[复变函数]第24堂课 6.3 辐角原理

1. 对数留数 $$\beex \bea \cfrac{1}{2\pi i}\int_C\cfrac{f'(z)}{f(z)}\rd z &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_C \rd \ln f(z)\\ &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_C\rd \ln |f(z)|+i\rd \arg f(z)\\ &=\cfrac{1}{2\pi }\int_C\rd \arg f(z)\\ &=\cfrac{1}{2\pi }\lap_C\arg f(z), \eea \eeex$$ 左端称为对数留数; 右端则是当 $z$ 绕着周线 $C$ 旋转一周后 $f(z)$ 的辐角的改变量除以 $2\pi$.

2. 为计算 $\cfrac{1}{2\pi i}\int_C \cfrac{f'(z)}{f(z)}\rd z$, 须考虑 $\cfrac{f'(z)}{f(z)}$ 的奇点.

(1) 若 $a$ 为 $f$ 的 $n$ 阶零点, 则 $a$ 为 $\cfrac{f'(z)}{f(z)}$ 的一阶极点, 且 $$\bex \underset{z=a}{\Res}\sez{\cfrac{f'(z)}{f(z)}}=n. \eex$$

(2) 若 $b$ 为 $f$ 的 $m$ 阶极点, 则 $b$ 为 $\cfrac{f'(z)}{f(z)}$ 的一阶极点, 且 $$\bex \underset{z=a}{\Res}\sez{\cfrac{f'(z)}{f(z)}}=-m. \eex$$

(3) 应用 Cauchy 留数定理, 我们有辐角原理: $$\bex \serd{\ba{rl} f\mbox{ 在 }C\mbox{ 内亚纯}\\ f\mbox{ 在 }C\mbox{ 上解析,}\ \neq 0 \ea}\ra \cfrac{1}{2\pi }\lap_C\arg f(z)=\cfrac{1}{2\pi i}\int_C \cfrac{f'(z)}{f(z)}\rd z =N(f,C)-P(f,C). \eex$$

(4) 例: 考察 $f(z)=(z-1)(z-2)^2(z-3)$, $C:|z|=3$.

3. Rouch\'e 定理

(1) $$\bex \serd{\ba{rl} f,\phi\mbox{ 在 }C\mbox{ 内解析, 连续到 }C\\ |f(z)|>|\phi(z)|\mbox{ 在 }C\mbox{ 上} \ea}\ra N(f+\phi,C)=N(f,C). \eex$$

(2) 例: 方程 $z^7-5z^5-2z+1=0$ 在单位圆内有 $(\quad)$ 个根.

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