【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（5）：克拉默法则
文章目录
- 前言
- 1.7 克拉默法则
- 内容
- 定理4
- 定理4的逆否定理
- 非奇次/奇次线性方程组
- 定理5
- 结语
前言
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机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
1.7 克拉默法则
内容
含有n个未知数x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn的n个线性方程的方程组
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2....................an1x1+an2x2+...+annxn=bn(1)\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases} \tag1⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2....................an1x1+an2x2+...+annxn=bn(1)
克拉默法则：如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即
D=∣a11...a1na21...a2n....an1...ann∣≠0D=\begin{vmatrix} a_{11} &... & a_{1n}\\ a_{21} & ... &a_{2n}\\ . & &. \\ . & & . \\ a_{n1} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} \neq 0D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21..an1.........a1na2n..ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0
那么，方程组（1）就有唯一解
x1=D1D,x2=D2D,...,xn=DnDx_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}x1=DD1,x2=DD2,...,xn=DDn
其中，Dj(j=1,2,...,n)D_j(j=1,2,...,n)Dj(j=1,2,...,n)是把系数行列式DDD中的第j列元素用方程组右端的常数项替代后得到的n阶行列式，
即
Dj=∣a11..a1,j−1..b1a1,j+1..a1n...............an1..an,j−1..bnan,j+1..ann∣D_j=\begin{vmatrix} a_{11} &..& a_{1,j-1}&..&b_1&a_{1,j+1}&.. & a_{1n}\\ . & &. & & . & .& &. \\ . & &. & & . & .& &. \\ . & &. & & . & .& &. \\ a_{n1} &..& a_{n,j-1}&..&b_n&a_{n,j+1}&.. & a_{nn}\\ \end{vmatrix}Dj=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11...an1....a1,j−1...an,j−1....b1...bna1,j+1...an,j+1....a1n...ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
定理4
如果线性方程组（1）的系数行列式D≠0D \neq 0D=0,那么（1）一定有解，且解是唯一的
定理4的逆否定理
如果线性方程组（1）无解或有2个不同的解，那么它的系数行列式一定为0
非奇次/奇次线性方程组
奇次线性方程组
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0....................an1x1+an2x2+...+annxn=0\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0....................an1x1+an2x2+...+annxn=0
非奇次线性方程组（b1，b2...bnb_1，b_2...b_nb1，b2...bn不全为0）
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2....................an1x1+an2x2+...+annxn=bn\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2....................an1x1+an2x2+...+annxn=bn
对于奇次线性方程组
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0....................an1x1+an2x2+...+annxn=0\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0....................an1x1+an2x2+...+annxn=0
x1=x2=...=xn=0x_1=x_2=...=x_n=0x1=x2=...=xn=0一定是它的解，这个解叫做零解。若一组解不全为0，则叫做非零解。
奇次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。
定理5
如果奇次线性方程组的系数行列式D≠0D \neq0D=0,则奇次线性方程组没有非零解。
因为D≠0D \neq0D=0，说明解只有一个，而零解又是一定存在的，那么该解就只能是零解了。
如果奇次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式D=0D =0D=0
结语
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～
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