含有tan⁡x,cot⁡x,sec⁡x,csc⁡x\tan x,\cot x,\sec x,\csc xtanx,cotx,secx,cscx的形式

71.∫11±tan⁡xdx=12(x±ln⁡∣cos⁡x±sin⁡x∣)+C\int{\frac{1}{1\pm \tan x}dx=\frac{1}{2}\left( x\pm \ln \left| \cos x\pm \sin x \right| \right)+C}∫1±tanx1​dx=21​(x±ln∣cosx±sinx∣)+C

证明：
∫11±tan⁡xdxt=tan⁡x‾‾∫11±td(arctan⁡t)=∫11±t⋅11+t2dt=12∫(11±t+1∓t1+t2)dt=12∫(11±t+11+t2∓t1+t2)dt=12[±ln⁡∣1±t∣+arctan⁡t∓12ln⁡(1+t2)]+C=12[±ln⁡∣1±tan⁡x∣+x∓ln⁡1+tan⁡2x]+C=12(x±ln⁡∣1±tan⁡xsec⁡x∣)+C=12(x±ln⁡∣cos⁡x±sin⁡x∣)+C\begin{aligned} & \int{\frac{1}{1\pm \tan x}dx}\text{ }\underline{\underline{t=\tan x}}\text{ }\int{\frac{1}{1\pm t}d\left( \arctan t \right)} \\ & =\int{\frac{1}{1\pm t}\centerdot \frac{1}{1+{{t}^{2}}}dt} \\ & =\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{1\pm t}+\frac{1\mp t}{1+{{t}^{2}}} \right)dt} \\ & =\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{1\pm t}+\frac{1}{1+{{t}^{2}}}\mp \frac{t}{1+{{t}^{2}}} \right)}dt \\ & =\frac{1}{2}\left[ \pm \ln \left| 1\pm t \right|+\arctan t\mp \frac{1}{2}\ln \left( 1+{{t}^{2}} \right) \right]+C \\ & =\frac{1}{2}\left[ \pm \ln \left| 1\pm \tan x \right|+x\mp \ln \sqrt[{}]{1+{{\tan }^{2}}x} \right]+C \\ & =\frac{1}{2}\left( x\pm \ln \left| \frac{1\pm \tan x}{\sec x} \right| \right)+C \\ & =\frac{1}{2}\left( x\pm \ln \left| \cos x\pm \sin x \right| \right)+C \\ \end{aligned}​∫1±tanx1​dx t=tanx​​ ∫1±t1​d(arctant)=∫1±t1​⋅1+t21​dt=21​∫(1±t1​+1+t21∓t​)dt=21​∫(1±t1​+1+t21​∓1+t2t​)dt=21​[±ln∣1±t∣+arctant∓21​ln(1+t2)]+C=21​[±ln∣1±tanx∣+x∓ln1+tan2x​]+C=21​(x±ln∣∣∣∣​secx1±tanx​∣∣∣∣​)+C=21​(x±ln∣cosx±sinx∣)+C​

72.∫11±cot⁡xdx=12(x∓ln⁡∣sin⁡x±cos⁡x∣)+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1\pm \cot x}dx}=\frac{1}{2}\left( x\mp \ln \left| \sin x\pm \cos x \right| \right)+C∫​1±cotx1​dx=21​(x∓ln∣sinx±cosx∣)+C

证明：
∫11±cot⁡xdxt=cot⁡x‾‾∫11±td(arccott)=−∫11±t⋅11+t2dt=−12∫(11±t+11+t2∓t1+t2)dt=−12[±ln⁡∣1±t∣−arccott∓12ln⁡(1+t2)]+C=−12[±ln⁡∣1±cot⁡x∣−x∓ln⁡1+cot⁡2x]+C=12[x±ln⁡1+cot⁡2x∓ln⁡∣1±cot⁡x∣]+C=12[x±ln⁡∣csc⁡x1±cot⁡x∣]+C=12[x∓ln⁡∣sin⁡x±cos⁡x∣]+C\begin{aligned} & \int{\frac{1}{1\pm \cot x}dx\text{ }}\underline{\underline{t=\cot x}}\text{ }\int{\frac{1}{1\pm t}d\left( arccot t \right)} \\ & =-\int{\frac{1}{1\pm t}}\centerdot \frac{1}{1+{{t}^{2}}}dt \\ & =-\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{1\pm t}+\frac{1}{1+{{t}^{2}}}\mp \frac{t}{1+{{t}^{2}}} \right)dt} \\ & =-\frac{1}{2}\left[ \pm \ln \left| 1\pm t \right|-arccot t\mp \frac{1}{2}\ln \left( 1+{{t}^{2}} \right) \right]+C \\ & =-\frac{1}{2}\left[ \pm \ln \left| 1\pm \cot x \right|-x\mp \ln \sqrt[{}]{1+{{\cot }^{2}}x} \right]+C \\ & =\frac{1}{2}\left[ x\pm \ln \sqrt[{}]{1+{{\cot }^{2}}x}\mp \ln \left| 1\pm \cot x \right| \right]+C \\ & =\frac{1}{2}\left[ x\pm \ln \left| \frac{\csc x}{1\pm \cot x} \right| \right]+C \\ & =\frac{1}{2}\left[ x\mp \ln \left| \sin x\pm \cos x \right| \right]+C \\ \end{aligned}​∫1±cotx1​dx t=cotx​​ ∫1±t1​d(arccott)=−∫1±t1​⋅1+t21​dt=−21​∫(1±t1​+1+t21​∓1+t2t​)dt=−21​[±ln∣1±t∣−arccott∓21​ln(1+t2)]+C=−21​[±ln∣1±cotx∣−x∓ln1+cot2x​]+C=21​[x±ln1+cot2x​∓ln∣1±cotx∣]+C=21​[x±ln∣∣∣∣​1±cotxcscx​∣∣∣∣​]+C=21​[x∓ln∣sinx±cosx∣]+C​

73.∫11±sec⁡xdx=x+cot⁡x∓csc⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1\pm \sec x}dx}=x+\cot x\mp \csc x+C∫​1±secx1​dx=x+cotx∓cscx+C

证明：
∫11±sec⁡xdx=∫11±1cos⁡xdx=∫cos⁡xcos⁡x±1dx=∫dx∓∫1cos⁡x±1dx=x±∫cos⁡x∓1sin⁡2xdx=x±∫(csc⁡xcot⁡x∓csc⁡2x)dx=x±∫d(−csc⁡x±cot⁡x)=x±(−csc⁡x±cot⁡x)+C=x+cot⁡x∓csc⁡x+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1\pm \sec x}dx}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1\pm \frac{1}{\cos x}}dx} \\ & =\int_{{}}^{{}}{\frac{\cos x}{\cos x\pm 1}dx} \\ & =\int_{{}}^{{}}{dx}\mp \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{\cos x\pm 1}dx} \\ & =x\pm \int_{{}}^{{}}{\frac{\cos x\mp 1}{{{\sin }^{2}}x}dx} \\ & =x\pm \int_{{}}^{{}}{\left( \csc x\cot x\mp {{\csc }^{2}}x \right)dx} \\ & =x\pm \int_{{}}^{{}}{d\left( -\csc x\pm \cot x \right)} \\ & =x\pm \left( -\csc x\pm \cot x \right)+C \\ & =x+\cot x\mp \csc x+C \\ \end{aligned}​∫​1±secx1​dx=∫​1±cosx1​1​dx=∫​cosx±1cosx​dx=∫​dx∓∫​cosx±11​dx=x±∫​sin2xcosx∓1​dx=x±∫​(cscxcotx∓csc2x)dx=x±∫​d(−cscx±cotx)=x±(−cscx±cotx)+C=x+cotx∓cscx+C​

74.∫11±csc⁡xdx=x−tan⁡x±sec⁡x+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1\pm \csc x}dx}=x-\tan x\pm \sec x+C∫​1±cscx1​dx=x−tanx±secx+C

证明：
∫11±csc⁡xdx=∫11±1sin⁡xdx=∫sin⁡xsin⁡x±1dx=∫dx±∫sin⁡x∓1cos⁡2xdx=x±∫(sec⁡xtan⁡x∓sec⁡2x)dx=x±∫d(sec⁡x∓tan⁡x)=x±(sec⁡x∓tan⁡x)+C=x−tan⁡x±sec⁡x+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1\pm \csc x}dx}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1\pm \frac{1}{\sin x}}dx} \\ & =\int_{{}}^{{}}{\frac{\sin x}{\sin x\pm 1}dx} \\ & =\int_{{}}^{{}}{dx}\pm \int_{{}}^{{}}{\frac{\sin x\mp 1}{{{\cos }^{2}}x}dx} \\ & =x\pm \int_{{}}^{{}}{\left( \sec x\tan x\mp {{\sec }^{2}}x \right)dx} \\ & =x\pm \int_{{}}^{{}}{d\left( \sec x\mp \tan x \right)} \\ & =x\pm \left( \sec x\mp \tan x \right)+C \\ & =x-\tan x\pm \sec x+C \\ \end{aligned}​∫​1±cscx1​dx=∫​1±sinx1​1​dx=∫​sinx±1sinx​dx=∫​dx±∫​cos2xsinx∓1​dx=x±∫​(secxtanx∓sec2x)dx=x±∫​d(secx∓tanx)=x±(secx∓tanx)+C=x−tanx±secx+C​

75.∫arcsin⁡xdx=xarcsin⁡x+1−x2+C\int_{{}}^{{}}{\arcsin xdx}=x\arcsin x+\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}+C∫​arcsinxdx=xarcsinx+1−x2​+C

证明：
∫arcsin⁡xdx=xarcsin⁡x−∫xd(arcsin⁡x)=xarcsin⁡x−∫x1−x2dx=xarcsin⁡x+∫121−x2d(1−x2)=xarcsin⁡x+1−x2+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\arcsin xdx}=x\arcsin x-\int_{{}}^{{}}{xd\left( \arcsin x \right)} \\ & =x\arcsin x-\int_{{}}^{{}}{\frac{x}{\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}dx} \\ & =x\arcsin x+\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{2\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}d\left( 1-{{x}^{2}} \right)} \\ & =x\arcsin x+\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}+C \\ \end{aligned}​∫​arcsinxdx=xarcsinx−∫​xd(arcsinx)=xarcsinx−∫​1−x2​x​dx=xarcsinx+∫​21−x2​1​d(1−x2)=xarcsinx+1−x2​+C​

76.∫arccos⁡xdx=xarccos⁡x−1−x2+C\int_{{}}^{{}}{\arccos xdx}=x\arccos x-\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}+C∫​arccosxdx=xarccosx−1−x2​+C

证明：
∫arccos⁡xdx=xarccos⁡x−∫xd(arccos⁡x)=xarccos⁡x+∫x1−x2dx=xarccos⁡x−∫121−x2d(1−x2)=xarccos⁡x−1−x2+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\arccos xdx}=x\arccos x-\int_{{}}^{{}}{xd\left( \arccos x \right)} \\ & =x\arccos x+\int_{{}}^{{}}{\frac{x}{\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}dx} \\ & =x\arccos x-\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{2\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}d\left( 1-{{x}^{2}} \right)} \\ & =x\arccos x-\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}+C \\ \end{aligned}​∫​arccosxdx=xarccosx−∫​xd(arccosx)=xarccosx+∫​1−x2​x​dx=xarccosx−∫​21−x2​1​d(1−x2)=xarccosx−1−x2​+C​

77.∫arctan⁡xdx=xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+C\int_{{}}^{{}}{\arctan xdx}=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+C∫​arctanxdx=xarctanx−21​ln(1+x2)+C

证明：
∫arctan⁡xdx=xarctan⁡x−∫xd(arctan⁡x)=xarctan⁡x−∫x1+x2dx=xarctan⁡x−12∫11+x2d(1+x2)=xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\arctan xdx}=x\arctan x-\int_{{}}^{{}}{xd\left( \arctan x \right)} \\ & =x\arctan x-\int_{{}}^{{}}{\frac{x}{1+{{x}^{2}}}dx} \\ & =x\arctan x-\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}d\left( 1+{{x}^{2}} \right)} \\ & =x\arctan x-\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+C \\ \end{aligned}​∫​arctanxdx=xarctanx−∫​xd(arctanx)=xarctanx−∫​1+x2x​dx=xarctanx−21​∫​1+x21​d(1+x2)=xarctanx−21​ln(1+x2)+C​

78.∫arccotxdx=x⋅arccotx+12ln⁡(1+x2)+C\int_{{}}^{{}}{arccot xdx}=x\centerdot arccotx+\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+C∫​arccotxdx=x⋅arccotx+21​ln(1+x2)+C

证明：
∫arccotxdx=x⋅arccotx−∫xd(arccotx)+C=x⋅arccotx+∫x1+x2dx+C=x⋅arccotx+12∫11+x2d(1+x2)+C=x⋅arccotx+12ln⁡(1+x2)+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{arccot xdx}=x\centerdot arccot x-\int_{{}}^{{}}{xd\left( arccot x \right)}+C \\ & =x\centerdot arccot x+\int_{{}}^{{}}{\frac{x}{1+{{x}^{2}}}}dx+C \\ & =x\centerdot arccot x+\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}d\left( 1+{{x}^{2}} \right)}+C \\ & =x\centerdot arccot x+\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+C \\ \end{aligned}​∫​arccotxdx=x⋅arccotx−∫​xd(arccotx)+C=x⋅arccotx+∫​1+x2x​dx+C=x⋅arccotx+21​∫​1+x21​d(1+x2)+C=x⋅arccotx+21​ln(1+x2)+C​

79.∫arcsecxdx=x⋅arcsecx−ln⁡∣x+x2−1∣+C\int_{{}}^{{}}{arcsec xdx}=x\centerdot arcsec x-\ln \left| x+\sqrt[{}]{{{x}^{2}}-1} \right|+C∫​arcsecxdx=x⋅arcsecx−ln∣∣​x+x2−1​∣∣​+C

证明：
∫arcsecxdx=xarcsecx−∫xd(arcsecx)+C=xarcsecx−∫1x2−1dx=xarcsecx−ln⁡∣x+x2−1∣+C(fromformula31inpart2)\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{arcsec xdx}=xarcsec x-\int_{{}}^{{}}{xd\left( arcsec x \right)}+C \\ & =xarcsec x-\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{\sqrt[{}]{{{x}^{2}}-1}}dx} \\ & =xarcsec x-\ln \left| x+\sqrt[{}]{{{x}^{2}}-1} \right|+C\text{ }\left( from\text{ }formula\text{ }31\text{ }in\text{ }part\text{ }2 \right) \\ \end{aligned}​∫​arcsecxdx=xarcsecx−∫​xd(arcsecx)+C=xarcsecx−∫​x2−1​1​dx=xarcsecx−ln∣∣∣​x+x2−1​∣∣∣​+C (from formula 31 in part 2)​

80.∫arccscxdx=x⋅arccscx+ln⁡∣x+x2−1∣+C\int_{{}}^{{}}{arccsc xdx}=x\centerdot arccsc x+\ln \left| x+\sqrt[{}]{{{x}^{2}}-1} \right|+C∫​arccscxdx=x⋅arccscx+ln∣∣​x+x2−1​∣∣​+C

证明：
∫arccscxdx=xarccscx−∫xd(arccscx)=xarccscx+∫1x2−1dx=xarccscx+ln⁡∣x+x2−1∣+C(fromformula31inpart2)\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{arccsc xdx}=xarccsc x-\int_{{}}^{{}}{xd\left( arccsc x \right)} \\ & =xarccsc x+\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{\sqrt[{}]{{{x}^{2}}-1}}dx} \\ & =xarccsc x+\ln \left| x+\sqrt[{}]{{{x}^{2}}-1} \right|+C\text{ }\left( from\text{ }formula\text{ }31\text{ }in\text{ }part\text{ }2 \right) \\ \end{aligned}​∫​arccscxdx=xarccscx−∫​xd(arccscx)=xarccscx+∫​x2−1​1​dx=xarccscx+ln∣∣∣​x+x2−1​∣∣∣​+C (from formula 31 in part 2)​

81.∫xarcsin⁡xdx=14[x1−x2+(2x2−1)arcsin⁡x]+C\int_{{}}^{{}}{x\arcsin xdx}=\frac{1}{4}\left[ x\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}+\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\arcsin x \right]+C∫​xarcsinxdx=41​[x1−x2​+(2x2−1)arcsinx]+C

证明：
∫xarcsin⁡xdx=12∫arcsin⁡xd(x2)=12[x2arcsin⁡x−∫x21−x2dx]=12[x2arcsin⁡x−∫x2−1+11−x2dx]=12[x2arcsin⁡x−∫(11−x2−1−x2)dx]=12[x2arcsin⁡x−arcsin⁡x+12(x1−x2+arcsin⁡x)]+C=14[(2x2−1)arcsin⁡x+x1−x2]+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{x\arcsin xdx}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\arcsin xd\left( {{x}^{2}} \right)} \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arcsin x-\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arcsin x-\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}-1+1}{\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arcsin x-\int_{{}}^{{}}{\left( \frac{1}{\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}-\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}} \right)dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arcsin x-\arcsin x+\frac{1}{2}\left( x\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}+\arcsin x \right) \right]+C \\ & =\frac{1}{4}\left[ \left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\arcsin x+x\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}} \right]+C \\ \end{aligned}​∫​xarcsinxdx=21​∫​arcsinxd(x2)=21​[x2arcsinx−∫​1−x2​x2​dx]=21​[x2arcsinx−∫​1−x2​x2−1+1​dx]=21​[x2arcsinx−∫​(1−x2​1​−1−x2​)dx]=21​[x2arcsinx−arcsinx+21​(x1−x2​+arcsinx)]+C=41​[(2x2−1)arcsinx+x1−x2​]+C​
注：使用到第37条公式∫a2−x2dx=12(xa2−x2+a2arcsin⁡xa)+C\int_{{}}^{{}}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\left( x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{a}^{2}}\arcsin \frac{x}{a} \right)+C∫​a2−x2​dx=21​(xa2−x2​+a2arcsinax​)+C

82.∫xarccos⁡xdx=14[−x1−x2+(2x2−1)arccos⁡x]+C\int_{{}}^{{}}{x\arccos xdx}=\frac{1}{4}\left[ -x\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}+\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\arccos x \right]+C∫​xarccosxdx=41​[−x1−x2​+(2x2−1)arccosx]+C

证明：
∫xarccos⁡xdx=12∫arccos⁡xd(x2)=12[x2arccos⁡x+∫x21−x2dx]=12[x2arccos⁡x+∫x2−1+11−x2dx]=12[x2arccos⁡x+∫(11−x2−1−x2)dx]=12[x2arccos⁡x+arcsin⁡x−12(x1−x2+arcsin⁡x)]+C1=12[x2arccos⁡x−arccos⁡x−12(x1−x2−arccos⁡x)]+C2(arcsin⁡x+arccos⁡x=π2)=14[(2x2−1)arccos⁡x−x1−x2]+C2\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{x\arccos xdx}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\arccos xd\left( {{x}^{2}} \right)} \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arccos x+\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arccos x+\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}-1+1}{\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arccos x+\int_{{}}^{{}}{\left( \frac{1}{\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}}-\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}} \right)dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arccos x+\arcsin x-\frac{1}{2}\left( x\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}+\arcsin x \right) \right]+{{C}_{1}} \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arccos x-\arccos x-\frac{1}{2}\left( x\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}}-\arccos x \right) \right]+{{C}_{2}}\text{ }\left( \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2} \right) \\ & =\frac{1}{4}\left[ \left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\arccos x-x\sqrt[{}]{1-{{x}^{2}}} \right]+{{C}_{2}} \\ \end{aligned}​∫​xarccosxdx=21​∫​arccosxd(x2)=21​[x2arccosx+∫​1−x2​x2​dx]=21​[x2arccosx+∫​1−x2​x2−1+1​dx]=21​[x2arccosx+∫​(1−x2​1​−1−x2​)dx]=21​[x2arccosx+arcsinx−21​(x1−x2​+arcsinx)]+C1​=21​[x2arccosx−arccosx−21​(x1−x2​−arccosx)]+C2​ (arcsinx+arccosx=2π​)=41​[(2x2−1)arccosx−x1−x2​]+C2​​
注：使用到第37条公式∫a2−x2dx=12(xa2−x2+a2arcsin⁡xa)+C\int_{{}}^{{}}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\left( x\sqrt[{}]{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{a}^{2}}\arcsin \frac{x}{a} \right)+C∫​a2−x2​dx=21​(xa2−x2​+a2arcsinax​)+C

83.∫xarctan⁡xdx=12[(1+x2)arctan⁡x−x]+C\int_{{}}^{{}}{x\arctan xdx}=\frac{1}{2}\left[ \left( 1+{{x}^{2}} \right)\arctan x-x \right]+C∫​xarctanxdx=21​[(1+x2)arctanx−x]+C

证明：
∫xarctan⁡xdx=12∫arctan⁡xd(x2)=12[x2arctan⁡x−∫x21+x2dx]=12[x2arctan⁡x−∫(1−11+x2)dx]=12[(1+x2)arctan⁡x−x]+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{x\arctan xdx}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\arctan xd\left( {{x}^{2}} \right)} \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arctan x-\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}\arctan x-\int_{{}}^{{}}{\left( 1-\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right)dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ \left( 1+{{x}^{2}} \right)\arctan x-x \right]+C \\ \end{aligned}​∫​xarctanxdx=21​∫​arctanxd(x2)=21​[x2arctanx−∫​1+x2x2​dx]=21​[x2arctanx−∫​(1−1+x21​)dx]=21​[(1+x2)arctanx−x]+C​

84.∫x⋅arccotxdx=12[(1+x2)arccotx+x]+C\int_{{}}^{{}}{x\centerdot arccot xdx}=\frac{1}{2}\left[ \left( 1+{{x}^{2}} \right)arccot x+x \right]+C∫​x⋅arccotxdx=21​[(1+x2)arccotx+x]+C

证明：
∫x⋅arccotxdx=12∫arccotxd(x2)=12[x2arccotx+∫x21+x2dx]=12[x2arccotx+∫(1−11+x2)dx]=12[(1+x2)arccotx+x]+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{x\centerdot arccot xdx}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{arccot xd\left( {{x}^{2}} \right)} \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}arccot x+\int_{{}}^{{}}{\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}arccot x+\int_{{}}^{{}}{\left( 1-\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right)dx} \right] \\ & =\frac{1}{2}\left[ \left( 1+{{x}^{2}} \right)arccot x+x \right]+C \\ \end{aligned}​∫​x⋅arccotxdx=21​∫​arccotxd(x2)=21​[x2arccotx+∫​1+x2x2​dx]=21​[x2arccotx+∫​(1−1+x21​)dx]=21​[(1+x2)arccotx+x]+C​

含有ex{{e}^{x}}ex的形式

85.∫axdx=axln⁡a+C\int_{{}}^{{}}{{{a}^{x}}dx}=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C∫​axdx=lnaax​+C

证明：
ddx[axln⁡a+C]=ax⋅ln⁡aln⁡a=ax\frac{d}{dx}\left[ \frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C \right]=\frac{{{a}^{x}}\centerdot \ln a}{\ln a}={{a}^{x}}dxd​[lnaax​+C]=lnaax⋅lna​=ax

86.∫exdx=ex+C\int_{{}}^{{}}{{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}+C∫​exdx=ex+C

证明：
ddx[ex+C]=ex\frac{d}{dx}\left[ {{e}^{x}}+C \right]={{e}^{x}}dxd​[ex+C]=ex

87.∫xexdx=(x−1)ex+C\int_{{}}^{{}}{x{{e}^{x}}dx}=\left( x-1 \right){{e}^{x}}+C∫​xexdx=(x−1)ex+C

证明：
∫xexdx=∫xd(ex)=xex−∫exdx=(x−1)ex+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{x{{e}^{x}}dx}=\int_{{}}^{{}}{xd\left( {{e}^{x}} \right)} \\ & =x{{e}^{x}}-\int_{{}}^{{}}{{{e}^{x}}dx} \\ & =\left( x-1 \right){{e}^{x}}+C \\ \end{aligned}​∫​xexdx=∫​xd(ex)=xex−∫​exdx=(x−1)ex+C​

88.∫xnexdx=xnex−n∫xn−1exdx\int_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}{{e}^{x}}dx}={{x}^{n}}{{e}^{x}}-n\int_{{}}^{{}}{{{x}^{n-1}}{{e}^{x}}dx}∫​xnexdx=xnex−n∫​xn−1exdx

证明：
∫xnexdx=∫xnd(ex)=xnex−n∫xn−1exdx\int_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}{{e}^{x}}dx}=\int_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}d\left( {{e}^{x}} \right)}={{x}^{n}}{{e}^{x}}-n\int_{{}}^{{}}{{{x}^{n-1}}{{e}^{x}}dx}∫​xnexdx=∫​xnd(ex)=xnex−n∫​xn−1exdx

89.∫11+exdx=x−ln⁡(1+ex)+C\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1+{{e}^{x}}}dx}=x-\ln \left( 1+{{e}^{x}} \right)+C∫​1+ex1​dx=x−ln(1+ex)+C

证明：
∫11+exdxt=ex‾‾∫11+td(ln⁡t)=∫1t(1+t)dt=∫[1t−11+t]dt=ln⁡∣t∣−ln⁡∣1+t∣+C=ln⁡∣ex∣−ln⁡∣1+ex∣+C=x−ln⁡(1+ex)+C(1+ex>0)\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1+{{e}^{x}}}dx\text{ }}\underline{\underline{t={{e}^{x}}}}\text{ }\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{1+t}d\left( \ln t \right)} \\ & =\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{t\left( 1+t \right)}dt} \\ & =\int_{{}}^{{}}{\left[ \frac{1}{t}-\frac{1}{1+t} \right]dt} \\ & =\ln \left| t \right|-\ln \left| 1+t \right|+C \\ & =\ln \left| {{e}^{x}} \right|-\ln \left| 1+{{e}^{x}} \right|+C \\ & =x-\ln \left( 1+{{e}^{x}} \right)+C\text{ }\text{ }\left( 1+{{e}^{x}}>0 \right) \\ \end{aligned}​∫​1+ex1​dx t=ex​​ ∫​1+t1​d(lnt)=∫​t(1+t)1​dt=∫​[t1​−1+t1​]dt=ln∣t∣−ln∣1+t∣+C=ln∣ex∣−ln∣1+ex∣+C=x−ln(1+ex)+C  (1+ex>0)​

90.I1=∫eaxsin⁡bxdx=eaxa2+b2(asin⁡bx−bcos⁡bx)+C{{I}_{1}}=\int_{{}}^{{}}{{{e}^{ax}}\sin bxdx}=\frac{{{e}^{ax}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( a\sin bx-b\cos bx \right)+CI1​=∫​eaxsinbxdx=a2+b2eax​(asinbx−bcosbx)+C

91.I2=∫eaxcos⁡bxdx=eaxa2+b2(acos⁡bx+bsin⁡bx)+C{{I}_{2}}=\int_{{}}^{{}}{{{e}^{ax}}\cos bxdx}=\frac{{{e}^{ax}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( a\cos bx+b\sin bx \right)+CI2​=∫​eaxcosbxdx=a2+b2eax​(acosbx+bsinbx)+C

证明：
I1=1a∫sin⁡bxd(eax)=1a(eaxsin⁡bx−b∫eaxcos⁡bxdx)=1a(eaxsin⁡bx−bI2)\begin{aligned} & {{I}_{1}}=\frac{1}{a}\int_{{}}^{{}}{\sin bxd\left( {{e}^{ax}} \right)} \\ & =\frac{1}{a}\left( {{e}^{ax}}\sin bx-b\int_{{}}^{{}}{{{e}^{ax}}\cos bxdx} \right) \\ & =\frac{1}{a}\left( {{e}^{ax}}\sin bx-b{{I}_{2}} \right) \\ \end{aligned}​I1​=a1​∫​sinbxd(eax)=a1​(eaxsinbx−b∫​eaxcosbxdx)=a1​(eaxsinbx−bI2​)​
I2=1a∫cos⁡bxd(eax)=1a(eaxcos⁡bx+b∫eaxsin⁡bxdx)=1a(eaxcos⁡bx+bI1)\begin{aligned} & {{I}_{2}}=\frac{1}{a}\int_{{}}^{{}}{\cos bxd\left( {{e}^{ax}} \right)} \\ & =\frac{1}{a}\left( {{e}^{ax}}\cos bx+b\int_{{}}^{{}}{{{e}^{ax}}\sin bxdx} \right) \\ & =\frac{1}{a}\left( {{e}^{ax}}\cos bx+b{{I}_{1}} \right) \\ \end{aligned}​I2​=a1​∫​cosbxd(eax)=a1​(eaxcosbx+b∫​eaxsinbxdx)=a1​(eaxcosbx+bI1​)​
解{aI2−bI1=eaxcos⁡bxbI2+aI1=eaxsin⁡bx\left\{ \begin{aligned} & a{{I}_{2}}-b{{I}_{1}}={{e}^{ax}}\cos bx \\ & b{{I}_{2}}+a{{I}_{1}}={{e}^{ax}}\sin bx \\ \end{aligned} \right.{​aI2​−bI1​=eaxcosbxbI2​+aI1​=eaxsinbx​即可得I1,I2{{I}_{1}},{{I}_{2}}I1​,I2​的计算公式。

含有ln⁡x\ln xlnx的形式

92.∫ln⁡xdx=x(ln⁡x−1)+C\int_{{}}^{{}}{\ln xdx}=x\left( \ln x-1 \right)+C∫​lnxdx=x(lnx−1)+C

证明：
∫ln⁡xdx=xln⁡x−∫xd(ln⁡x)=xln⁡x−∫dx=x(ln⁡x−1)+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\ln xdx}=x\ln x-\int_{{}}^{{}}{xd\left( \ln x \right)} \\ & =x\ln x-\int_{{}}^{{}}{dx} \\ & =x\left( \ln x-1 \right)+C \\ \end{aligned}​∫​lnxdx=xlnx−∫​xd(lnx)=xlnx−∫​dx=x(lnx−1)+C​

93.∫ln⁡xxdx=2xln⁡x−4x+C\int_{{}}^{{}}{\frac{\ln x}{\sqrt[{}]{x}}dx}=2\sqrt[{}]{x}\ln x-4\sqrt[{}]{x}+C∫​x​lnx​dx=2x​lnx−4x​+C

证明：
∫ln⁡xxdx=2∫ln⁡xd(x)=2xln⁡x−2∫xd(ln⁡x)=2xln⁡x−2∫1xdx=2xln⁡x−4∫d(x)=2xln⁡x−4x+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\frac{\ln x}{\sqrt[{}]{x}}dx}=2\int_{{}}^{{}}{\ln xd\left( \sqrt[{}]{x} \right)} \\ & =2\sqrt[{}]{x}\ln x-2\int_{{}}^{{}}{\sqrt[{}]{x}d\left( \ln x \right)} \\ & =2\sqrt[{}]{x}\ln x-2\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{\sqrt[{}]{x}}dx} \\ & =2\sqrt[{}]{x}\ln x-4\int_{{}}^{{}}{d\left( \sqrt[{}]{x} \right)} \\ & =2\sqrt[{}]{x}\ln x-4\sqrt[{}]{x}+C \\ \end{aligned}​∫​x​lnx​dx=2∫​lnxd(x​)=2x​lnx−2∫​x​d(lnx)=2x​lnx−2∫​x​1​dx=2x​lnx−4∫​d(x​)=2x​lnx−4x​+C​

94.∫xln⁡xdx=x24(2ln⁡x−1)+C\int_{{}}^{{}}{x\ln xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{4}\left( 2\ln x-1 \right)+C∫​xlnxdx=4x2​(2lnx−1)+C

证明：
∫xln⁡xdx=12∫ln⁡xd(x2)=12(x2ln⁡x−∫xdx)=12(x2ln⁡x−12x2)+C=x24(2ln⁡x−1)+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{x\ln xdx}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\ln xd\left( {{x}^{2}} \right)} \\ & =\frac{1}{2}\left( {{x}^{2}}\ln x-\int_{{}}^{{}}{xdx} \right) \\ & =\frac{1}{2}\left( {{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)+C \\ & =\frac{{{x}^{2}}}{4}\left( 2\ln x-1 \right)+C \\ \end{aligned}​∫​xlnxdx=21​∫​lnxd(x2)=21​(x2lnx−∫​xdx)=21​(x2lnx−21​x2)+C=4x2​(2lnx−1)+C​

95.∫xnln⁡xdx=xn+1(n+1)2[(n+1)ln⁡x−1]+C,n≠−1\int_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}\ln xdx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}\left[ \left( n+1 \right)\ln x-1 \right]+C,\text{ }n\ne -1∫​xnlnxdx=(n+1)2xn+1​[(n+1)lnx−1]+C, n​=−1

证明：
∫xnln⁡xdx=1n+1∫ln⁡xd(xn+1)=1n+1[xn+1ln⁡x−∫xndx]=1n+1[xn+1ln⁡x−1n+1xn+1]+C=xn+1(n+1)2[(n+1)ln⁡x−1]+C,n≠−1\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}\ln xdx}=\frac{1}{n+1}\int_{{}}^{{}}{\ln xd\left( {{x}^{n+1}} \right)} \\ & =\frac{1}{n+1}\left[ {{x}^{n+1}}\ln x-\int_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}dx} \right] \\ & =\frac{1}{n+1}\left[ {{x}^{n+1}}\ln x-\frac{1}{n+1}{{x}^{n+1}} \right]+C \\ & =\frac{{{x}^{n+1}}}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}\left[ \left( n+1 \right)\ln x-1 \right]+C,\text{ }n\ne -1 \\ \end{aligned}​∫​xnlnxdx=n+11​∫​lnxd(xn+1)=n+11​[xn+1lnx−∫​xndx]=n+11​[xn+1lnx−n+11​xn+1]+C=(n+1)2xn+1​[(n+1)lnx−1]+C, n​=−1​

96.∫(ln⁡x)2dx=x[(ln⁡x)2−2ln⁡x+2]+C\int_{{}}^{{}}{{{\left( \ln x \right)}^{2}}dx}=x\left[ {{\left( \ln x \right)}^{2}}-2\ln x+2 \right]+C∫​(lnx)2dx=x[(lnx)2−2lnx+2]+C

证明：
∫(ln⁡x)2dx=x(ln⁡x)2−2∫ln⁡xdx=x(ln⁡x)2−2x(ln⁡x−1)+C(fromformula92)=x[(ln⁡x)2−2ln⁡x+2]+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{{{\left( \ln x \right)}^{2}}dx}=x{{\left( \ln x \right)}^{2}}-2\int_{{}}^{{}}{\ln xdx} \\ & =x{{\left( \ln x \right)}^{2}}-2x\left( \ln x-1 \right)+C\text{ }\left( from\text{ }formula\text{ }92 \right) \\ & =x\left[ {{\left( \ln x \right)}^{2}}-2\ln x+2 \right]+C \\ \end{aligned}​∫​(lnx)2dx=x(lnx)2−2∫​lnxdx=x(lnx)2−2x(lnx−1)+C (from formula 92)=x[(lnx)2−2lnx+2]+C​

97.∫(ln⁡x)ndx=x(ln⁡x)n−n∫(ln⁡x)n−1dx\int_{{}}^{{}}{{{\left( \ln x \right)}^{n}}dx}=x{{\left( \ln x \right)}^{n}}-n\int_{{}}^{{}}{{{\left( \ln x \right)}^{n-1}}dx}∫​(lnx)ndx=x(lnx)n−n∫​(lnx)n−1dx

证明：
∫(ln⁡x)ndx=x(ln⁡x)n−n∫x(ln⁡x)n−1⋅1xdx=x(ln⁡x)n−n∫(ln⁡x)n−1dx\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{{{\left( \ln x \right)}^{n}}dx}=x{{\left( \ln x \right)}^{n}}-n\int_{{}}^{{}}{x{{\left( \ln x \right)}^{n-1}}\centerdot \frac{1}{x}dx} \\ & =x{{\left( \ln x \right)}^{n}}-n\int_{{}}^{{}}{{{\left( \ln x \right)}^{n-1}}dx} \\ \end{aligned}​∫​(lnx)ndx=x(lnx)n−n∫​x(lnx)n−1⋅x1​dx=x(lnx)n−n∫​(lnx)n−1dx​

98.∫sin⁡(ln⁡x)dx=x2[sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)]+C\int_{{}}^{{}}{\sin \left( \ln x \right)dx}=\frac{x}{2}\left[ \sin \left( \ln x \right)-\cos \left( \ln x \right) \right]+C∫​sin(lnx)dx=2x​[sin(lnx)−cos(lnx)]+C

证明：
∫sin⁡(ln⁡x)dxt=ln⁡x‾‾∫sin⁡td(et)=etsin⁡t−∫etcos⁡tdt=etsin⁡t−∫cos⁡td(et)=etsin⁡t−[etcos⁡t+∫etsin⁡tdt]=etsin⁡t−etcos⁡t−∫sin⁡td(et)\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\sin \left( \ln x \right)dx}\text{ }\underline{\underline{t=\ln x}}\text{ }\int_{{}}^{{}}{\sin td\left( {{e}^{t}} \right)} \\ & ={{e}^{t}}\sin t-\int_{{}}^{{}}{{{e}^{t}}\cos tdt} \\ & ={{e}^{t}}\sin t-\int_{{}}^{{}}{\cos td\left( {{e}^{t}} \right)} \\ & ={{e}^{t}}\sin t-\left[ {{e}^{t}}\cos t+\int_{{}}^{{}}{{{e}^{t}}\sin tdt} \right] \\ & ={{e}^{t}}\sin t-{{e}^{t}}\cos t-\int_{{}}^{{}}{\sin td\left( {{e}^{t}} \right)} \\ \end{aligned}​∫​sin(lnx)dx t=lnx​​ ∫​sintd(et)=etsint−∫​etcostdt=etsint−∫​costd(et)=etsint−[etcost+∫​etsintdt]=etsint−etcost−∫​sintd(et)​ ⇒∫sin⁡td(et)=et2(sin⁡t−cos⁡t)+C\Rightarrow \int_{{}}^{{}}{\sin td\left( {{e}^{t}} \right)}=\frac{{{e}^{t}}}{2}\left( \sin t-\cos t \right)+C⇒∫​sintd(et)=2et​(sint−cost)+C
⇒∫sin⁡(ln⁡x)dx=x2[sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)]+C\Rightarrow \int_{{}}^{{}}{\sin \left( \ln x \right)dx}=\frac{x}{2}\left[ \sin \left( \ln x \right)-\cos \left( \ln x \right) \right]+C⇒∫​sin(lnx)dx=2x​[sin(lnx)−cos(lnx)]+C

99.∫cos⁡(ln⁡x)dx=x2[sin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x)]+C\int_{{}}^{{}}{\cos \left( \ln x \right)dx}=\frac{x}{2}\left[ \sin \left( \ln x \right)+\cos \left( \ln x \right) \right]+C∫​cos(lnx)dx=2x​[sin(lnx)+cos(lnx)]+C

证明：
∫cos⁡(ln⁡x)dxt=ln⁡x‾‾∫cos⁡td(et)=etcos⁡t+∫etsin⁡tdt=etcos⁡t+∫sin⁡td(et)=etcos⁡t+[etsin⁡t−∫etcos⁡tdt]=etcos⁡t+etsin⁡t−∫cos⁡td(et)\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\cos \left( \ln x \right)dx}\text{ }\underline{\underline{t=\ln x}}\text{ }\int_{{}}^{{}}{\cos td\left( {{e}^{t}} \right)} \\ & ={{e}^{t}}\cos t+\int_{{}}^{{}}{{{e}^{t}}\sin tdt} \\ & ={{e}^{t}}\cos t+\int_{{}}^{{}}{\sin td\left( {{e}^{t}} \right)} \\ & ={{e}^{t}}\cos t+\left[ {{e}^{t}}\sin t-\int_{{}}^{{}}{{{e}^{t}}\cos tdt} \right] \\ & ={{e}^{t}}\cos t+{{e}^{t}}\sin t-\int_{{}}^{{}}{\cos td\left( {{e}^{t}} \right)} \\ \end{aligned}​∫​cos(lnx)dx t=lnx​​ ∫​costd(et)=etcost+∫​etsintdt=etcost+∫​sintd(et)=etcost+[etsint−∫​etcostdt]=etcost+etsint−∫​costd(et)​ ⇒∫cos⁡td(et)=et2(cos⁡t+sin⁡t)+C\Rightarrow \int_{{}}^{{}}{\cos td\left( {{e}^{t}} \right)}=\frac{{{e}^{t}}}{2}\left( \cos t+\sin t \right)+C⇒∫​costd(et)=2et​(cost+sint)+C
⇒∫cos⁡(ln⁡x)dx=x2[sin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x)]+C\Rightarrow \int_{{}}^{{}}{\cos \left( \ln x \right)dx}=\frac{x}{2}\left[ \sin \left( \ln x \right)+\cos \left( \ln x \right) \right]+C⇒∫​cos(lnx)dx=2x​[sin(lnx)+cos(lnx)]+C

100.∫ln⁡(x+1+x2)dx=xln⁡(x+1+x2)−1+x2+C\int_{{}}^{{}}{\ln \left( x+\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}} \right)dx}=x\ln \left( x+\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}} \right)-\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}}+C∫​ln(x+1+x2​)dx=xln(x+1+x2​)−1+x2​+C

证明：
∫ln⁡(x+1+x2)dx=xln⁡(x+1+x2)−∫x1+2x21+x2x+1+x2dx=xln⁡(x+1+x2)−∫x1+x2dx=xln⁡(x+1+x2)−∫121+x2d(1+x2)=xln⁡(x+1+x2)−1+x2+C\begin{aligned} & \int_{{}}^{{}}{\ln \left( x+\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}} \right)dx}=x\ln \left( x+\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}} \right)-\int_{{}}^{{}}{x\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}}}}{x+\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}}}}dx \\ & =x\ln \left( x+\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}} \right)-\int_{{}}^{{}}{\frac{x}{\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}}}dx} \\ & =x\ln \left( x+\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}} \right)-\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{2\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}}}}d\left( 1+{{x}^{2}} \right) \\ & =x\ln \left( x+\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}} \right)-\sqrt[{}]{1+{{x}^{2}}}+C \\ \end{aligned}​∫​ln(x+1+x2​)dx=xln(x+1+x2​)−∫​xx+1+x2​1+21+x2​2x​​dx=xln(x+1+x2​)−∫​1+x2​x​dx=xln(x+1+x2​)−∫​21+x2​1​d(1+x2)=xln(x+1+x2​)−1+x2​+C​

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