最短路问题的线性规划模型

话不多说，设图G=(V,E)，我们要求的是从顶点rrr到sss的最短路径。
直接上模型：

其中：cec_ece是eee这条边的权值。xex_exe是代表这条边走不走。然后xwvx_{wv}xwv就是指e=(w,v)e=(w,v)e=(w,v)这条边走不走。
对于bvb_vbv，举个例子如下：

以那个bv=−1,v=rb_v=-1,v=rbv=−1,v=r为例，代入上面的约束条件，令v=rv=rv=r,即源点，顶点1。则那个约束条件变为：

0−x12−x13=−10-x_{12}-x_{13}=-10−x12−x13=−1

为什么前面那个求和是0？因为没有到源点的边，即没有入边。出边有两条，相减为-1，我想你已经想到了，这代表既然是求从源点1到4的最短路劲，那么这条路径要么经过2，要么经过3，即其中肯定要走而且只能是其中1个。

其他一次类推，比如终点表示必然要有而且仅有一条入边。中间节点表示从一条入边进，必然从一条出边出，且不能多，相抵了为0。

有人会问，这他喵不应该是整数规划嘛？怎么那个限制条件是xvw≥0x_{vw}\ge 0xvw≥0。的确整数规划0-1规划可以，但是在本文情况中，不必是，也可以得到最终的结果是取0或1，比较神奇。比如下面这样不会是最优解。

虽然这个解xvwx_{vw}xvw满足约束条件，但肯定不是最优解。别忘了我们还有一个最小化目标函数呢，你把所有边都走了遍，其中某些乘以了一个很大的权值，肯定不如最短路那个更小的权值。

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