CodeForces 961G Partitions 题解

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题目大意： 有 nnn 个物品，每个物品有一个权值 wiw_iwi，一个集合的权值为 f(S)=∣S∣∑x∈Swxf(S)=|S|\sum_{x\in S} w_xf(S)=∣S∣∑x∈Swx，nnn 件物品的一个划分 RRR 的贡献为 ∑S∈Rf(S)\sum_{S\in R}f(S)∑S∈Rf(S)，求所有划分的总贡献。

题解

容易发现一个柿子：
∑i=1nwi∑j=1njCn−1j−1S(n−j,k−1)\sum_{i=1}^n w_i\sum_{j=1}^n jC_{n-1}^{j-1}S(n-j,k-1) i=1∑nwij=1∑njCn−1j−1S(n−j,k−1)

jjj 表示枚举一个物品所在集合的大小，后面一串是计算方案数，其中 SSS 是第二类斯特林数，然后乘上权值就是答案（不难发现每个物品的系数都是一样的）。

看起来求一列斯特林数就可以做完了，但毒瘤的是模数不是 nttnttntt 模数……但似乎巨佬们在这个基础上大力推式子也是能做的。

另一个更简单的办法：原来是考虑一个点所在的集合大小，其实这等价于考虑别的点对自己的贡献（即和自己在同一个集合的方案数），自己对自己的贡献显然是 S(n,k)S(n,k)S(n,k)，别的点对自己的贡献是 (n−1)S(n−1,k−1)(n-1)S(n-1,k-1)(n−1)S(n−1,k−1)。

而 S(n,k)S(n,k)S(n,k) 有一个经典的 O(n)O(n)O(n) 容斥求法，这个应该比较众所周知这里就不讲了，代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 200010
#define mod 1000000007int n,k,val;
int fac[maxn],inv[maxn],inv_fac[maxn];
void FacInit(){fac[0]=inv_fac[0]=inv[1]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;for(int i=1;i<=n;i++)inv_fac[i]=1ll*inv_fac[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int x,int y){return 1ll*fac[x]*inv_fac[y]%mod*inv_fac[x-y]%mod;}
int ksm(int x,int y){int re=1;for(;(y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
int calcS(int x,int y){int re=0;for(int i=0;i<y;i++){re+=1ll*(i&1?-1:1)*C(y,i)*ksm(y-i,x)%mod;re%=mod;re=(re+mod)%mod;}re=1ll*re*inv_fac[y]%mod;return re;
}int main()
{scanf("%d %d",&n,&k);FacInit();for(int i=1,x;i<=n;i++)scanf("%d",&x),val=(val+x)%mod;printf("%lld",1ll*val*(calcS(n,k)+1ll*(n-1)*calcS(n-1,k)%mod)%mod);
}

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