注: 以下内容均由个人整理, 不保证完全准确, 如有纰漏, 欢迎交流讨论
参考: 杨明, 刘先忠. 矩阵论(第二版)[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2005

1 线性空间与线性变换

1.1 线性空间

线性空间

Def 1.1: 设 V V V 是一个非空集合( V ≠ ∅ V\neq \varnothing V=∅)， F F F 是一个数域．在其中定义两种运算, 加法与数乘(满足封闭性)： ∀ α , β ∈ V , α + β ∈ V ; \forall \alpha,\beta\in V,\alpha+\beta\in V; ∀α,β∈V,α+β∈V; ∀ α ∈ V , k ∈ F , k α ∈ V \forall\alpha\in V,k\in F,k\alpha\in V ∀α∈V,k∈F,kα∈V 并且满足下面 8 条运算性质:
5 条运算律:

加法交换律: α + β = β + α \alpha+\beta=\beta+\alpha α+β=β+α
加法结合律: ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) (α+β)+γ=α+(β+γ)
数乘结合律: ( k l ) α = k ( l α ) (kl)\alpha=k(l\alpha) (kl)α=k(lα)
乘法分配律: ( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ

3 个特殊元素:

零元(唯一): ∃ α 0 ∈ V , ∀ α ∈ V , α + α 0 = α \exists\alpha_0\in V,\forall\alpha\in V,\alpha+\alpha_0=\alpha ∃α0∈V,∀α∈V,α+α0=α, 记 α 0 = 0 ⃗ \alpha_0=\vec{0} α0=0
负元(唯一): ∀ α ∈ V , ∃ β ∈ V : α + β = 0 ⃗ \forall\alpha\in V,\exists\beta\in V:\alpha+\beta=\vec{0} ∀α∈V,∃β∈V:α+β=0 , 记 β = − α \beta=-\alpha β=−α
数 1: ∃ 1 ∈ F , 1 ⋅ α = α \exists 1\in F,1\cdot\alpha=\alpha ∃1∈F,1⋅α=α

则称 V V V 是数域 F F F 上的线性空间, 记为 V ( F ) V(F) V(F).
注: 判断是否为线性空间时, 注意加法封闭性

线性空间的基

Def’ 1.2: ∃ α 1 , α 2 , . . . , α n ∈ V ( F ) : \exists\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\in V(F): ∃α1,α2,...,αn∈V(F): ∀ β ∈ V , β = ∑ i = 1 n x i α i = [ α 1 , . . . , α n ] [ x 1 , . . . , x n ] T \forall\beta\in V, \beta=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i=[\alpha_1,...,\alpha_n][x_1,...,x_n]^T ∀β∈V,β=∑i=1nxiαi=[α1,...,αn][x1,...,xn]T, 则称 { α 1 , α 2 , . . . , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\} {α1,α2,...,αn} 是 V ( F ) V(F) V(F) 的一组基.

d i m V = n dim V=n dimV=n(即基向量的个数), V n ( F ) V_n(F) Vn(F)

坐标

Def’: V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 中, 基 { α i } \{\alpha_i\} {αi}, β = ∑ i = 1 n x i α i \beta=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i β=∑i=1nxiαi, 则 { x i } \{x_i\} {xi} 为 β \beta β 在基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 下的坐标, X = ( x 1 , . . . , x n ) T X=(x_1,...,x_n)^T X=(x1,...,xn)T 为对应坐标(向量).

注: 坐标是列向量

同构

V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 通过基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 与数域 F F F 同构.

过渡矩阵与基变换公式

基变换公式: { α i } \{\alpha_i\} {αi} 和 { β i } \{\beta_i\} {βi} 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 两组基:

( β 1 , . . . , β n ) = ( α 1 , . . . , α n ) C n × n (\beta_1,...,\beta_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)C_{n\times n} (β1,...,βn)=(α1,...,αn)Cn×n

基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 到基 { β i } \{\beta_i\} {βi} 的过渡矩阵: C n × n C_{n\times n} Cn×n:

C C C 的第 k k k 列是 β k \beta_k βk 在基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 下的坐标
C C C 是非奇异矩阵( ∣ C ∣ ≠ 0 |C|\neq 0 ∣C∣=0)

坐标变换公式

V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 中两组基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 和 { β i } \{\beta_i\} {βi}: ( β 1 , . . . , β n ) = ( α 1 , . . . , α n ) C n × n (\beta_1,...,\beta_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)C_{n\times n} (β1,...,βn)=(α1,...,αn)Cn×n
设向量 α ∈ V \alpha\in V α∈V: α = ( α 1 , . . . , α n ) X \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)X α=(α1,...,αn)X, α = ( β 1 , . . . , β n ) Y \alpha=(\beta_1,...,\beta_n)Y α=(β1,...,βn)Y, 则:

X = C Y X=CY X=CY 或 Y = C − 1 X Y=C^{-1}X Y=C−1X

C C C 为基坐标从 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 到 { β i } \{\beta_i\} {βi} 的过渡矩阵.

子空间

Def’: W ⊆ V n ( F ) , W ≠ ∅ W\subseteq V_n(F),W\neq\varnothing W⊆Vn(F),W=∅, 若 W W W 的元素关于 V V V 中加法与数乘向量法运算也构成线性空间, 则称 W W W 是 V V V 的一个子空间．
判别: W W W 的线性运算(加法和数乘)封闭, W W W 中有零元 0 ⃗ ∈ W \vec{0}\in W 0 ∈W

由向量组 { α i } ⊆ V n ( F ) \{\alpha_i\}\subseteq V_n(F) {αi}⊆Vn(F) 生成的子空间: L { α 1 , . . . , α n } = { ∑ i = 1 n k i α i ∣ k i ∈ F } L\{\alpha_1,...,\alpha_n\}=\{\sum_{i=1}^nk_i\alpha_i|k_i\in F\} L{α1,...,αn}={∑i=1nkiαi∣ki∈F}

矩阵的零空间列空间

矩阵 A ∈ F m × n A\in F^{m\times n} A∈Fm×n 的零空间:
N ( A ) = { X ∈ F n : A X = 0 } = { [ A 1 , . . . , A n ] [ x 1 , . . . , x n ] T } = { ∑ i = 1 n A i x i } ⊆ F n N(A)=\{X\in F^n:AX=0\}=\{[A_1,...,A_n][x_1,...,x_n]^T\}=\{\sum_{i=1}^nA_ix_i\}\subseteq F^n N(A)={X∈Fn:AX=0}={[A1,...,An][x1,...,xn]T}={∑i=1nAixi}⊆Fn
矩阵 A ∈ F m × n A\in F^{m\times n} A∈Fm×n 的列空间(值空间):
R ( A ) = L { A 1 , . . . , A n } = { y : ∃ x ∈ F n , y = A x } ⊆ F m R(A)=L\{A_1,...,A_n\}=\{y:\exists x\in F^n,y=Ax\}\subseteq F^m R(A)=L{A1,...,An}={y:∃x∈Fn,y=Ax}⊆Fm, A i A_i Ai 为矩阵 A A A 的第 i i i 列

交空间和空间

交空间: W 1 ∩ W 2 = { α ∣ α ∈ W 1 ∧ α ∈ W 2 } W_1\cap W_2=\{\alpha|\alpha\in W_1\wedge\alpha\in W_2\} W1∩W2={α∣α∈W1∧α∈W2}
和空间: W 1 + W 2 = { α = α 1 + α 2 ∣ α 1 ∈ W 1 , α 2 ∈ W 2 } W_1+W_2=\{\alpha=\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in W_1,\alpha_2\in W_2\} W1+W2={α=α1+α2∣α1∈W1,α2∈W2}

求法:
交空间: 满足子空间 W 1 , W 2 W_1, W_2 W1,W2 基构成的矩阵 ( A ∣ B ) = 0 (A|B)=0 (A∣B)=0
和空间: 合并两个子空间的基.

包含关系:
W 1 ∩ W 2 ⊆ W 1 , W 2 ⊂ W 1 + W 2 ⊆ V n ( F ) W_1\cap W_2\subseteq W_1, W_2\subset W_1+W_2\subseteq V_n(F) W1∩W2⊆W1,W2⊂W1+W2⊆Vn(F)
d i m ( W 1 ∩ W 2 ) ≤ d i m W i ≤ d i m ( W 1 + W 2 ) ≤ d i m V n ( F ) dim(W_1\cap W_2)\leq dimW_i\leq dim(W_1+W_2)\leq dimV_n(F) dim(W1∩W2)≤dimWi≤dim(W1+W2)≤dimVn(F)

Th 1.7 维数定理: d i m W 1 + d i m W 2 = d i m ( W 1 + W 2 ) + d i m ( W 1 ∩ W 2 ) dimW_1+dimW_2=dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2) dimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)

子空间的直和

Def 1.6: 设 W 1 W_1 W1 和 W 2 W_2 W2 是线性空间 V V V 的子空间, W ＝ W 1 + W 2 W＝W_1+W_2 W＝W1+W2, 如果 W 1 ∩ W 2 ＝ { 0 ⃗ } W_1\cap W_2＝\{\vec{0}\} W1∩W2＝{0 }, 则称 W W W 是 W 1 W_1 W1 与 W 2 W_2 W2 的直和子空间. 记为 W ＝ W 1 ⊕ W 2 W＝W_1\oplus W_2 W＝W1⊕W2．

直和子空间等价条件:

W ＝ W 1 ⊕ W 2 W＝W_1\oplus W_2 W＝W1⊕W2
∀ X ∈ W , X = X 1 + X 2 , X 1 ∈ W 1 , X 2 ∈ W 2 \forall X\in W, X=X_1+X_2, X_1\in W_1, X_2\in W_2 ∀X∈W,X=X1+X2,X1∈W1,X2∈W2, X X X 表示唯一
W W W 中零向量表示唯一: 0 ⃗ = X 1 + X 2 , X 1 ∈ W 1 , X 2 ∈ W 2 \vec{0}=X_1+X_2, X_1\in W_1, X_2\in W_2 0 =X1+X2,X1∈W1,X2∈W2 ⇒ X 1 = 0 ⃗ , X 2 = 0 ⃗ X_1=\vec{0},X_2=\vec{0} X1=0 ,X2=0
d i m W = d i m W 1 + d i m W 2 dimW=dimW_1+dimW_2 dimW=dimW1+dimW2

直和补子空间 U U U: V n = W ⊕ U V_n=W\oplus U Vn=W⊕U

1.2 内积空间

Def 1.7 内积 ( α , β ) : V n ( F ) → F (\alpha,\beta): V_n(F)\rightarrow F (α,β):Vn(F)→F: 满足

对称性: ( α , β ) = ( β , α ) (\alpha,\beta)=(\beta,\alpha) (α,β)=(β,α)
线性性: ( k α , β ) = k ( α , β ) (k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta) (kα,β)=k(α,β) ( α + β , γ ) = ( α , β ) + ( α , γ ) (\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma) (α+β,γ)=(α,β)+(α,γ)
正定性: ( α , α ) ≥ 0 (\alpha,\alpha)\geq 0 (α,α)≥0 ( α , α ) = 0 ⟺ α = 0 ⃗ (\alpha,\alpha)=0\iff\alpha=\vec{0} (α,α)=0⟺α=0

内积空间: [ V n ( F ) ; ( α , β ) ] [V_n(F);(\alpha,\beta)] [Vn(F);(α,β)]
欧式空间: F = R F=R F=R
酉空间: F = C F=C F=C
[ R n ; ( α , β ) = α T β = β T α ] [R^n;(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha] [Rn;(α,β)=αTβ=βTα] 标准正交基: 自然基 { e i } \{e_i\} {ei}
[ C n ; ( α , β ) = β H α ] [C^n;(\alpha,\beta)=\beta^H\alpha] [Cn;(α,β)=βHα], β H \beta^H βH 为 β \beta β 共轭转置标准正交基: 自然基 { e i } \{e_i\} {ei}
[ R m × n ; ( A , B ) = t r ( B T A ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n b j i a i j ] [R^{m\times n};(A,B)=tr(B^TA)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nb_{ji}a_{ij}] [Rm×n;(A,B)=tr(BTA)=∑i=1m∑j=1nbjiaij] 标准正交基: 自然基 { E i } \{E_i\} {Ei}
[ C m × n ; ( A , B ) = t r ( B H A ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n b j i ‾ a i j ] [C^{m\times n};(A,B)=tr(B^HA)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\overline{b_{ji}}a_{ij}] [Cm×n;(A,B)=tr(BHA)=∑i=1m∑j=1nbjiaij] 标准正交基: 自然基 { E i } \{E_i\} {Ei}

向量长度

向量长度: ∣ ∣ α ∣ ∣ = ( α , α ) ||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)} ∣∣α∣∣=(α,α) , ∣ ∣ α ∣ ∣ = ∣ k ∣ ∥ α ∥ ||\alpha||=|k|\Vert\alpha\Vert ∣∣α∣∣=∣k∣∥α∥

Cauchy 不等式: ∣ ( α , β ) ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ ∣ ∣ β ∣ ∣ |(\alpha,\beta)|\leq||\alpha||\ ||\beta|| ∣(α,β)∣≤∣∣α∣∣ ∣∣β∣∣
三角不等式: ∣ ∣ α + β ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\alpha+\beta||\leq ||\alpha||+||\beta|| ∣∣α+β∣∣≤∣∣α∣∣+∣∣β∣∣, ∣ ∣ α − β ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\alpha-\beta||\leq||\alpha||+||\beta|| ∣∣α−β∣∣≤∣∣α∣∣+∣∣β∣∣

向量夹角 θ \theta θ: cos ⁡ θ = ( α , β ) ∣ ∣ α ∣ ∣ ∣ ∣ β ∣ ∣ \cos\theta=\frac{(\alpha,\beta)}{||\alpha||\ ||\beta||} cosθ=∣∣α∣∣ ∣∣β∣∣(α,β), α ≠ 0 ⃗ , β ≠ 0 ⃗ \alpha\neq\vec{0},\beta\neq\vec{0} α=0 ,β=0

线性空间内积的矩阵表示

设 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 一组基 { α i } \{\alpha_i\} {αi}, α , β ∈ V n ( F ) \alpha,\beta\in V_n(F) α,β∈Vn(F)
α , β \alpha,\beta α,β 坐标分别为 X , Y X,Y X,Y: α = ( α 1 , . . . , α n ) X \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)X α=(α1,...,αn)X, β = ( α 1 , . . . , α n ) Y \beta=(\alpha_1,...,\alpha_n)Y β=(α1,...,αn)Y, 则
( α , β ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i y j ‾ ( α i , α j ) = Y H A X = [ y 1 ‾ , . . . , y n ‾ ] T A [ x 1 , . . . , x n ] (\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_i\overline{y_j}(\alpha_i,\alpha_j)=\pmb{Y^HAX}=[\overline{y_1},...,\overline{y_n}]^T\ A\ [x_1,...,x_n] (α,β)=i=1∑nj=1∑nxiyj(αi,αj)=YHAXYHAXYHAX=[y1,...,yn]T A [x1,...,xn]
A A A 为度量矩阵: A H = A A^H=A AH=A 且 x H A x ≥ 0 x^HAx\geq 0 xHAx≥0

注: 度量矩阵与选择的基 { α i } \{\alpha_i\} {αi} 是对应的.

标准正交基

正交向量组 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} ⟺ ( α i , α j ) = 0 ⃗ , ∀ i ≠ j (\alpha_i,\alpha_j)=\vec{0},\forall i\neq j (αi,αj)=0 ,∀i=j (正交向量组线性无关)

标准正交基 { ϵ 1 , . . . ϵ n } \{\epsilon_1,...\epsilon_n\} {ϵ1,...ϵn} ⟺ ( ϵ i , ϵ j ) = { 1 i = j 0 i ≠ j (\epsilon_i,\epsilon_j)=\begin{cases}1\ &i=j\\0\ &i\neq j\end{cases} (ϵi,ϵj)={1 0 i=ji=j
标准正交基的度量矩阵是单位矩阵 A = I A = I A=I: ( α , β ) = Y H X (\alpha,\beta) ={Y^HX} (α,β)=YHX

求标准正交基的步骤

将 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 标准化为 { ϵ 1 , . . . ϵ n } \{\epsilon_1,...\epsilon_n\} {ϵ1,...ϵn}

Schmidt 正交化并同时标准化
β 1 = α 1 \beta_1=\alpha_1 β1=α1 ➔ ϵ 1 = β 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ \epsilon_1=\frac{\beta_1}{||\beta_1||} ϵ1=∣∣β1∣∣β1
β 2 = α 2 − ( a 2 , ϵ 1 ) ϵ 1 \beta_2=\alpha_2-(a_2,\epsilon_1)\epsilon_1 β2=α2−(a2,ϵ1)ϵ1 ➔ ϵ 2 = β 2 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ \epsilon_2=\frac{\beta_2}{||\beta_2||} ϵ2=∣∣β2∣∣β2
β 3 = α 3 − ( a 3 , ϵ 1 ) ϵ 1 − ( a 3 , ϵ 2 ) ϵ 2 \beta_3=\alpha_3-(a_3,\epsilon_1)\epsilon_1-(a_3,\epsilon_2)\epsilon_2 β3=α3−(a3,ϵ1)ϵ1−(a3,ϵ2)ϵ2 ➔ ϵ 3 = β 3 ∣ ∣ β 3 ∣ ∣ \epsilon_3=\frac{\beta_3}{||\beta_3||} ϵ3=∣∣β3∣∣β3
…
β k = α k − ∑ i = 1 k − 1 ( α k , ϵ i ) ϵ i \beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}(\alpha_k,\epsilon_i)\epsilon_i βk=αk−∑i=1k−1(αk,ϵi)ϵi ➔ ϵ k = β k ∣ ∣ β k ∣ ∣ , k ≥ 2 \epsilon_k=\frac{\beta_k}{||\beta_k||},k\geq2 ϵk=∣∣βk∣∣βk,k≥2
矩阵表示
( α 1 , α 2 , . . . , α n ) = ( ϵ 1 , ϵ 2 . . . , ϵ n ) [ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ ( α 2 , ϵ 1 ) ⋯ ( α n , ϵ 1 ) ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ ⋯ ( α n , ϵ 2 ) ⋱ ⋮ ∣ ∣ β n ∣ ∣ ] (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2...,\epsilon_n)\begin{bmatrix} ||\beta_1||&(\alpha_2,\epsilon_1)&\cdots&(\alpha_n,\epsilon_1)\\ &||\beta_2||&\cdots&(\alpha_n,\epsilon_2)\\ & &\ddots&\vdots\\ & & &||\beta_n|| \end{bmatrix} (α1,α2,...,αn)=(ϵ1,ϵ2...,ϵn)⎣⎢⎢⎢⎡∣∣β1∣∣(α2,ϵ1)∣∣β2∣∣⋯⋯⋱(αn,ϵ1)(αn,ϵ2)⋮∣∣βn∣∣⎦⎥⎥⎥⎤

正交补子空间

正交补子空间 U ⊥ = { α ∈ V n ( F ) : ∀ β ∈ U , ( α , β ) = 0 } U^\perp=\{\alpha\in V_n(F):\forall\beta\in U,(\alpha,\beta)=0\} U⊥={α∈Vn(F):∀β∈U,(α,β)=0}: U U U 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 子空间, 则 U ⊥ U^\perp U⊥ 也是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 子空间.
V n ( F ) = U ⊕ U ⊥ V_n(F)=U\oplus U^\perp Vn(F)=U⊕U⊥
("正交"体现在 U U U 和 U ⊥ U^\perp U⊥ 中向量内积为 0, "补"体现在 U U U 和 U ⊥ U^\perp U⊥ 直和为 V n ( F ) V_n(F) Vn(F))

1.3 线性变换

线性变换

Def 1.11: T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上的变换: T : V n ( F ) → V n ( F ) T: V_n(F)\rightarrow V_n(F) T:Vn(F)→Vn(F) 即 ∀ α ∈ V n ( F ) , α ′ = T ( α ) ∈ V n ( F ) \forall\alpha\in V_n(F),\alpha'=T(\alpha)\in V_n(F) ∀α∈Vn(F),α′=T(α)∈Vn(F) ( α \alpha α 为原像, T ( α ) T(\alpha) T(α) 为像)
T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上的线性变换: T T T 是变换且满足线性性: T ( k 1 α + k 2 β ) = k 1 T ( α ) + k 2 T ( β ) T(k_1\alpha+k_2\beta)=k_1T(\alpha)+k_2T(\beta) T(k1α+k2β)=k1T(α)+k2T(β)

相似变换: T λ ( α ) = λ α T_\lambda(\alpha)=\lambda\alpha Tλ(α)=λα (恒等变换 T 1 ( α ) = α T_1(\alpha)=\alpha T1(α)=α, 零变换 T 0 ( α ) = 0 ⃗ T_0(\alpha)=\vec{0} T0(α)=0 )

线性变换性质:

T ( 0 ⃗ ) = 0 ⃗ T(\vec{0})=\vec{0} T(0 )=0
T ( − α ) = − T ( α ) T(-\alpha)=-T(\alpha) T(−α)=−T(α)
T ( ∑ i = 1 m k i α i ) = ∑ i = 1 m k i T ( α i ) T(\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i)=\sum_{i=1}^mk_iT(\alpha_i) T(∑i=1mkiαi)=∑i=1mkiT(αi)
{ α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 线性相关 ⇒ { T ( α 1 ) , . . . , T ( α n ) } \{T(\alpha_1),...,T(\alpha_n)\} {T(α1),...,T(αn)} 线性相关 (线性无关 ⇏ 线性无关, eg: 零变换)

像空间零空间

Th 1.12: T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上的线性变换, 像空间和零空间均为 V n V_n Vn 子空间
像空间: R ( T ) = { β : ∃ α ∈ V n ( F ) , β = T ( α ) } R(T)=\{\beta:\exists\alpha\in V_n(F),\beta=T(\alpha)\} R(T)={β:∃α∈Vn(F),β=T(α)} (变换后的所有像组成的空间)
零空间: N ( T ) = { α : α ∈ V n ( F ) , T ( α ) = 0 ⃗ } N(T)=\{\alpha:\alpha\in V_n(F),T(\alpha)=\vec{0}\} N(T)={α:α∈Vn(F),T(α)=0 } (转换后为零向量的原像组成的空间)

线性变换 T T T 的秩 d i m R ( T ) dimR(T) dimR(T), T T T 的零度 d i m N ( T ) dimN(T) dimN(T)

线性变换的运算

设 T , T 1 , T 2 T,T_1,T_2 T,T1,T2 为 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上线性变换, 以下运算也为 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上线性变换:

加法 T 1 + T 2 T_1+T_2 T1+T2: ∀ α ∈ V n ( F ) , ( T 1 + T 2 ) ( α ) = T 1 ( α ) + T 2 ( α ) \forall\alpha\in V_n(F),(T_1+T_2)(\alpha)=T_1(\alpha)+T_2(\alpha) ∀α∈Vn(F),(T1+T2)(α)=T1(α)+T2(α)
乘法 T 1 T 2 T_1T_2 T1T2: ∀ α ∈ V n ( F ) , ( T 1 T 2 ) ( α ) = T 1 ( T 2 ( α ) ) \forall\alpha\in V_n(F),(T_1T_2)(\alpha)=T_1(T_2(\alpha)) ∀α∈Vn(F),(T1T2)(α)=T1(T2(α))
数乘 k T kT kT: ∀ α ∈ V n ( F ) , ( k T ) ( α ) = k ( T ( α ) ) \forall\alpha\in V_n(F),(kT)(\alpha)=k(T(\alpha)) ∀α∈Vn(F),(kT)(α)=k(T(α))
可逆变换 T − 1 T^{-1} T−1: ∃ T 2 : T 1 T 2 = T 2 T 1 = I \exists T_2: T_1T_2=T_2T_1=I ∃T2:T1T2=T2T1=I, 记 T 2 = T − 1 T_2=T^{-1} T2=T−1 有 T − 1 ( β ) = α ⇔ T ( α ) = β T^{-1}(\beta)=\alpha\Leftrightarrow T(\alpha)=\beta T−1(β)=α⇔T(α)=β
注: 变换乘法一般不具有结合律(同矩阵乘法)

线性变换的矩阵

在基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 下的变换矩阵 A A A: T ( α 1 , . . . , α n ) = ( α 1 , . . . , α n ) A n × n T(\alpha_1,...,\alpha_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)A^{n\times n} T(α1,...,αn)=(α1,...,αn)An×n

注: 变换矩阵 A A A 的第 i i i 列 A i A_i Ai 是基中一向量 α i \alpha_i αi 的像 T ( α i ) T(\alpha_i) T(αi) 在基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 下的坐标.

变换的坐标式: α = ( α 1 , . . . , α n ) X \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)X α=(α1,...,αn)X, T ( α ) = ( α 1 , . . . , α n ) Y T(\alpha)=(\alpha_1,...,\alpha_n)Y T(α)=(α1,...,αn)Y, 则

Y = A X \pmb{Y=AX} Y=AXY=AXY=AX

Y Y Y: α \alpha α 的像 T ( α ) T(\alpha) T(α) 坐标
A A A: 基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 下 T T T 的变换矩阵
X X X: α \alpha α 的原像坐标

常见变换矩阵:

相似变换 T λ T_\lambda Tλ: λ I \lambda I λI
线性变换 T A T_A TA 在自然基 { e i } \{e_i\} {ei} 下: A A A
P n [ x ] P_n[x] Pn[x] 中微分变换在自然基 1 , x , x 2 , . . . , x n − 1 {1,x,x^2,...,x^{n-1}} 1,x,x2,...,xn−1
[ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 2 ⋯ ⋮ 0 0 0 ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ n − 1 0 0 0 ⋯ 0 ] \begin{bmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&\vdots\\ 0&0&0&\ddots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\cdots&n-1\\ 0&0&0&\cdots&0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡000⋮0100⋮0020⋮0⋯⋯⋱⋯⋯0⋮0n−10⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

不同基下的变换矩阵

Th 1.14: V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 的基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 到基 { β 1 , . . . , β n } \{\beta_1,...,\beta_n\} {β1,...,βn} 的过渡矩阵为 C C C:

B = C − 1 A C \pmb{B=C^{-1}AC} B=C−1ACB=C−1ACB=C−1AC

A A A: 线性变换 T T T 在基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 的变换矩阵 T ( α 1 , . . . , α n ) T(\alpha_1,...,\alpha_n) T(α1,...,αn)
B B B: 线性变换 T T T 在基 { β 1 , . . . , β n } \{\beta_1,...,\beta_n\} {β1,...,βn} 的变换矩阵 T ( β 1 , . . . , β n ) T(\beta_1,...,\beta_n) T(β1,...,βn)
C C C: 基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 到基 { β 1 , . . . , β n } \{\beta_1,...,\beta_n\} {β1,...,βn} 的过渡矩阵

线性变换 T T T 在不同基下的变换矩阵是相似的.

不变子空间

Def’ 1.14: 设 T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上线性变换, W W W 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 子空间. 满足 ∀ α ∈ W , T ( α ) ∈ W \forall\alpha\in W, T(\alpha)\in W ∀α∈W,T(α)∈W. 则 W = { T ( α ) ∣ α ∈ W } W=\{T(\alpha)|\alpha\in W\} W={T(α)∣α∈W} 是 T T T 的不变子空间. (不变子空间与变换相对应, 与子空间的基的选取无关)

不变子空间判别:

定义: ∀ α ∈ W , T ( α ) ∈ W \forall\alpha\in W, T(\alpha)\in W ∀α∈W,T(α)∈W (原像和像都在一个子空间 W W W)
T ( W ) ⊆ W T(W)\subseteq W T(W)⊆W
特别地, W = L { α 1 , . . . , α n } W=L\{\alpha_1,...,\alpha_n\} W=L{α1,...,αn} 则需 T ( α i ) ∈ W , i = 1 , . . . , n T(\alpha_i)\in W, i=1,...,n T(αi)∈W,i=1,...,n (只需要基向量的像在同一子空间)

若 W = L { α 1 , . . . , α r } , U = L { α r + 1 , . . . , α n } W=L\{\alpha_1,...,\alpha_r\},U=L\{\alpha_{r+1},...,\alpha_n\} W=L{α1,...,αr},U=L{αr+1,...,αn} 是 T T T 的不变子空间, 其中 U U U 是 W W W 直和补子空间. 变换 T T T 分别在 W , U W,U W,U 的基下对应变换矩阵 A 1 , A 2 A_1, A_2 A1,A2. 有 V n ( F ) = W ⊕ U V_n(F)=W\oplus U Vn(F)=W⊕U. T T T 在基 { α 1 , . . . α r , . . . , α n } \{\alpha_1,...\alpha_r,...,\alpha_n\} {α1,...αr,...,αn} 的变换矩阵为 [ A 1 0 0 A 2 ] \begin{bmatrix}A_1&0\\0&A_2\end{bmatrix} [A100A2].

正交变换和酉变换

分别在欧式空间和酉空间内不改变内积的变换.
Th 1.15: T T T 是 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 上线性变换, 以下条件等价:

T T T 是正交(酉)变换
T T T 保持向量长度不变
T T T 把空间 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 的标准正交基变换为标准正交基
T T T 在标准正交基下的矩阵是正交矩阵(酉矩阵)

Th 1.16 正交矩阵 C C C 和酉矩阵 U U U 性质:

C T C = I C^TC=I CTC=I U H U = I U^HU=I UHU=I
∣ det ⁡ ( C ) ∣ = 1 |\det(C)|=1 ∣det(C)∣=1 ∣ det ⁡ ( U ) ∣ = 1 |\det(U)|=1 ∣det(U)∣=1
C − 1 = C T C^{-1}=C^T C−1=CT U − 1 = U H U^{-1}=U^H U−1=UH
正交(酉)矩阵的逆矩阵与乘积仍然是正交(酉)矩阵
n 阶正交(酉)矩阵的列和行向量组是欧氏(酉)空间 R n R_n Rn( C n C_n Cn) 中的标准正交基

常见基本正交变换

镜像变换: S ( x ) = x − 2 ( x , u ) u S(x)=x-2(x,u)u S(x)=x−2(x,u)u, u u u 为对称轴
平面 R 2 R^2 R2 上逆时针旋转 θ \theta θ 角的旋转变换 T θ T_\theta Tθ:
自然基下变换矩阵: A θ = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] A_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} Aθ=[cosθsinθ−sinθcosθ]
R 3 R^3 R3 空间中平面的旋转变换 T L θ T_{L\theta} TLθ: 绕空间中过原点的一条直线 L L L, 旋转一个 θ \theta θ 角:
以 { u 1 , u 2 , u 3 } \{u_1,u_2,u_3\} {u1,u2,u3} 为基的变换矩阵 A L θ = [ 1 T θ ] = [ 1 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] A_{L\theta}=\begin{bmatrix}1\\&T_\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\&\cos\theta&-\sin\theta\\ &\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} ALθ=[1Tθ]=⎣⎡1cosθsinθ−sinθcosθ⎦⎤
其中 u 1 u_1 u1 是直线 L L L 的方向, u 1 , u 2 u_1,u_2 u1,u2 是与 L L L 垂直的平面的两个基.

线性空间到线性空间的变换(不考)

Def’ 1.16: 变换 T : V n ( F ) → V m ( F ) T: V_n(F)\rightarrow V_m(F) T:Vn(F)→Vm(F).

∀ α ∈ V n ( F ) , T ( α ) ∈ V m ( F ) \forall\alpha\in V_n(F),T(\alpha)\in V_m(F) ∀α∈Vn(F),T(α)∈Vm(F)
T ( α 1 + α 2 ) = T ( α 1 ) + T ( α 2 ) T(\alpha_1+\alpha_2)=T(\alpha_1)+T(\alpha_2) T(α1+α2)=T(α1)+T(α2), T ( k α ) = k T ( α ) T(k\alpha)=kT(\alpha) T(kα)=kT(α)

线性变换: A ∈ F m × n , T A : V n ( F ) → V m ( F ) A\in F^{m\times n},T_A:V_n(F)\rightarrow V_m(F) A∈Fm×n,TA:Vn(F)→Vm(F): ∀ X ∈ F n , T A ( X ) = A X \forall X\in F^n,T_A(X)=AX ∀X∈Fn,TA(X)=AX

基 { α 1 , . . . , α n } \{\alpha_1,...,\alpha_n\} {α1,...,αn} 到基 { β 1 , . . . , β n } \{\beta_1,...,\beta_n\} {β1,...,βn} 的变换矩阵: A A A: T ( α 1 , . . . , α n ) = ( β 1 , . . . , β n ) A m × n T(\alpha_1,...,\alpha_n)=(\beta_1,...,\beta_n)A^{m\times n} T(α1,...,αn)=(β1,...,βn)Am×n

像空间: R ( T ) = { β : ∃ α ∈ V n ( F ) , β = T ( α ) } ⊆ V m ( F ) R(T)=\{\beta:\exists\alpha\in V_n(F),\beta=T(\alpha)\}\subseteq V_m(F) R(T)={β:∃α∈Vn(F),β=T(α)}⊆Vm(F)
零空间: N ( T ) = { α : α ∈ V n ( F ) , T ( α ) = 0 ⃗ } ⊆ V n ( F ) N(T)=\{\alpha:\alpha\in V_n(F),T(\alpha)=\vec{0}\}\subseteq V_n(F) N(T)={α:α∈Vn(F),T(α)=0 }⊆Vn(F)

Th 1.17: d i m R ( T ) + d i m N ( T ) = n dimR(T) + dimN(T) = n dimR(T)+dimN(T)=n

空间 V n ( F ) V_n(F) Vn(F) 到 V m ( F ) V_m(F) Vm(F) 的线性变换在不同基下的矩阵等价

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1 线性空间与线性变换

1.1 线性空间

线性空间

线性空间的基

坐标

同构

过渡矩阵与基变换公式

坐标变换公式

子空间

矩阵的零空间列空间

交空间和空间

子空间的直和

1.2 内积空间

向量长度

线性空间内积的矩阵表示

标准正交基

求标准正交基的步骤

正交补子空间

1.3 线性变换

线性变换

像空间零空间

线性变换的运算

线性变换的矩阵

不同基下的变换矩阵

不变子空间

正交变换和酉变换

常见基本正交变换

线性空间到线性空间的变换(不考)

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标准正交基

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