模态逻辑（2）—— 模态逻辑基本概念

在命题逻辑中使用的运算符（¬,∨,∧,⊃,≡\neg,\vee,\wedge,\supset,\equiv¬,∨,∧,⊃,≡）全部是真值函数运算符 (Truth-functional operator)，而模态逻辑关心额外的非真值函数的 (non-truth-functional) 概念，模态逻辑在命题逻辑的基础上引入两个非真值函数运算符 □\square□ 和 ◊\Diamond◊。

Necessity operator □\square□ 和 Possibility operator ◊\Diamond◊

Necessity operator □\square□

Necessity operator 用符号 □\square□ 表示，有时用大写字母 LLL 表示。如果 α\alphaα 是 wff，则 LαL\alphaLα 也是 wff。通常， LLL 被解释为“必然是” (must be)，但有时候也有其他解释，因为在不同的模态逻辑系统中，LLL 的含义不同，比如 LLL 还可以解释为“应该是” (morally ought to be)。例如，如果我们说 LαL\alphaLα 是真，即 α\alphaα 必然是真，那么 α\alphaα 是真；我们还是说 LαL\alphaLα 是真，这次解释为 α\alphaα 应该是真，那么 α\alphaα 有为真的可能性，但 α\alphaα 是假。

Possibility operator ◊\Diamond◊

Possibility operator 用符号 ◊\Diamond◊ 表示，有时用大写字母 MMM 表示。如果 α\alphaα 是 wff，则 MαM\alphaMα 也是 wff。MMM 通常被解释为“可能是” (may be, can be)。在定义了LLL 的前提下，MMM 可以用 LLL 定义， Mα=¬L¬αM\alpha=\neg L \neg \alphaMα=¬L¬α。反过来，LLL 可以用 MMM 定义，Lα=¬M¬αL\alpha=\neg M \neg \alphaLα=¬M¬α。每一种 LLL 的含义，都已一个 MMM 与之对应。

模态逻辑的合式公式 (Well-formed formulae, wff)

模态逻辑的合式公式 (wff) 是在命题逻辑的合式公式的基础上定义的：

一个字母（命题逻辑中的变量）是 wff；
如果 α\alphaα 是 wff，则 ¬α\neg \alpha¬α、LαL\alphaLα、MαM\alphaMα 也是 wff；
如果 α\alphaα 和 β\betaβ 是 wff，则 α∨β\alpha\vee\betaα∨β 也是 wff（其他二元运算符类似）。

命题逻辑的 wff 都是模态逻辑的 wff，模态逻辑的 wff 不一定是命题逻辑的 wff。

模态逻辑合式公式的正确性 (Validity)

和命题逻辑中 wff 正确性的定义，首先将模态逻辑 wff 中的字母（变量）全部被替换为命题，当且仅当每一种替换方式都能使合式公式变成一个真命题时，那么这个合式公式是正确的 (valid)。然而，由于模态逻辑运算符是非真值函数的，不能直接确定命题的真假，判断模态逻辑命题真假涉及到可能世界和可能世界连接关系等概念，这里先给一个大概的解释（不想翻译了，直接看图吧）：