数据结构：弗洛伊德算法（最短路径）图文详解

2024-03-27 21:27:23

弗洛伊德算法选取某个节点k作为i到j需要经过的中间节点，通过比较d(i,k)+d(k,j)和现有d(i,j)的大小，将较小值更新为路径长度，对k节点的选取进行遍历，以得到在经过所有节点时i到j的最短路径长度，通过不断加入中间点的方式更新最短路径。

具体过程看下文：

给出一个有向图，并带有权值

1，先写出图的邻接矩阵

邻接矩阵中的元素就是有向图中两点的权值，不可直接到达的两个点的权值为无穷（∞）

2，选源点，求该源点到其他各点的最短路

从源点所在的那一行选出第一个权值最小的点，这里我们选v0为源点，权值最小是10，顶点为v2，

v0->vv2 最短路就是v0->v2 路径长度为10

为什么权值最小就是到达该店的最短距离？说明：如果有到2这个点有更短的路径，第一个选择的顶点v2。

3，更新两点距离

选出v2这个顶点后，将其清除。已经选出了v0->v2这条路径，0到其他点的最短路径就可能相对之前会有所变化，这时候就要更新路径距离，用状态转移方程a[0][i]=min(a[0][i],a[0][2]+a[2][i])来更新权值。

更新后，选出顶点v3的最小权值25，并且将a[0][3]清除，并且重复上次更新操作。因为操作相同，在这里不一一画出了（偷懒了giao）

4，最短路径

5，求各个点之间的最短路径

上面举出求源点顶点v0的最短路径，要想求各个点的最短路径，只需要将源点更换，重复上述一样过程即可求出各点间的最短路径。

6弗洛伊德算法代码实现

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
int main()
{int a[21][21],m,n,i, j, w;for (int i = 1; i <= 20; i++) {for (int j = 1; j <= 20; j++) {if (i == j) {a[i][j] = 0;}else a[i][j] = INF;}}cin>>n>>m;for (int k = 1;k<= m;k++) {cin>>i>>j>>w;a[i][j] = w;a[j][i] = w;}for (int p = 1; p <= n; p++) {for (int i = 1; i <= n; i++) {if (a[i][p] == INF) continue;for (int j = 1; j <= n; j++) {if (i==j)continue;a[i][j] = min(a[i][j], a[i][p] + a[p][j]);}}}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {cout << a[i][j] << " ";}cout << endl;}return 0;
}

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