买卖股票的最佳时机

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

思路

• 定义一个现金的概念，即当前手中还有多少钱，初始值为0
  对于每天分类讨论即可

分五步走：

1. 确定dp数组及其下标含义：dp[i][0] 代表第 i 天手中持有股票现金数,dp[i][1] 代表第 i 天手中不持有股票现金数
2. 推导dp数组：
   今天持有股票dp[i][0]
   昨天持有股票，今天不买股票，现金数为昨天的dp[i][0] = dp[i - 1][0]
   今天买入股票，因为只能买入一次股票，所以现金为，今天股票的价格 dp[i][0] = -prices[i]
   今天不持有股票dp[i][1]
   昨天就不持有股票，今天不买股票，dp[i][1] = dp[i - 1][1]
   昨天持有股票，今天卖出股票，dp[i]][1] = dp[i - 1][0] + prices[i]
   最大收益，所以取最大值，即
   dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i])
3. 初始化： dp[0][0] = -prices[i] dp[0][1] = 0
4. 遍历顺序：i 从小往大
5. 举例推导dp数组：最大利润一定是卖出股票的现金数，所以输出dp[prices.length - 1][1]

代码

 public int maxProfit(int[] prices) {int[][] dp = new int[prices.length + 1][2];dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;for(int i = 1; i < prices.length; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);//股票还在dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);//股票没了}return dp[prices.length - 1][1];
}

由于此题每次股票的价格只依赖前一天的价格，所以可以存储前一天的信息，简化成一维dp

public int maxProfit(int[] prices) {int[] dp = new int[2];dp[0] = -prices[0];dp[1] = 0;for(int i = 1; i < prices.length; i++) {int pre0 = dp[0];int pre1 = dp[1];dp[0] = Math.max(pre0, -prices[i]);//股票还在dp[1] = Math.max(pre1, prices[i] + pre0);}return dp[1];
}

买卖股票的最佳时机 II

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/
在股票I 中添加一个条件，可以重复多次购买股票，不过每次购买之前都要先卖出手中的股票

思路

由于可以多次购买股票，所以当今天买入股票时，应该加上上一次没买股票时的现金，因为要加上已经交易过赚得的现金

与上一题不同之处只有推导公式,今天持有股票时，如果是今天买入股票，dp方程应该是
dp[i][0] = dp[i - 1][1] - prices[i]

代码

public int maxProfit(int[] prices) {int[][] dp = new int[2][2];dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;for(int i = 1; i < prices.length; i++) {dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);//要加上前一次不持股的现金数dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i]);}return dp[(prices.length-1) % 2][1];
}

当然，此题也可以优化成一维dp

public int maxProfit(int[] prices) {int[] dp = new int[2];dp[0] = -prices[0];dp[1] = 0;for(int i = 1; i < prices.length; i++) {int pre0 = dp[0];int pre1 = dp[1];dp[0] = Math.max(pre0, dp[1] - prices[i]);dp[1] = Math.max(pre1, dp[0] + prices[i]);}return dp[1];
}

买卖股票的最佳时机 III

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/
此题在前两题的基础上，规定了只能卖出股票两次

思路

我们可以想到，手上的现金数只可能有五种情况
0 没有操作
1 第一次买入
2 第一次卖出
3 第二次买入
4 第二次卖出
进而推导出dp
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i]);

代码

public int maxProfit(int[] prices) {int[][] dp = new int[prices.length + 1][5];dp[0][1] = -prices[0];dp[0][3] = -prices[0];for(int i = 1; i < prices.length; i++) {dp[i][0] = dp[i-1][0];dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i]);dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i]);dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i]);}return dp[prices.length - 1][4];
}

优化成一维

public int maxProfit(int[] prices) {int[] dp = new int[5];dp[1] = -prices[0];dp[3] = -prices[0];for(int i = 1; i < prices.length; i++) {int pre0 = dp[0];int pre1 = dp[1];int pre2 = dp[2];int pre3 = dp[3];int pre4 = dp[4];dp[0] = pre0;dp[1] = Math.max(pre1, dp[0] - prices[i]);dp[2] = Math.max(pre2, dp[1] + prices[i]);dp[3] = Math.max(pre3, dp[2] - prices[i]);dp[4] = Math.max(pre4, dp[3] + prices[i]);}return dp[4];
}

买卖股票的最佳时机 IV

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/
最多完成k笔交易

思路

可以观察上一题，发现，k为偶数时+prices[i] ，k为奇数时-prices[i]
初始化dp时，k为奇数，dp[0][k] = -prices[0]

代码

public int maxProfit(int k, int[] prices) {int[][] dp = new int[prices.length + 1][k * 2  + 1];if(prices.length == 0) return 0;for(int i = 1; i <= 2 * k; i += 2) {dp[0][i] = -prices[0];}for(int i = 1; i < prices.length; i++) {dp[i][0] = dp[i-1][0];for(int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - 1] - prices[i]);dp[i][j+1] = Math.max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j + 1 - 1] + prices[i]);}}return dp[prices.length - 1][k * 2];
}

最佳买卖股票时机含冷冻期

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/
在可以多次购买股票的基础上，增加了一天的冷冻期，即卖出股票后的第一天不能买入股票

思路

本题增加了一个冷冻期，所以dp数组也应该增加一个冷冻期状态
所以状态划分为：

0 买入股票状态（今天买入了股票，或者之前就买入了股票）
卖出股票状态分为两种
1 前天就卖出了股票，度过了冷冻期，现在是卖出状态
2 今天卖出
3 冷冻期状态

推导公式：

• 状态1：今天买入状态
  • 昨天就已经是买入状态了，dp[i][0] = dp[i - 1][0]
  • 今天刚买入：
    • 昨天是持续卖出状态2：dp[i][0] = dp[i - 1][1] - prices[i]
    • 昨天是冷冻期：dp[i][0] = dp[i - 1][3] - prices[i]
      取最大值
• 状态2：度过了冷冻期的卖出状态
  • 前一天是度过了冷冻期的卖出状态：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
  • 前一天是冷冻期：dp[i][1] = dp[i - 1][3]
• 状态3：今天卖出：
  • 只有一种情况，昨天一定是买入股票状态状态1：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]
• 状态4：冷冻期状态
  • 昨天卖出:dp[i][3] = dp[i - 1][2]

代码

public int maxProfit(int[] prices) {int n = prices.length;if(n == 0) return 0;int[][] dp = new int[n][4];dp[0][0] = -prices[0];for(int i = 1; i < n; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]) - prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i -1 ][3], dp[i - 1][1]);dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];dp[i][3] = dp[i - 1][2];}return Math.max(dp[n - 1][1], Math.max(dp[n - 1][2], dp[n - 1][3]));}
}

买卖股票的最佳时机含手续费

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/
此题就在第二题的基础上加上了手续费，其实本质还是一样

思路

只需要在每次卖出股票的时候现金减去手续费即可

代码

public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int[] dp = new int[2];dp[0] = -prices[0];for(int i = 1; i < prices.length; i++) {int pre0 = dp[0], pre1 = dp[1];dp[0] = Math.max(pre0, pre1 - prices[i]);dp[1] = Math.max(pre1, pre0 + prices[i] - fee);}return dp[1];
}

总结

• dp方程的每一项只需要上一项推导出来时，我们可以使用滚动数组来降低时间复杂度和空间复杂度
• 股票系列问题要明确一个现金的概念，和一个买卖的概念，围绕他展开分类讨论

参考

Carls：https://mp.weixin.qq.com/s/sC5XyEtDQWkonKnbCvZhDw

dp：股票系列I II III IV 含冷冻期 含手续费相关推荐

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