一、介绍32位单精度格式

二、介绍几种数的区别

三、规格数

作用：

格式：

意义：

四、非规格数

作用：

格式：

意义：

五、非规格数补充

逐渐溢出

密集分布

六、特殊数

无穷

NaN

一、介绍32位单精度格式

二、介绍几种数的区别

三、规格数

作用：

格式：

作：

四、非规格数

作用：

格式：

意义：

五、非规格数补充

逐渐溢出

密集分布

六、特殊数

无穷

NaN

在IEEE754浮点数标准，提供了两种基本浮点格式，32位单精度格式和64位双精度格式，格式如下：

下面我以32位单精度格式为例子，分别解释规格数、非规格数、特殊数

一、介绍32位单精度格式

如上图：以32位浮点数为例, 其内存状态分为3部分:1位符号位 8位阶码 23位尾数

尾数用原码表示，阶码用移码表示，偏置常数是127

浮点是的取值范围：

对应图:

二、介绍几种数的区别

形如阶码为00000000的数，即8位阶码全为0, 就代表当前数是个非规格数

形如阶码为11111111的数，即8位阶码全为1, 就代表当前数是个特殊数

如果既不是非规格数，也不是特殊数，那它就是规格数（阶码不全为0, 也不全为1）

（下面会解释）

三、规格数

作用：

用于表示最常见的数值：像3.1415、141615、2.11等

格式：

符号位, 1位: 可正可负

阶码位, 8位: 不全为0且不全为1

尾数位, 23位: 尾数位前隐藏的整数部分是1. 而非 0.（后面会解释）

对于32位浮点数来说, 规格数的阶码位的取值范围是[1, 254], 偏置bias是127, 所以阶是:[-126, 127]

阶码 = 偏置常数 + 阶

所以我们可以知道尾数位的取值范围（二进制表示）是

[1.00000000000000000000000, 1.11111111111111111111111]

换算成10进制为 [1,2)

意义：

无法表示 0 和及其靠近0 的数

why：规格数的取值范围是

这个数始终大于0, 即便2^-167非常小, 但还是大于0，那么: 一个始终大于1的数 * 一个始终大于0的数, 永远无法等于0，也就是说: 使用规格数时, 我们除了无法表示0, 也无法表示(0, 2^-167)之间的, 靠近0的极小数...

绿色区域就是32位浮点数中规格数的取值范围, 可见它取不到0和靠近0的极小数

四、非规格数

作用：

用于表示0, 以及非常靠近0的数

格式：

符号位, 1位: 可正可负

阶码位, 8位: 全为0

对于32位浮点数来说, 规格数的指数位全为0, 对应的值也是0. 偏置bias依旧是127, 但:

实际指数的计算方法是: 实际指数 = 1 - bias = 1 - 127 = -126,

即非规格数的实际指数固定为-126. 注意这是规定.（后面会解释）

其实我们可以发现, 非规格数实际指数的计算方法(实际指数 = 1 - bias), 和规格数实际指数的计算方法(实际指数 = 指数位的值 - bias)不同

尾数位, 23位: 尾数位前隐藏的整数部分是0. 而非 1.

即尾数位的取值范围（二进制）是

[0.00000000000000000000000, 0.11111111111111111111111]

换算为10进制为[0,1)

意义：

表示0和靠近0的数

非规格数尾数的取值范围是[0, 1), 指数固定为-126. 这就很简单了, 让尾数取0不就能表示数值0了:

可见当尾数取0时, 通过变更符号位, 我们可以表示出+0和-0, IEEE754规范中也确实存在着这两种表示0的方式

对于32位浮点数, 非规格数是怎么表示出

也就是如何表示出下图中的红色区域的

将规格数和非规格数的取值范围结合在一块，即

这就是非规格数的作用: 用于表示0和靠近0的数, 用于和规格数"珠联璧合", 形成一个完整的取值范围

五、非规格数补充

逐渐溢出

前文说过, 非规格数尾数的取值范围是[0, 1), 指数固定为-126

所以是尾数的变化在导致非规格数的值变大, 举例:

0 00000000 00000000000000000000001

就比

0 00000000 00000000000000000000000

要大一些

随着尾数逐渐增大, 相应的非规格数也在不断增大:

0 00000000 11111111111111111111111 这是非规格数的最大值

此时尾数(带上隐藏的整数部分0.)其实是0.11111111111111111111111, 是个比1小一点点的数, 不妨记做(1 - ε)

那, 此时非规格数的值就是

再往前前进一格, 此时会进入规格数的范围:

0 00000001 00000000000000000000000

这是个规格数,

其尾数位的值: 其实隐藏了 1. 或者说, 此时真正的尾数应该是1.00000000000000000000000 , 也就是1

其指数位的值: 是1, 则实际指数应该是1 - bias = 1-127 = -126

所以这个规格数的值就是:

这是规格数的最小值.

注意到没有: 非规格数的最大值是:

规格数的最小值是:

两者之间实现了非常平滑的过度, 非规格数的最大值非常紧密的连接上了规格数的最小值

非规格数 "一点点逐渐变大, 最后其最大值平稳的衔接上规格数的最小值", 这种特性在ieee754中被叫做逐渐溢出(gradual underflow)

明白了这一点, 就很容易想通:

① 为什么规定非规格数的尾数前隐藏的整数部分是 0. 而规格数尾数前隐藏的整数部分是1.

(这使得非规格数的尾数取值范围是[0,1), 而规格数的尾数取值范围是[1,2), 两者平滑的衔接在了一起)

② 为什么非规格数的真实指数的计算公式是 1 - bias, 而规格数的真实指数的计算公式是 指数部分的值 - bias 了

(这使得对于32位浮点数来说, 非规格数的真实指数固定为-126, 而规格数的指数是[-126, 127], 两者也平滑的衔接在了一起...)

密集分布

非规格数: 范围是

在这个范围中分布了2^23个蓝点, 则蓝点间的间隔是

规格数中蓝点最密集的区域, 也就是最靠近0的区域是:

, 在这个范围中分布了2^23个蓝点, 则蓝点间的间隔是

所以, 即便把非规格数与规格数放在一起审视, ieee754浮点数表盘上的蓝点依旧是越靠近0越密集, 越靠近∞越稀疏

六、特殊数

特殊数分为两种: 无穷和NaN

无穷

符号位, 1位: 可正可负

阶码位, 8位: 全为1

尾数位, 23位: 全部为0

当内存位于上述状态时, 就表示无穷(infinity)

具体写出来就是: * 11111111 00000000000000000000000 用于表示无穷(infinity)

其中符号位可正可负, 分别记做+infinity和-infinity

以32位浮点数为例, 其规格数的取值范围是:

当要存储的数大于规格数取值范围的最大值时, 就会被记做+infinity, 比如2^128, 刚刚超过规格数的取值范围的最大值, 就会被记做+infinity

当要存储的数小于规格数取值范围的最小值时, 就会被记做-infinity, 比如-2^128, 刚刚小于规格数的取值范围的最小值, 就会被记做-infinity

需要注意的是: 所有+infinity的内存状态都是0 11111111 00000000000000000000000, 不会有任何变动

2^128对应的内存状态是0 11111111 00000000000000000000000

2^123456789对应的内存状态还是0 11111111 00000000000000000000000

同理, -infinity的内存状态都是1 11111111 00000000000000000000000

此外: 就像非规格数的最大值可以和规格数的最小值平稳衔接一样, 规格数的最大值也可以和+infinity平稳衔接:

规格数的最大值是: 0 11111110 11111111111111111111111

尾数位其实是1.11111111111111111111111, 非常接近2, 不妨记做2-ε

阶是127

所以最大值是:

+infinity的内存状态则是: 0 11111111 00000000000000000000000

尾数其实是: 1.00000000000000000000000, 等于1

指数是128

所以+infinity的内存状态对应的值是:

可见规格数的最大值也能和+infinity平稳衔接. -infinity同理.

现在我们就集齐了整个数轴:

NaN

NaN则更简单, 前面说过, 如果计算出来的值不是一个数值, 则记录为NaN

NaN的内存状态是:

符号位, 1位: 可正可负

阶码位, 8位: 全为1

尾数位, 23位: 不全为0即可

参考：

IEEE754规范: 四, 非规格数, ±infinity, NaN - 知乎 (zhihu.com)

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