二元关系的复合、集合幂集的包含关系是格的证明、逻辑相等与划分
离散证明题## 标题
5.令R为从A到B的一个二元关系,S为从B到C的二元关系,若D是A的一个子集,证明:(S◦R)D=S(R(D))
If an element z∈C is in(S○R)(D),then x (S○R)z for some x in D .By the definition of composition,this means that x R y and y S z for some y in B. Thus y∈R(x),so z∈S(R(x)). Since {x}⊆D,that S(R(x))⊆S(R(D)).Hence z∈S(R(D)),so (S○R)(D)⊆S(R(D)).
Comversely,suppose that z∈S(R(D)). Then z∈S(y)for some y in R(D)and,similarly, y∈R(x) for some x in D . This means that x R y and y S z, so x(S○R)z. Thus z∈(S○R)(D),so S(R(D))⊆(S○R)(D). This proves the theorem.
6.请用真值表验证(p⇒q)和(~q⇒~p)逻辑相等.
proof:
注:当(p⇒q)<=>(~q⇒~p)是永真式,也即重言式tautology时,我们说它们是逻辑相等logically equivalent
7.证明(P(X),⊆)是格,其中P(X)是集合X的幂集.
proof:
①设A∈P(X),因为A⊆A恒成立,所以⊆满足自反性reflexive.
②设A,B∈P(X),如果A⊆B且B⊆A,则A=B,所以⊆满足反对称性antisymmetric.
③设A,B,C∈P(X),如果A⊆B且B⊆C,,则A⊆C,所以⊆满足传递性transitive.(至此可以说明⊆是一个偏序关系,(P(X),⊆)是一个偏序集)
④设A,B属于偏序集(P(X),⊆),因为A⊆A∪B,B⊆A∪B,如果A⊆C,B⊆C,那么A∪B⊆C,所以A∪B是最小上边界.
⑤设A,B属于偏序集(P(X),⊆),因为A∩B⊆A,A∩B⊆B,如果C⊆A,C⊆B,那么C⊆A∩B,所以A∩B是最大下边界.
注:要证明(P(X),⊆)是一个格,首先要证明(P(X),⊆)是一个偏序集poset,再证明(P(X),⊆)中任意两个子集都有最小上边界least upper bound和最大下边界greatest lower bound
关于A,B两个集合的最小上边界和最大下边界问题,画个示意图来更直观地了解为什么A∪B是最小上边界,A∩B是最大下边界
如图所示,集合A∪B与C都是A,B的上边界,而A∪B是A,B的最小上边界
如图,A∩B与空集都是A,B的下边界,而A∩B是A,B的最大下边界
8.设π={Aᵢ:i∈I}是集合A上的一个划分,证明:对于任意集合B,所有Aᵢ∩B≠Φ的Aᵢ∩B组成的集合是A∩B的划分。
proof;
因为Aᵢ⊆A,所以Aᵢ∩B⊆A∩B
又(A₁∩B)∪(A₂∩B)∪(A₃∩B)∪…∪(Aᵢ∩B)=(A₁∪A₂∪A₃∪…∪Aᵢ)∩B=A∩B
注:此时只能说明所有Aᵢ∩B≠Φ的Aᵢ∩B组成的集合是A∩B的覆盖,要说明是划分,需要对任意i,j∈l都有(Aᵢ∩B)∩(Aⱼ∩B)=(Aᵢ∩Aⱼ)∩B=Ø∩B=Ø
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