前言

最近复习高级数理逻辑，抽空写了一下个人对于模态逻辑中关于必然和可能的理解，由于是考前突击的所以会有各种问题，所以有可能完全是错的，大家看的时候注意擦亮双眼，假如被我坑了，概不负责，嘿嘿嘿。

必然

⊨kw□A\vDash_k^w\Box A⊨kw□A：这里K是指可能宇宙的集合，A是指一个命题，w是可能宇宙中的一个。它的意思对于从w出发，对于所有能到达的可能宇宙（可以为空），A都成立。
就比如现在有一个宇宙集合k={w1,w2}k = \{w_1,w_2\}k={w1,w2}。可达关系R为{w1≤w2}\{w_1 \leq w_2\}{w1≤w2}，≤\leq≤表示的是从w1w_1w1能够到达w2w_2w2。可达关系如图所示。
那么⊨kw1□A\vDash_k^{w_1}\Box A⊨kw1□A的意思就是，对于w1w_1w1能够到达的可能宇宙，A成立。也就是⊨kw2A\vDash_k^{w_2}A⊨kw2A，即在w2w_2w2中A成立。

图1 必然关系

两个值得注意的地方：

⊨kw1□A\vDash_k^{w_1}\Box A⊨kw1□A对错与否与w1w_1w1中A是否成立没有关系。只与w1w_1w1可达的世界有关
假如www可达世界为空，那么⊨kw□A\vDash_k^{w}\Box A⊨kw□A也成立。例如，在这张图中，⊨kw2□A\vDash_k^{w_2}\Box A⊨kw2□A就成立，同时⊨kw2□¬A\vDash_k^{w_2}\Box \neg A⊨kw2□¬A也成立。因为w2w_2w2没有可达宇宙。

这也就是意味着，要让⊨kw1□A\vDash_k^{w_1}\Box A⊨kw1□A，下列条件满足一个就可:

w1w_1w1没有可达世界
w1w_1w1的可达世界中，A都成立

可能

⊨kw◊A\vDash_k^w\Diamond A⊨kw◊A：这里K是指可能宇宙的集合，A是指一个命题，w是可能宇宙中的一个。它的意思对于从w出发，它所能到达的可能宇宙，至少有一个可能宇宙A成立。

图2 可能关系

例如，这张可达图中，⊨kw1◊A\vDash_k^{w_1}\Diamond A⊨kw1◊A的意思是在w1w_1w1的可达宇宙{w2,w3,w4,w5}\{w_2,w_3,w_4,w_5\}{w2,w3,w4,w5}至少有一个使得A成立。
注意两点：

假如⊨kw◊A\vDash_k^{w}\Diamond A⊨kw◊A中的w没有可达世界，那么该命题不成立。比如，⊨kw2◊A\vDash_k^{w_2}\Diamond A⊨kw2◊A，⊨kw3◊A\vDash_k^{w_3}\Diamond A⊨kw3◊A，⊨kw4◊A\vDash_k^{w_4}\Diamond A⊨kw4◊A，⊨kw5◊A\vDash_k^{w_5}\Diamond A⊨kw5◊A都是不成立的。因为它们没有可达世界。
和⊨kw□A\vDash_k^{w}\Box A⊨kw□A一样，⊨kw◊A\vDash_k^{w}\Diamond A⊨kw◊A也仅仅只考虑w的可达世界A是否成立，而不考虑在w里面A是否成立。

也就是说，要让⊨kw◊A\vDash_k^{w}\Diamond A⊨kw◊A成立，需要同时满足以下两个条件。

www存在可达世界
www的可达世界中，至少有一个可达世界让A成立。

多个可能和必然

那么□□□A\Box\Box\Box A□□□A，◊◊◊A\Diamond\Diamond\Diamond A◊◊◊A, □□□◊A\Box\Box\Box\Diamond A□□□◊A这种多个可能和必然符号嵌套是什么意思呢？这里我们列出这样一个可能世界，来考察一个最简单的例子，⊨kw1□□A\vDash_k^{w_1}\Box\Box A⊨kw1□□A

图3 套娃关系

在该可能世界中，
⊨kw1□□A⇔⊨kw2□A&&⊨kw2□A⇔⊨kw4A&&⊨kw5A\vDash_k^{w_1}\Box\Box A \Leftrightarrow \vDash_k^{w_2}\Box A \& \& \vDash_k^{w_2}\Box A \Leftrightarrow \vDash_k^{w_4}A \&\& \vDash_k^{w_5}A⊨kw1□□A⇔⊨kw2□A&&⊨kw2□A⇔⊨kw4A&&⊨kw5A

⊨kw1□□A\vDash_k^{w_1}\Box\Box A⊨kw1□□A等价于⊨kw2□A\vDash_k^{w_2}\Box A⊨kw2□A和⊨kw3□A\vDash_k^{w_3}\Box A⊨kw3□A同时成立
等价于⊨kw4A\vDash_k^{w_4}A⊨kw4A和⊨kw5A\vDash_k^{w_5}A⊨kw5A同时成立，也就是在w4w_4w4和w5w_5w5中同时满足A成立即可。

在不考虑自反，对称，传递，欧几里得性质的情况下（也就是类似于树的样子），用直白的话来说，A是自己，□A\Box A□A是儿子，□□A\Box \Box A□□A是孙子。有几个□\Box□就是几代。
参考高级数理逻辑ppt第31页

一个选择题讲解

已知可能世界的集合为，可达关系R={<w8,w6>,<w2,w3>,<w4,w5>,<w6,w7>,<w1,w2>,<w5,w6>,<w7,w8>}R=\{<w_8,w_6>,<w_2,w_3>,<w_4,w_5>,<w_6,w_7>,<w_1,w_2>,<w_5,w_6>,<w_7,w_8>\}R={<w8,w6>,<w2,w3>,<w4,w5>,<w6,w7>,<w1,w2>,<w5,w6>,<w7,w8>}，其中<wi,wj><w_i,w_j><wi,wj>表示wiw_iwi到wjw_jwj可达，请问那些公式是真的：
A) ◊A→◊◊◊◊◊◊A\Diamond A \rightarrow \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond A◊A→◊◊◊◊◊◊A
B) □A→◊A\Box A \rightarrow \Diamond A□A→◊A
C) □A→□□□□□□□A\Box A \rightarrow \Box \Box \Box \Box \Box \Box \Box A□A→□□□□□□□A
D) A→◊◊◊◊◊AA \rightarrow \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond AA→◊◊◊◊◊A

我们先画出可达世界图如图4所示

图4 可达世界图

A中，◊◊◊◊◊◊A\Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond A◊◊◊◊◊◊A可能不存在这么深的可达世界。例如⊨kw1◊◊◊◊◊◊A\vDash_k^{w_1}\Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond \Diamond A⊨kw1◊◊◊◊◊◊A，w1w_1w1没有这么遥远的后代，所以错误。
B 中，⊨kw3□A\vDash_k^{w_3}\Box A⊨kw3□A成立，因为它没有可达世界，而⊨kw3◊A\vDash_k^{w_3}\Diamond A⊨kw3◊A不成立，因为w3w_3w3没有可达世界
C有争议，尚未定论
D中，和A一样，没有这么遥远的后代。

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