三角Puzzle受力分析

首先对最顶端的小块进行受力分析，其侧视图如图所示。

当静止时，其摩擦力大小为：
fs=Gsinθf_s=Gsin\theta fs=Gsinθ
当小块运动时，其动摩擦大小为：
fa=μGcosθf_a=\mu Gcos\theta fa=μGcosθ
若要使得最上面的小块滑动，需要满足的条件为：
fs>faf_s>f_a fs>fa
对于下面的小块，其侧视图受力分析与上图一致。正视图受力分析如下图所示。

当静止时，其摩擦力大小为：
fs′=Gsinθcos30°=32Gsinθf_s'=Gsin\theta cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}Gsin\theta fs′=Gsinθcos30°=23Gsinθ
当运动时，其摩擦力大小由两部分构成，一部分是滑块和底面的摩擦，一部分是滑块和侧面的摩擦。因此总体摩擦力大小为：
fa′=μGsinθsin30°+μGcosθ=12μGsinθ+μGcosθf_a'=\mu Gsin\theta sin30°+\mu Gcos\theta=\frac{1}{2}\mu Gsin\theta+\mu Gcos\theta fa′=μGsinθsin30°+μGcosθ=21μGsinθ+μGcosθ
下面的滑块不运动的条件为：
fs′<fa′f_s'<f_a' fs′<fa′
综合两个条件可以得到不等式
Gsinθ>μGcosθGsin\theta>\mu Gcos\theta Gsinθ>μGcosθ

32Gsinθ<12μGsinθ+μGcosθ\frac{\sqrt{3}}{2}Gsin\theta<\frac{1}{2}\mu Gsin\theta+\mu Gcos\theta 23Gsinθ<21μGsinθ+μGcosθ

这个不等式解得：
μ<tanθ<2μ3−μ\mu < tan\theta <\frac{2\mu}{\sqrt{3}-\mu} μ<tanθ<3−μ2μ
一般来说，摩擦系数是0到1之间的，因此，使用Matlab进行绘图可以看到角度在不同摩擦系数下的上下界如下图。

Matlab代码如下

clear all;
miu = linspace(0, 1, 100);
up = atan(2*miu./(sqrt(3)-miu))/pi*180;
down = atan(miu)/pi*180;figure;
plot(miu, down);
hold on;
plot(miu, up);
hold off;
xlabel('miu');
ylabel('angle');

查资料可得，铁和铝的摩擦系数为0.17（不一定准）。因此，可以解得角度的取值范围为9.1805°~11.6304°。即当三角块斜放到这个角度时，可以达到上方小块滑动而下方小块不动的效果。

值得注意的是，当滑块从静止状态转移到滑动状态时，所需要的摩擦力是略大于稳定滑动时的动摩擦的。因此，上面求得的下界和上界都是偏小的。综上，当倾斜角度到达11°左右时候理论上可以达成效果。

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