基于李雅普诺夫函数的跟踪控制（一）

2024-04-12 12:05:33

基于李雅普诺夫函数的跟踪控制（一）

前言

本系列将会介绍基于李雅普诺夫函数的跟踪控制问题，以多个不同的例子来具体说明，如何根据李雅普诺夫函数来求解控制律，实现跟踪控制。总共分为7篇博客讲解，分别针对不同的情况。

跟踪控制—系列博客总览

一阶时不变系统，系统已知，且无扰动
一阶时不变系统，系统已知，有扰动
高阶时不变系统，系统已知，且无扰动
一阶时不变系统，系统部分已知，且无扰动
一阶时变系统，系统部分已知，且无扰动
一阶时变系统，系统部分未知，且有扰动
一阶时不变系统，系统完全未知，且无扰动

本期讲解的是：一阶时不变系统，系统已知，且无扰动的情况。

问题描述

已知系统
x˙=f(x)+u(1)\dot x=f(x)+u \tag{1} x˙=f(x)+u(1)
其中，f(x)f(x)f(x)已知，求解uuu使得xxx跟踪xdx_dxd。

求解

设误差及其导数
e(t)=xd(t)−x(t)(2)e(t)=x_d(t)-x(t) \tag{2}e(t)=xd(t)−x(t)(2)
e(t)˙=xd(t)˙−x(t)˙=xd(t)˙−f(x)−u(3)\dot {e(t)}=\dot{x_d(t)}-\dot{x(t)} = \dot{x_d(t)}- f(x)-u \tag{3}e(t)˙=xd(t)˙−x(t)˙=xd(t)˙−f(x)−u(3)

取李雅普诺夫函数:
V=12e2(4)V = \frac{1}{2}e^2 \tag{4} V=21e2(4)
则，V˙=e(e˙)=e(xd(t)˙−f(x)−u)(5)\dot V = e(\dot e)=e( \dot{x_d(t)}- f(x)-u) \tag{5} V˙=e(e˙)=e(xd(t)˙−f(x)−u)(5)

如果VVV是一个单调递减的函数，那么随着时间推移，VVV将会一直下降，同时VVV是满足V>=0V >=0V>=0,所以VVV就会一直趋近于0，所以根据这个思想，令：

xd(t)˙−f(x)−u=−ke(6)\dot{x_d(t)}- f(x)-u=-ke \tag{6} xd(t)˙−f(x)−u=−ke(6)

则可以得到：

V˙=−ke2(7)\dot V = -ke^2 \tag{7} V˙=−ke2(7)

u(t)=xd(t)˙−f(x)+ke(8)u(t) = \dot{x_d(t)}- f(x)+ke \tag{8} u(t)=xd(t)˙−f(x)+ke(8)

再次说明，基于以上的控制u(t)u(t)u(t)，VVV则是一个单调递减的函数，当e≠0e \neq 0e=0时，V就一直下降，即e下降，直到e=0e=0e=0。

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