xdx}=-\cos x+C∫sinxdx=−cosx+C
- 47.∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\cos xdx}=\sin x+C∫cosxdx=sinx+C
- 48.∫sin⁡2xdx=12(x−sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x-\sin x\cos x \right)+C∫sin2xdx=21(x−sinxcosx)+C
- 49.∫cos⁡2xdx=12(x+sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\cos }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x+\sin x\cos x \right)+C∫cos2xdx=21(x+sinxcosx)+C
- 50.∫sin⁡nxdx=1n[−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xdx]\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n}}xdx}=\frac{1}{n}\left[ -{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n-2}}xdx} \right]∫sinnxdx=n1[−sinn−1xcosx+(n−1)∫sinn−2xdx]

含有a2−x2,a>0\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}},\text{ }a>0a2−x2, a>0的形式

41. ∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\arcsin \frac{x}{a}+C∫a2−x21dx=arcsinax+C

证明：
令x=asin⁡tx=a\sin tx=asint，t∈[−π2,π2]t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]t∈[−2π,2π]，则有
∫1a2−x2dx=∫1a2cos⁡2td(asin⁡t)=∫1acos⁡t(acos⁡t)dt(a>0,cos⁡t≥0)=∫dt=t+C=arcsin⁡xa+C\begin{aligned} & \int{\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}{{\cos }^{2}}t}}d\left( a\sin t \right)} \\ & =\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{a\cos t}\left( a\cos t \right)dt}\text{ }\left( a>0,\text{ }\cos t\ge 0 \right) \\ & =\int_{{}}^{{}}{dt} \\ & =t+C=\arcsin \frac{x}{a}+C \\ \end{aligned}∫a2−x21dx=∫a2cos2t1d(asint)=∫acost1(acost)dt (a>0, cost≥0)=∫dt=t+C=arcsinax+C

42.∫1xa2−x2dx=−1aln⁡∣a+a2−x2x∣+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-1}{a}\ln \left| \frac{a+\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x} \right|+C∫xa2−x21dx=a−1ln∣∣∣xa+a2−x2∣∣∣+C

证明：
令x=asin⁡t,t∈[−π2,π2]x=a\sin t,\text{ }t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]x=asint, t∈[−2π,2π]，则有
∫1xa2−x2dx=∫1asin⁡ta2cos⁡2td(asin⁡t)=∫1asin⁡t(acos⁡t)(acos⁡t)dt(a>0,cos⁡t≥0)=1a∫csc⁡tdt=1aln⁡∣csc⁡t−cot⁡t∣+C=1aln⁡∣ax−a2−x2x∣+C1=−1aln⁡∣a+a2−x2x∣+C2\begin{aligned} & \int{\frac{1}{x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{a\sin t\sqrt[{}]{{{a}^{2}}{{\cos }^{2}}t}}d\left( a\sin t \right)} \\ & =\int{\frac{1}{a\sin t\left( a\cos t \right)}}\left( a\cos t \right)dt\text{ }\left( a>0,\text{ }\cos t\ge 0 \right) \\ & =\frac{1}{a}\int{\csc t}dt \\ & =\frac{1}{a}\ln |\csc t-\cot t|+C \\ & =\frac{1}{a}\ln |\frac{a}{x}-\frac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x}|+{{C}_{1}} \\ & =\frac{-1}{a}\ln |\frac{a+\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x}|+{{C}_{2}} \\ \end{aligned}∫xa2−x21dx=∫asinta2cos2t1d(asint)=∫asint(acost)1(acost)dt (a>0, cost≥0)=a1∫csctdt=a1ln∣csct−cott∣+C=a1ln∣xa−xa2−x2∣+C1=a−1ln∣xa+a2−x2∣+C2
注：1.使用到公式62：∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\int_{{}}^{{}}{\csc xdx}=\ln \left| \csc x-\cot x \right|+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
2.ln⁡∣a+a2−x2x∣+ln⁡∣a−a2−x2x∣=0⇒ln⁡∣a+a2−x2x∣=−ln⁡∣a−a2−x2x∣\begin{aligned} & \text{ }\ln \left| \frac{a+\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x} \right|+\ln \left| \frac{a-\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x} \right|=0 \\ & \Rightarrow \ln \left| \frac{a+\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x} \right|=-\ln \left| \frac{a-\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x} \right| \\ \end{aligned} ln∣∣∣∣∣xa+a2−x2∣∣∣∣∣+ln∣∣∣∣∣xa−a2−x2∣∣∣∣∣=0⇒ln∣∣∣∣∣xa+a2−x2∣∣∣∣∣=−ln∣∣∣∣∣xa−a2−x2∣∣∣∣∣

43.∫1x2a2−x2dx=−a2−x2a2x+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{a}^{2}}x}+C∫x2a2−x21dx=a2x−a2−x2+C

证明：
令x=asin⁡t,t∈(−π2,0)⋃(0,π2)x=a\sin t,\text{ }t\in \left( -\frac{\pi }{2},0 \right)\bigcup \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)x=asint, t∈(−2π,0)⋃(0,2π)，则有
∫1x2a2−x2dx=∫1(asin⁡t)2a2cos⁡2td(asin⁡t)=∫1(asin⁡t)2(acos⁡t)(acos⁡t)dt(a>0,cos⁡t>0)=1a2∫csc⁡2tdt=−1a2cot⁡t+C=−a2−x2a2x+C\begin{aligned} & \int{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{\left( a\sin t \right)}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}{{\cos }^{2}}t}}d\left( a\sin t \right)} \\ & =\int{\frac{1}{{{\left( a\sin t \right)}^{2}}\left( a\cos t \right)}\left( a\cos t \right)dt}\text{ }\left( a>0,\text{ }\cos t> 0 \right) \\ & =\frac{1}{{{a}^{2}}}\int{{{\csc }^{2}}tdt} \\ & =-\frac{1}{{{a}^{2}}}\cot t+C \\ & =\frac{-\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{a}^{2}}x}+C \\ \end{aligned}∫x2a2−x21dx=∫(asint)2a2cos2t1d(asint)=∫(asint)2(acost)1(acost)dt (a>0, cost>0)=a21∫csc2tdt=−a21cott+C=a2x−a2−x2+C

44.∫x2a2−x2dx=12(−xa2−x2+a2arcsin⁡xa)+C\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{1}{2}\left( -x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{a}^{2}}\arcsin \frac{x}{a} \right)+C∫a2−x2x2dx=21(−xa2−x2+a2arcsinax)+C

证明：
令x=asin⁡t,t∈(−π2,π2)x=a\sin t,\text{ }t\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)x=asint, t∈(−2π,2π)
∫x2a2−x2dx=∫(asin⁡t)2a2cos⁡2td(asin⁡t)=∫(asin⁡t)2acos⁡t(acos⁡t)dt(a>0,cos⁡t≥0)=a2∫sin⁡2tdt=a22(t−sin⁡tcos⁡t)+C=a22(arcsin⁡xa−xaa2−x2a)+C=12(−xa2−x2+a2arcsin⁡xa)+C\begin{aligned} & \int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\int_{{}}^{{}}{\frac{{{\left( a\sin t \right)}^{2}}}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}{{\cos }^{2}}t}}d\left( a\sin t \right)} \\ & =\int{\frac{{{\left( a\sin t \right)}^{2}}}{a\cos t}\left( a\cos t \right)dt}\text{ }\left( a>0,\text{ }\cos t\ge 0 \right) \\ & ={{a}^{2}}\int{{{\sin }^{2}}tdt} \\ & =\frac{{{a}^{2}}}{2}\left( t-\sin t\cos t \right)+C \\ & =\frac{{{a}^{2}}}{2}\left( \arcsin \frac{x}{a}-\frac{x}{a}\frac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{a} \right)+C \\ & =\frac{1}{2}\left( -x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{a}^{2}}\arcsin \frac{x}{a} \right)+C \\ \end{aligned}∫a2−x2x2dx=∫a2cos2t(asint)2d(asint)=∫acost(asint)2(acost)dt (a>0, cost≥0)=a2∫sin2tdt=2a2(t−sintcost)+C=2a2(arcsinax−axaa2−x2)+C=21(−xa2−x2+a2arcsinax)+C

45.∫1(a2−x2)32dx=xa2a2−x2+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}dx}=\frac{x}{{{a}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}+C∫(a2−x2)231dx=a2a2−x2x+C

证明：
令x=asin⁡t,t∈(−π2,π2)x=a\sin t,\text{ }t\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)x=asint, t∈(−2π,2π)，则有
∫1(a2−x2)3/2dx=∫1(a2cos⁡2t)32d(asin⁡t)=∫1(acos⁡t)3(acos⁡t)dt=1a2∫sec⁡2tdt=1a2tan⁡t+C=xa2a2−x2+C\begin{aligned} & \int{\frac{1}{{{({{a}^{2}}-{{x}^{2}})}^{3/2}}}dx}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{\left( {{a}^{2}}{{\cos }^{2}}t \right)}^{\frac{3}{2}}}}d\left( a\sin t \right)} \\ & =\int{\frac{1}{{{\left( a\cos t \right)}^{3}}}\left( a\cos t \right)dt} \\ & =\frac{1}{{{a}^{2}}}\int{{{\sec }^{2}}tdt} \\ & =\frac{1}{{{a}^{2}}}\tan t+C \\ & =\frac{x}{{{a}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}+C \\ \end{aligned}∫(a2−x2)3/21dx=∫(a2cos2t)231d(asint)=∫(acost)31(acost)dt=a21∫sec2tdt=a21tant+C=a2a2−x2x+C

含有sin⁡x\sin xsinx或cos⁡x\cos xcosx的形式

46.∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\sin xdx}=-\cos x+C∫sinxdx=−cosx+C

证明：
ddx[−cos⁡x+C]=sin⁡x\frac{d}{dx}\left[ -\cos x+C \right]=\sin xdxd[−cosx+C]=sinx

47.∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\cos xdx}=\sin x+C∫cosxdx=sinx+C

证明：
ddx[sin⁡x+C]=cos⁡x\frac{d}{dx}\left[ \sin x+C \right]=\cos xdxd[sinx+C]=cosx

48.∫sin⁡2xdx=12(x−sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x-\sin x\cos x \right)+C∫sin2xdx=21(x−sinxcosx)+C

证明：
∫sin⁡2xdx=∫1−cos⁡2x2dx=12x−14sin⁡2x+C=12(x−sin⁡xcos⁡x)+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{2}}xdx}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1-\cos 2x}{2}dx} \\ & =\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+C \\ & =\frac{1}{2}\left( x-\sin x\cos x \right)+C \\ \end{aligned}∫sin2xdx=∫21−cos2xdx=21x−41sin2x+C=21(x−sinxcosx)+C

49.∫cos⁡2xdx=12(x+sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\cos }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x+\sin x\cos x \right)+C∫cos2xdx=21(x+sinxcosx)+C

证明：
∫cos⁡2xdx=∫1+cos⁡2x2dx=12x+14sin⁡2x+C=12(x+sin⁡xcos⁡x)+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{{{\cos }^{2}}xdx}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1+\cos 2x}{2}dx} \\ & =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C \\ & =\frac{1}{2}\left( x+\sin x\cos x \right)+C \\ \end{aligned}∫cos2xdx=∫21+cos2xdx=21x+41sin2x+C=21(x+sinxcosx)+C

50.∫sin⁡nxdx=1n[−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xdx]\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n}}xdx}=\frac{1}{n}\left[ -{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n-2}}xdx} \right]∫sinnxdx=n1[−sinn−1xcosx+(n−1)∫sinn−2xdx]

证明：
∫sin⁡nxdx=∫sin⁡n−1xd(−cos⁡x)=−sin⁡n−1xcos⁡x+∫cos⁡xd(sin⁡n−1x)=−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫cos⁡2xsin⁡n−2xdx=−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫(1−sin⁡2x)sin⁡n−2xdx=−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xdx−(n−1)∫sin⁡nxdx\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n}}xdx}=\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n-1}}xd\left( -\cos x \right)} \\ & =-{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\int_{{}}^{{}}{\cos xd\left( {{\sin }^{n-1}}x \right)} \\ & =-{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{n-2}}xdx} \\ & =-{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right){{\sin }^{n-2}}xdx} \\ & =-{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n-2}}xdx}-\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n}}xdx} \\ \end{aligned}∫sinnxdx=∫sinn−1xd(−cosx)=−sinn−1xcosx+∫cosxd(sinn−1x)=−sinn−1xcosx+(n−1)∫cos2xsinn−2xdx=−sinn−1xcosx+(n−1)∫(1−sin2x)sinn−2xdx=−sinn−1xcosx+(n−1)∫sinn−2xdx−(n−1)∫sinnxdx ⇒∫sin⁡nxdx=1n[−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xdx]\Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n}}xdx}=\frac{1}{n}\left[ -{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n-2}}xdx} \right]⇒∫sinnxdx=n1[−sinn−1xcosx+(n−1)∫sinn−2xdx]

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100道积分公式证明（41-50）

索引

含有a2−x2,a>0\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}},\text{ }a>0a2−x2, a>0的形式

41. ∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\arcsin \frac{x}{a}+C∫a2−x21dx=arcsinax+C

42.∫1xa2−x2dx=−1aln⁡∣a+a2−x2x∣+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-1}{a}\ln \left| \frac{a+\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x} \right|+C∫xa2−x21dx=a−1ln∣∣∣xa+a2−x2∣∣∣+C

43.∫1x2a2−x2dx=−a2−x2a2x+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{a}^{2}}x}+C∫x2a2−x21dx=a2x−a2−x2+C

44.∫x2a2−x2dx=12(−xa2−x2+a2arcsin⁡xa)+C\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{1}{2}\left( -x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{a}^{2}}\arcsin \frac{x}{a} \right)+C∫a2−x2x2dx=21(−xa2−x2+a2arcsinax)+C

45.∫1(a2−x2)32dx=xa2a2−x2+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}dx}=\frac{x}{{{a}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}+C∫(a2−x2)231dx=a2a2−x2x+C

含有sin⁡x\sin xsinx或cos⁡x\cos xcosx的形式

46.∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\sin xdx}=-\cos x+C∫sinxdx=−cosx+C

47.∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\cos xdx}=\sin x+C∫cosxdx=sinx+C

48.∫sin⁡2xdx=12(x−sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x-\sin x\cos x \right)+C∫sin2xdx=21(x−sinxcosx)+C

49.∫cos⁡2xdx=12(x+sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\cos }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x+\sin x\cos x \right)+C∫cos2xdx=21(x+sinxcosx)+C

50.∫sin⁡nxdx=1n[−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xdx]\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n}}xdx}=\frac{1}{n}\left[ -{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n-2}}xdx} \right]∫sinnxdx=n1[−sinn−1xcosx+(n−1)∫sinn−2xdx]

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含有a2−x2,a>0\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}},\text{ }a>0a2−x2​, a>0的形式

41. ∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\arcsin \frac{x}{a}+C∫​a2−x2​1​dx=arcsinax​+C

42.∫1xa2−x2dx=−1aln⁡∣a+a2−x2x∣+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-1}{a}\ln \left| \frac{a+\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x} \right|+C∫​xa2−x2​1​dx=a−1​ln∣∣∣​xa+a2−x2​​∣∣∣​+C

43.∫1x2a2−x2dx=−a2−x2a2x+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{a}^{2}}x}+C∫​x2a2−x2​1​dx=a2x−a2−x2​​+C

44.∫x2a2−x2dx=12(−xa2−x2+a2arcsin⁡xa)+C\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{1}{2}\left( -x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{a}^{2}}\arcsin \frac{x}{a} \right)+C∫​a2−x2​x2​dx=21​(−xa2−x2​+a2arcsinax​)+C

45.∫1(a2−x2)32dx=xa2a2−x2+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}dx}=\frac{x}{{{a}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}+C∫​(a2−x2)23​1​dx=a2a2−x2​x​+C

含有sin⁡x\sin xsinx或cos⁡x\cos xcosx的形式

46.∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\sin xdx}=-\cos x+C∫​sinxdx=−cosx+C

47.∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\cos xdx}=\sin x+C∫​cosxdx=sinx+C

48.∫sin⁡2xdx=12(x−sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x-\sin x\cos x \right)+C∫​sin2xdx=21​(x−sinxcosx)+C

49.∫cos⁡2xdx=12(x+sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\cos }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x+\sin x\cos x \right)+C∫​cos2xdx=21​(x+sinxcosx)+C

50.∫sin⁡nxdx=1n[−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xdx]\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n}}xdx}=\frac{1}{n}\left[ -{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n-2}}xdx} \right]∫​sinnxdx=n1​[−sinn−1xcosx+(n−1)∫​sinn−2xdx]

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含有a2−x2,a>0\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}},\text{ }a>0a2−x2, a>0的形式

41. ∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\arcsin \frac{x}{a}+C∫a2−x21dx=arcsinax+C

42.∫1xa2−x2dx=−1aln⁡∣a+a2−x2x∣+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-1}{a}\ln \left| \frac{a+\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x} \right|+C∫xa2−x21dx=a−1ln∣∣∣xa+a2−x2∣∣∣+C

43.∫1x2a2−x2dx=−a2−x2a2x+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{-\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{a}^{2}}x}+C∫x2a2−x21dx=a2x−a2−x2+C

44.∫x2a2−x2dx=12(−xa2−x2+a2arcsin⁡xa)+C\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx}=\frac{1}{2}\left( -x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{a}^{2}}\arcsin \frac{x}{a} \right)+C∫a2−x2x2dx=21(−xa2−x2+a2arcsinax)+C

45.∫1(a2−x2)32dx=xa2a2−x2+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}dx}=\frac{x}{{{a}^{2}}\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}+C∫(a2−x2)231dx=a2a2−x2x+C

46.∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\sin xdx}=-\cos x+C∫sinxdx=−cosx+C

47.∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\cos xdx}=\sin x+C∫cosxdx=sinx+C

48.∫sin⁡2xdx=12(x−sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x-\sin x\cos x \right)+C∫sin2xdx=21(x−sinxcosx)+C

49.∫cos⁡2xdx=12(x+sin⁡xcos⁡x)+C\int_{{}}^{{}}{{{\cos }^{2}}xdx}=\frac{1}{2}\left( x+\sin x\cos x \right)+C∫cos2xdx=21(x+sinxcosx)+C

50.∫sin⁡nxdx=1n[−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xdx]\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n}}xdx}=\frac{1}{n}\left[ -{{\sin }^{n-1}}x\cos x+\left( n-1 \right)\int_{{}}^{{}}{{{\sin }^{n-2}}xdx} \right]∫sinnxdx=n1[−sinn−1xcosx+(n−1)∫sinn−2xdx]