哈达玛变换矩阵-数字图像处理

3.1 二维离散傅里叶变换(DFT) 3.1.1 二维连续傅里叶变换 二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下： 设 是独立变量 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为二维连续函数 的付里叶变换，并定义 为 的反变换。 和 为傅里叶变换对。 3.1.2 二维离散傅里叶变换 尺寸为M×N的离散图像函数的DFT 反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得 DFT变换进行图像处理时有如下特点： (1)直流成分为F(0,0)。 (2)幅度谱|F(u,v)|对称于原点。 (3)图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1．周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性来了许多方便。 我们首先来看一维的情况。 设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换： 幅度谱： DFT取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 ，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。 根据定义，有 在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ，可以在一个周期的变换中(u＝0，1，2，…，N－1)，求得一个完整的频谱。 推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有： DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。 (0,0)点的变换值为： 即 f (x,y) 的平均值。 如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。 2．可分性 离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示 这里 对于每个x值，当v＝0，1，2，…，N－1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。 3．离散卷积定理 设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为 卷积定理 【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解：MATLAB程序如下： A=imread('pout.tif'); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心 figure, imshow(log(abs(A2)+1),[0 10]); %显示变换后的频谱图 3.2 二维离散余弦变换(DCT) 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。 3.2.1 一维离散余弦变换 将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1．以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n) 得： 3．对0到2N－1的2N个点的离散周期序列 作DFT，得 令i＝2N－m－1，则上式为 为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义： DCT逆变换为 【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。 解：MATLAB程序如下： A=imread('pout.tif'); %读入图像 I=dct2(A); %对图像作DCT变换 subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[0 5]); 3.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换(DHT) 前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型。 图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。 沃尔什(Walsh)变换。 沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。 沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。 采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。 3.3.1 哈达玛变换 哈达玛矩阵：元素仅由＋1和－1组成的正交方阵。 正交方阵：指它的任意两行(或两列)都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。 哈达玛变换要求图像的大小为N＝2n 。 一维哈达玛变换核