关键路径详解（前置知识:拓扑排序)

图论之关键路径讲解

回顾所需知识：

拓扑排序

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

拓扑排序对应施工的流程图具有特别重要的作用，它可以决定哪些子工程必须要先执行，哪些子工程要在某些工程执行后才可以执行。为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动(子工程)，图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。

通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。

一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行（对于数据流来说就是死循环）。在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。

AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。

拓扑排序的实现步骤※

在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出
从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧（白话就是：删除所有和它有关的边）
重复上述两步，直至所有顶点输出，循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。

因此，也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。

AOE网介绍

AOE-网只是比AOV-网多了一个边的权重，而且AOV-网一般是设计一个庞大的工程各个子工程实施的先后顺序，而我们的AOE-网就是不仅仅关系整个工程中各个子工程的实施的先后顺序，同时也关系整个工程完成最短时间。

通常在AOE网中列出完成预定工程计划所需要进行的活动，每个活动计划完成的时间，要发生哪些事件以及这些事件与活动之间的关系，从而可以确定该项工程是否可行，估算工程完成的时间以及确定哪些活动是影响工程进度的关键

AOE网特点

AOE-网还有一个特点就是：只有一个起点（入度为0的顶点）和一个终点（出度为0的顶点），并且AOE-网有两个待研究的问题：
1、完成整个工程需要的时间
2、哪些活动是影响工程进度的关键

关键路径介绍

关键路径：AOE-网中，从起点到终点最长的路径的长度（长度指的是路径上边的权重和）
关键活动：
假设起点是vo，则我们称从v0到vi的最长路径的长度为vi的最早发生时间
同时，vi的最早发生时间也是所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间
使用e（i）表示活动ai最早发生时间，除此之外，我们还定义了一个活动最迟发生时间，使用l（i）表示，不推迟工期的最晚开工时间。我们把e（i）=l（i）的活动ai称为关键活动，因此，这个条件就是我们求一个AOE-网的关键路径的关键所在了。

求关键路径的步骤

输入顶点数和边数，已经各个弧的信息建立图
从源点v1出发，令ve[0]=0;按照拓扑序列往前求各个顶点的ve。如果得到的拓扑序列个数小于网的顶点数n，说明我们建立的图有环，无关键路径，直接结束程序
从终点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓扑序列，往后求其他顶点vl值
根据各个顶点的ve和vl求每个弧的e（i）和l（i），如果满足e（i）=l（i），说明是关键活动。

代码实现

例题
SDUT2498

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int M = 5e4 + 5;struct N {int in, out, weight;
}edge[M];               //用结构体表示边int node[M];           //记录经过的节点
int distant[M];         //记录最长路径
int degree_in[M];       //记录每个点的入度   目的是寻找源点（没有入度的点）
int sourcepoint;        //源点    void bellman(int point_number, int edge_number) {memset(node, 0, sizeof(node));memset(distant, 0, sizeof(distant));for (int k = 2; k <= point_number; k++) {     //除去源点，只需要进行(点的数量-1)次求值int flag = 0;                                //每次找下一个点的时候都会重置flagfor (int i = 1; i <= edge_number; i++) {     //动态规划，找K次，每次都更新源点的权值，最后源点的权值最大，输出的就是最大路径if ((distant[edge[i].in] < distant[edge[i].out] + edge[i].weight) || ((distant[edge[i].in] == distant[edge[i].out] + edge[i].weight) && (edge[i].out < node[edge[i].in]))) {distant[edge[i].in] = distant[edge[i].out] + edge[i].weight;   //把权值放到每条边的起点上，最后输出源点的权值node[edge[i].in] = edge[i].out;flag = 1;}}if (flag == 0) {                           //如果flag没更新，说明循环每条边的时候找不到比原来的权值更大的路径了，跳出循环即可break;                                    //这时候源点处已经找到了最大权值}}printf("%d\n", distant[sourcepoint]);          //跳出循环后，输出最终结果while (node[sourcepoint] != 0) {printf("%d %d\n", sourcepoint, node[sourcepoint]);sourcepoint = node[sourcepoint];}
}int main() {int point_number, edge_number;int sv, ev, w;while (~scanf("%d%d", &point_number, &edge_number)) {memset(edge, 0, sizeof(edge));              //多组数据输入时 初始化很重要memset(degree_in, 0, sizeof(degree_in));for (int i = 1; i <= edge_number; i++) {scanf("%d%d%d", &sv, &ev, &w);edge[i].in = sv;        //每条边的入度、出度、权重edge[i].out = ev;edge[i].weight = w;degree_in[ev]++;      //每个点的入度}for (int i = 1; i <= point_number; i++) {       //寻找源点if (degree_in[i] == 0) {                        //入度为零的点为源点sourcepoint = i;}   }bellman(point_number, edge_number);}return 0;
}

看不懂的可以自取视频理解，多看两遍就差不多了