专题：拓扑排序(Topological sort)模式

拓扑排序用于查找相互依赖的元素的线性排序。例如，如果事件“B”依赖于事件“A”，则“A”按拓扑顺序排在“B”之前。

该模式定义了一种简单的方法来理解对一组元素执行拓扑排序的技术。

该模式的工作方式如下：

初始化

a) 使用 HashMap(或List数组)将图存储在邻接列表中;

b) 使用 HashMap 来构建邻接表, 计算所有节点的入度

c) 将所有入度为0的顶点都将作为源并存储在队列queue中。

a) 对于每个源，执行以下操作：

-i) 将其添加到排序列表中。

— ii) 从图的邻接表中获取它所有的邻接点。

— iii) 将每个孩子的入度减少 1。

— iv) 如果孩子的入度变为“0”，则将其添加到源队列中。

b) 重复(a)，直到源队列为空。

具体过程请查看下图. 一个有向图包括[A, B, C, D, E]个节点和对应的边.

找到入度为0的节点B:

将B放入队列中,去掉B节点,将与B临界的节点入度减少1.

如果节点入度减少为0,将该节点放入队列中,重复上述操作:

最终得到的topological sort序列如下所示:

下面我们来看leetcode中topological sort可以解决的一类问题:

https://leetcode.com/problems/course-schedule/

这道题符合拓扑排序的要求,可以看出来课程是有先后顺序,互相依赖的.我们使用有向图可以很好的表示这种关系.那么问题可以转变成一个有向图中是否存在环的问题.如果存在环,证明存在课程之前的循环依赖,那么该课程就不能完成所有的课程.

代码如下:

public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {// 使用邻接表建图List[] graph = new ArrayList[numCourses];int[] inDegree = new int[numCourses];// queue存储入度为0的节点Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();// 给graph[i]分配空间for (int i = 0; i < numCourses; i++) {graph[i] = new ArrayList<Integer>();}// 使用邻接表建图，生成inDegree值for (int[] edge : prerequisites) {graph[edge[1]].add(edge[0]);inDegree[edge[0]]++;}// 将入度为0的节点放到queuefor (int i = 0; i < numCourses; i++) {if (inDegree[i] == 0) {queue.offer(i);}}int count = 0;  // 最终check出队列的课程数量是否等于输入的数量，等于说明每个节点都变成了入度为0的节点，表示边已经删除殆尽while(!queue.isEmpty()) {int course = queue.poll();count++;for (int i = 0; i < graph[course].size(); i++) {  // 查找它的临接节点，删除边(将它们的度减1)int neighbor = (int)graph[course].get(i);if (--inDegree[neighbor] == 0) queue.offer(neighbor); // 如果入度为0则加到queue中}}return count == numCourses;}

https://leetcode.com/problems/course-schedule-ii/

这道题和上面的一样,唯一不同的是需要将课程顺序排列出来. 而结果就是topological sort之后存储的元素. 代码如下:

public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {// 使用邻接表建图List[] graph = new ArrayList[numCourses];int[] inDegree = new int[numCourses];int[] res = new int[numCourses];  // 返回的topological sorting结果int index = 0;// queue存储入度为0的节点Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();// 给graph[i]分配空间for (int i = 0; i < numCourses; i++) {graph[i] = new ArrayList<Integer>();}// 使用邻接表建图，生成inDegree值for (int[] edge : prerequisites) {graph[edge[1]].add(edge[0]);inDegree[edge[0]]++;}// 将入度为0的节点放到queuefor (int i = 0; i < numCourses; i++) {if (inDegree[i] == 0) {queue.offer(i);res[index++] = i;}}while(!queue.isEmpty()) {int course = queue.poll();for (int i = 0; i < graph[course].size(); i++) {  // 查找它的临接节点，删除边(将它们的度减1)int neighbor = (int)graph[course].get(i);if (--inDegree[neighbor] == 0) {queue.offer(neighbor); // 如果入度为0则加到queue中res[index++] = neighbor;}}}return index == numCourses ? res : new int[0];}

https://leetcode.com/problems/course-schedule-iv/

这道题和上面两道都是课程预定,这道题就是给出一个quaries列表,需要将其中的课程依次check是否可上.那么也就是在一个有向图中,查看对应的两门课程是否有一个可达的关系.我们也可以采用拓扑排序,需要做的是需要生成一个课程i的先修课程集合j的对应关系的map, 而生成这个map可以使用topological sort算法.

具体的解释可以查看代码和注释:

public List<Boolean> checkIfPrerequisite(int numCourses, int[][] prerequisites, int[][] queries) {// 返回结果List<Boolean> res = new ArrayList<>();// prev(i,j) 表示i的先修课程是集合jMap<Integer, Set<Integer>> prev = new HashMap<>(); // 建立邻接表和入度表List[] graph = new ArrayList[numCourses];int[] inDegree = new int[numCourses];// 初始化图的邻接表和入度表for (int i = 0; i < numCourses; i++)  {graph[i] = new ArrayList<>();prev.put(i, new HashSet<>());}// 创建邻接表和入度表for (int[] edge : prerequisites) {graph[edge[0]].add(edge[1]);inDegree[edge[1]]++;}// topological sort找出prev关系map// 具体算法为先将入度为0的节点放到队列q中;// 出列一个节点,找到所有它的邻接点,邻接点为key,value为当前出队列的节点curr,注意还要把所有curr的先修课程给加上// 入度-1,将入度为0的节点放到队列中,循环操作,直到队列为空Queue<Integer> q = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < numCourses; i++) {if (inDegree[i] == 0) q.offer(i);}while(!q.isEmpty()) {int curr = q.poll();for (int i = 0; i < graph[curr].size(); i++) {int adjecent = (int) graph[curr].get(i);prev.get(adjecent).add(curr);   // 邻接节点的先修课程为currprev.get(adjecent).addAll(prev.get(curr)); // 把curr的全部先修课程也要加上if (--inDegree[adjecent] == 0) {q.offer(adjecent);}}}// 遍历queries,找到最终的结果for (int[] query : queries) {if (prev.get(query[1]).contains(query[0]))res.add(true);else res.add(false);}return res;}

该文参考

https://hackernoon.com/14-patterns-to-ace-any-coding-interview-question-c5bb3357f6ed

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