矩阵论-线性空间与线性变换（一）

矩阵论刚开始学习的时候很抽象，感觉很多不懂，但是反复看了几遍定义后，得到了一些心得体会。

定义1.1

线性空间：线性空间在本科线性代数课中在最后的章节很简单的谈了一下，没想到矩阵论开头就是暴击，第一次上课直接懵了。线性空间有这些前提条件，假设我们现在有一个非空的集合V，V中有元素x,y,z。称之为向量。同时存在一个数域K，其中有元素m、l、k。现在在V中定义加法运算，对于 $\mathbf{x,y}\subset V$ ,有唯一的和 $\mathbf{x+y}\subset V$ ，并且还满足下列四条性质。

(1)结合律 $\mathbf{x+(y+z)=(x+y)+z}$

(2)交换律 $\mathbf{x+y=y+x}$

(3)存在0元素，即 $\mathbf{x+0=x}$

(4)存在负元素，即对于任意 $\mathbf{x}\subset V$ ，有 $\mathbf{y}\subset V$ ，有 $\mathbf{x+y=0}$ ，即称 $\mathbf{y}$ 为负元素，记为 $\mathbf{-x}$ 。

在V中定义数乘运算，即对于任意 $\mathbf{x}\subset V$ ，有 $\mathbf{kx}\subset V$ ，同时数乘运算还满足以下四条性质。

(1)数因子分配律 $\mathbf{k(x+y)=kx+ky}$

(2)分配律 $(k+l)\mathbf{x}=k\mathbf{x}+l\mathbf{x}$

(3)结合律 $k(l\mathbf{x})=l(k\mathbf{x})$

(4) $1\mathbf{x}=\mathbf{x}$

称V为数域K上的线性空间。

定理1.1

零元素和负元素都是唯一的。

定义1.2

在线性空间 $V$ 中，线性无关的向量组的最大的个数为 $m$ ,则称这个线性空间的维数为 $n$ 。记为 $dim V=n$ 。

定义1.3

设集和 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，对于 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 是属于 $V$ 的n个向量(n>=1)，若满足：

(1) $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 线性无关

(2) $V$ 中任一向量都是 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 的线性组合

则称 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 为线性空间 $V$ 的一组基， $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 为基向量，值得注意的是，基并不是唯一的。

定义1.4

称线性空间 $V^{n}$ 的一组基 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 为线性空间的坐标系， $x$ 在该坐标系下的线性表示为： $x=\varepsilon _{1}x_{1}+\varepsilon _{2}x_{2}+\varepsilon _{n}x_{n}$ ，则 $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},...,\varepsilon _{n}$ 为该坐标系下的坐标或分量，记为 $(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},...,\varepsilon _{n})^{T}$ ,这个要注意下，一般都是这么记的。

定理1.2

若 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 为线性空间 $V^{n}$ 的一组基， $x$ 为该线性空间的一向量，则该向量可以唯一的表示称这组基的线性组合

下面给出两个重要公式：

设 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 为线性空间 $V^{n}$ 的一组基， $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 为该线性空间的一组新的基，则基之间的变换为：

$\left\{\begin{matrix} y_{1} =& c_{11} x_{1}+&c_{21} x_{2} +...+&c_{n1}x_{n} & \\y_{2}= &c_{12} x_{1}+&c_{22}x_{2}+...+& c_{n2}x_{n} & \\ ..... & & & & \\ y_{n}= &c_{n1}x_{1} + &c_{n2} x_{2}+...+ & c_{nn}x_{n} & \end{matrix}\right.$

可以写成 $(y_{1},y_{2},...y_{n})=(x_{1},x_{2},...,x_{n})C$

其中 $C=\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} & ... &c_{1n} \\ c_{21} &c_{22} & ... &c_{2n} \\ ... & & & \\ c_{n1} &c_{n2} & ... & c_{nn} \end{bmatrix}$

假设 $x$ 在旧基下的坐标为 $(\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{n})^{T}$ ，在新基下的坐标为 $(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},...,\varepsilon _{n})^{T}$ .则 $(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},...,\varepsilon _{n})^{T}=C(\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{n})^{T}$ ,计算直接套公式即可，关键是找对C

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