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曲率及其曲率半径及计算

一、弧微分二、曲率及其计算公式例1 计算等双曲线x y ?1在点(1，1)处的曲率．例2 抛物线y?ax2?bx?c 上哪一点处的曲率最大？三、曲率圆与曲率半径例3 设工件表面的截线为抛物线y?0．4x 2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？ * 曲率及其曲率半径的计算一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径有向弧段的值、弧微分公式曲率、曲率的计算公式曲率圆曲率半径 s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0，相反时s<0．有向弧段的值 s(简称为弧s) ： M M0 ( x y O M0 x0 M x s>0 x y O M0 x0 M x s<0 显然，弧 s 是 x 的函数：s?s(x)，而且s(x)是x的单调增加函数．设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 y?f(x)上的对应点为M，M?，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增量为Ds，于是下面来求s(x)的导数及微分． M0 M M ? x0 x x+Dx Dx Dy x y O Ds ?1，因为因此由于s?s(x)是单调增加函数，从而于是 ds ? 这就是弧微分公式． ) j M1 M2 N1 N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度， M0 M M ? Ds Da x y O a+Da ) a ) s C 设曲线C是光滑的，曲线线C上从点M 到点M ?的弧为Ds ，切线的转角为Da ．平均曲率：曲率：曲率的计算公式：设曲线的直角坐标方程是y?f(x)，且f(x)具有二阶导数．于是从而，有因为tan a ?y ? ，所以解因此，y?|x?1??1，y??|x?1?2．曲线x y ?1在点(1，1)处的曲率为解由y?ax2?bx?c，得 y??2ax?b ，y???2a ，代入曲率公式，得要使K 最大，只须2ax?b?0，抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K?|2a| ．对应的点为 2．若曲线由参数方程给出，那么曲率如何计算？ 1．直线上任一点的曲率等于什么？讨论：提示：设直线方程为y=ax+b，则y? =a， y?? = 0．于是提示：．曲线在点M处的曲率K(K ?0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系：曲线在M点的曲率中心 M y=f(x) x y O D r 曲线在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆 4 2 O 2 x y y=0．4 x2

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