频域滤波—方波变换中的沃尔什变换与哈达玛变换

沃尔什变换

沃尔什变换是由+1或-1的基本函数的级数展开而成的，满足完备正交特性，属于方波型正交变换。由于沃尔什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的两个状态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信号处理

一维沃尔什变换

沃尔什变换要求空域矩阵阶数NNN满足N=2nN=2^nN=2n，若满足，则有：F(μ)=∑x=0N−1f(x)g(x,μ)F(\mu)=\sum_{x=0}^{N-1}f(x)g(x,\mu)F(μ)=x=0∑N−1f(x)g(x,μ)g(x,μ)=1N∏i=0n−1(−1)∑i=0n−1bi(x)bn−1(μ)g(x,\mu)=\frac{1}{N}\prod_{i=0}^{n-1}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}b_i(x)b_{n-1}(\mu)}g(x,μ)=N1i=0∏n−1(−1)∑i=0n−1bi(x)bn−1(μ)一维沃尔什反变换：f(x)=∑x=0N−1F(μ)h(x,μ)f(x)=\sum_{x=0}^{N-1}F(\mu)h(x,\mu)f(x)=x=0∑N−1F(μ)h(x,μ)h(x,μ)=∏i=0n−1(−1)∑i=0n−1bi(x)bn−1(μ)h(x,\mu)=\prod_{i=0}^{n-1}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}b_i(x)b_{n-1}(\mu)}h(x,μ)=i=0∏n−1(−1)∑i=0n−1bi(x)bn−1(μ)其中，bi(x)b_i(x)bi(x)是xxx的二进制表达式中第iii位的意思
例如N=2nN=2^nN=2n，n=3n=3n=3，x=6x=6x=6，则有x=6=(110)2x=6=(110)_2x=6=(110)2，可得b0(x)=0b_0(x)=0b0(x)=0、b1(x)=1b_1(x)=1b1(x)=1、b2(x)=1b_2(x)=1b2(x)=1

与傅立叶变换不同，沃尔什变换的变换核是由+1或-1构成的二值对称矩阵

例如：求N=22N=2^2N=22的沃尔什变换F(0)=14∑x=03[f(x)∏i=01(−1)bi(x)+b1−i(0)]=14[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]F(0)=\frac{1}{4}\sum_{x=0}^{3}[f(x)\prod_{i=0}^{1}(-1)^{b_i(x)+b_{1-i}(0)}]=\frac{1}{4}[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]F(0)=41x=0∑3[f(x)i=0∏1(−1)bi(x)+b1−i(0)]=41[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]F(1)=14∑x=03[f(x)∏i=01(−1)bi(x)+b1−i(1)]=14[f(0)+f(1)−f(2)−f(3)]F(1)=\frac{1}{4}\sum_{x=0}^{3}[f(x)\prod_{i=0}^{1}(-1)^{b_i(x)+b_{1-i}(1)}]=\frac{1}{4}[f(0)+f(1)-f(2)-f(3)]F(1)=41x=0∑3[f(x)i=0∏1(−1)bi(x)+b1−i(1)]=41[f(0)+f(1)−f(2)−f(3)]F(2)=14∑x=03[f(x)∏i=01(−1)bi(x)+b1−i(2)]=14[f(0)−f(1)+f(2)−f(3)]F(2)=\frac{1}{4}\sum_{x=0}^{3}[f(x)\prod_{i=0}^{1}(-1)^{b_i(x)+b_{1-i}(2)}]=\frac{1}{4}[f(0)-f(1)+f(2)-f(3)]F(2)=41x=0∑3[f(x)i=0∏1(−1)bi(x)+b1−i(2)]=41[f(0)−f(1)+f(2)−f(3)]F(3)=14∑x=03[f(x)∏i=01(−1)bi(x)+b1−i(3)]=14[f(0)−f(1)−f(2)+f(3)]F(3)=\frac{1}{4}\sum_{x=0}^{3}[f(x)\prod_{i=0}^{1}(-1)^{b_i(x)+b_{1-i}(3)}]=\frac{1}{4}[f(0)-f(1)-f(2)+f(3)]F(3)=41x=0∑3[f(x)i=0∏1(−1)bi(x)+b1−i(3)]=41[f(0)−f(1)−f(2)+f(3)]其中方括号中各项的符号即位变换核的符号

可见沃尔什变换的本质是将离散序列f(x)f(x)f(x)中各项值的符号按规律改变进行加减运算

二维沃尔什变换

F(μ,ν)=1N∑x=0N−1∑x=0N−1f(x,y)g(x,y,μ,ν)F(\mu,\nu)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu,\nu)F(μ,ν)=N1x=0∑N−1x=0∑N−1f(x,y)g(x,y,μ,ν)f(x,y)=1N∑μ=0N−1∑ν=0N−1F(μ,ν)g(x,y,μ,ν)f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{\mu=0}^{N-1}\sum_{\nu=0}^{N-1}F(\mu,\nu)g(x,y,\mu,\nu)f(x,y)=N1μ=0∑N−1ν=0∑N−1F(μ,ν)g(x,y,μ,ν)g(x,y,μ,ν)=G=1N∏i=0n−1(−1)∑i=0n−1[bi(x)bn−1−i(μ)+bi(y)bn−1−i(ν)]g(x,y,\mu,\nu)=G=\frac{1}{N}\prod_{i=0}^{n-1}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}[b_i(x)b_{n-1-i}(\mu)+b_i(y)b_{n-1-i}(\nu)]}g(x,y,μ,ν)=G=N1i=0∏n−1(−1)∑i=0n−1[bi(x)bn−1−i(μ)+bi(y)bn−1−i(ν)]表达为矩阵形式为F=1N2GfGF=\frac{1}{N^2}GfGF=N21GfGf=GFGf=GFGf=GFG

与傅立叶变换一样，二维沃尔什变换是可分离的，可以通过两个一维沃尔什变换完成计算g(x,y,μ,ν)=g1(x,μ)g2(y,ν)g(x,y,\mu,\nu)=g_1(x,\mu)g_2(y,\nu)g(x,y,μ,ν)=g1(x,μ)g2(y,ν)

实例：求离散沃尔什变换
f=[1331133113311331]f=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}f=⎣⎢⎢⎡1111333333331111⎦⎥⎥⎤可知N=4N=4N=4，其变换核为G=[111111−1−11−11−11−1−11]G=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}G=⎣⎢⎢⎡111111−1−11−11−11−1−11⎦⎥⎥⎤则有F=1N2GfG=142[111111−1−11−11−11−1−11][1331133113311331][111111−1−11−11−11−1−11]=[200−1000000000000]F=\frac{1}{N^2}GfG=\frac{1}{4^2}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}F=N21GfG=421⎣⎢⎢⎡111111−1−11−11−11−1−11⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡1111333333331111⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡111111−1−11−11−11−1−11⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡200000000000−1000⎦⎥⎥⎤可以看出，沃尔什变换具有信息集中的作用，原始数据中数字越是均匀分布，变换后的数据越是集中于边角区域

哈达玛变换

与沃尔什变换类似，由哈达玛变换核组成的矩阵是一个正交对称矩阵，属于方波型正交变换，不同之处在于其行、列次序不一样。

一维哈达玛变换

哈达玛变换要求空域矩阵阶数NNN满足N=2nN=2^nN=2n，若满足，则有：F(μ)=∑x=0N−1f(x)g(x,μ)F(\mu)=\sum_{x=0}^{N-1}f(x)g(x,\mu)F(μ)=x=0∑N−1f(x)g(x,μ)g(x,μ)=1N(−1)∑i=0n−1bi(x)bi(μ)g(x,\mu)=\frac{1}{N}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}b_i(x)b_{i}(\mu)}g(x,μ)=N1(−1)∑i=0n−1bi(x)bi(μ)一维哈达玛反变换：f(x)=∑x=0N−1F(μ)h(x,μ)f(x)=\sum_{x=0}^{N-1}F(\mu)h(x,\mu)f(x)=x=0∑N−1F(μ)h(x,μ)h(x,μ)=(−1)∑i=0n−1bi(x)bi(μ)h(x,\mu)=(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}b_i(x)b_{i}(\mu)}h(x,μ)=(−1)∑i=0n−1bi(x)bi(μ)bi(x)b_i(x)bi(x)是xxx的二进制表达式中第iii位的意思

二维哈达玛变换

F(μ,ν)=1N∑x=0N−1∑x=0N−1f(x,y)g(x,y,μ,ν)F(\mu,\nu)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu,\nu)F(μ,ν)=N1x=0∑N−1x=0∑N−1f(x,y)g(x,y,μ,ν)f(x,y)=1N∑μ=0N−1∑ν=0N−1F(μ,ν)g(x,y,μ,ν)f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{\mu=0}^{N-1}\sum_{\nu=0}^{N-1}F(\mu,\nu)g(x,y,\mu,\nu)f(x,y)=N1μ=0∑N−1ν=0∑N−1F(μ,ν)g(x,y,μ,ν)g(x,y,μ,ν)=G=1N(−1)∑i=0n−1[bi(x)bi(μ)+bi(y)bi(ν)]g(x,y,\mu,\nu)=G=\frac{1}{N}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}[b_i(x)b_{i}(\mu)+b_i(y)b_{i}(\nu)]}g(x,y,μ,ν)=G=N1(−1)∑i=0n−1[bi(x)bi(μ)+bi(y)bi(ν)]二维哈达玛变换是可分离的，可变换为两个一维哈达玛变换来进行计算。

列率
在哈达玛矩阵中，沿列方向上符号改变的次数称为列率，类似傅立叶变换中频率的概念。

例如有矩阵H=[11111−11−111−1−11−1−11]H=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}H=⎣⎢⎢⎡11111−11−111−1−11−1−11⎦⎥⎥⎤
其第一列元素符号无变化，于是第一列的列率为0；
第二列a12a_{12}a12到a22a_{22}a22符号由正变负、a22a_{22}a22到a32a_{32}a32符号由负变正、a32a_{32}a32到a42a_{42}a42符号由正变负，共改变3次，因此第二列的列率为3；以此类推，第三列的列率为1，第四列的列率为2

哈达玛变换在列率上是随机的，不利于实现逐次倍加法的快速运算，但是能导出一个简单的递推关系，构造其变换矩阵，而后进行哈达玛正向和反向变换

哈达玛变换核矩阵
在满足N=2nN=2^nN=2n的情况下
有最低阶N=2N=2N=2时的哈达玛变换矩阵H2H_2H2为：H2=[111−1]H_2=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}H2=[111−1]有任意阶N=2NN=2NN=2N时的哈达玛矩阵为：H2N=[HNHNHN−HN]H_{2N}=\begin{bmatrix} H_N & H_N \\ H_N & -H_N \\ \end{bmatrix}H2N=[HNHNHN−HN]由此可推得：H4=[H2H2H2−H2],H8=[H4H4H4−H4],...H_{4}=\begin{bmatrix} H_2 & H_2 \\ H_2 & -H_2 \\ \end{bmatrix},H_{8}=\begin{bmatrix} H_4 & H_4 \\ H_4 & -H_4 \\ \end{bmatrix},...H4=[H2H2H2−H2],H8=[H4H4H4−H4],...
将哈达玛矩阵按照列率顺序排列，得到定序的哈达玛变换对为：F(μ,ν)=1N∑x=0N−1∑x=0N−1f(x,y)g(x,y,μ,ν)F(\mu,\nu)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu,\nu)F(μ,ν)=N1x=0∑N−1x=0∑N−1f(x,y)g(x,y,μ,ν)f(x,y)=1N∑μ=0N−1∑ν=0N−1F(μ,ν)g(x,y,μ,ν)f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{\mu=0}^{N-1}\sum_{\nu=0}^{N-1}F(\mu,\nu)g(x,y,\mu,\nu)f(x,y)=N1μ=0∑N−1ν=0∑N−1F(μ,ν)g(x,y,μ,ν)g(x,y,μ,ν)=G=1N(−1)∑i=0n−1[bi(x)pi(μ)+bi(y)pi(ν)]g(x,y,\mu,\nu)=G=\frac{1}{N}(-1)^{\sum_{i=0}^{n-1}[b_i(x)p_{i}(\mu)+b_i(y)p_{i}(\nu)]}g(x,y,μ,ν)=G=N1(−1)∑i=0n−1[bi(x)pi(μ)+bi(y)pi(ν)]其中p0(μ)=bn−1(μ)pi(μ)=bn−i(μ)+bn−1−i(μ)\begin{aligned} p_0(\mu) & = b_{n-1}(\mu) \\ p_i(\mu) & = b_{n-i}(\mu)+b_{n-1-i}(\mu) \\ \end{aligned}p0(μ)pi(μ)=bn−1(μ)=bn−i(μ)+bn−1−i(μ)表达为矩阵形式为F=1N2HfHF=\frac{1}{N^2}HfHF=N21HfHf=HFHf=HFHf=HFH

实例：求离散哈达玛变换f=[1331133113311331]f=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}f=⎣⎢⎢⎡1111333333331111⎦⎥⎥⎤易知N=4N=4N=4，其哈达玛变换核矩阵为：H4=[H2H2H2−H2]=[11111−11−111−1−11−1−11]H_{4}=\begin{bmatrix} H_2 & H_2 \\ H_2 & -H_2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}H4=[H2H2H2−H2]=⎣⎢⎢⎡11111−11−111−1−11−1−11⎦⎥⎥⎤H4H_4H4按列率排序后得到H4=[111111−1−11−1−111−11−1]H_4=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ \end{bmatrix}H4=⎣⎢⎢⎡111111−1−11−1−111−11−1⎦⎥⎥⎤由此按照哈达玛变换的计算公式可得F=1N2H4fH4=[20−10000000000000]F=\frac{1}{N^2}H_4fH_4=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}F=N21H4fH4=⎣⎢⎢⎡20000000−10000000⎦⎥⎥⎤

将沃尔什变换与哈达玛变换进行对比可以发现，两个变换的结果之间只是矩阵列的顺序不同，不会影响两者应用于压缩时的效率