java中fractions,[CF743C]Vladik and fractions

题目

解说

找来一些思维题练手，碰上了这一道，个人觉得挺有意思，写博客以记之。

首先有$x,y,z$三个变量对于我们来说是非常不利的，因为很难进一步确定变量之间的关系。那么我们就要想办法先干掉一个变量。既然$x,y,z$都没有什么特殊要求，我们不妨构造出最简单的情况：

不妨令

\[z=n \]

则有

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n} \]

我们的式子里只有两个变量了，很容易进一步确定它们之间的关系：

\[y=\frac{n \cdot x}{x-n} \]

再一次，既然$x,y,z$没什么特殊要求，不妨令$x=n+1$使我们的工作更加简单。将$x=n+1$代入上式便可以得到:

\[y=n^2+n \]

至此，我们就已经确定了这个方程的一组特解：

\[\begin{cases} x=n+1 \\ y=n^2+n\\ z=n \end{cases}\]

提交之后欢迎直接开门红！

我们来思考一下哪里出问题了……题目中无解的情况似乎没有用到。那么在什么时候$x,y,z$会无解呢？这时我们又注意到题目中的一个条件$x \neq y \neq z$。简单地解个方程就会发现$n=1$时$n+1=n^2+n$，我们的特解不符合要求，因此我们猜测$n=1$时原方程无解。但是我们应当进行严谨的证明。

证明：因为$x,y,z \in N^{+}$且$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$，所以$x,y,z$中必然有且只有一者为$1$(可以假设若$x,y,z$均不为$1$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$最大只能为$\frac{3}{2}$；若$x,y,z$中有不止一个为$1$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$肯定大于$2$)。

所以不妨令$z=1$，则

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1 \]

即

\[\frac{1}{y}=\frac{x-1}{x} \]

因为右边的分子必须可以约分为$1$，所以$gcd(x-1,x)=x-1$，但$\forall x \in N^{+},gcd(x-1,x)=1$，所以$x$只能为$2$，但将$x=2$代入$x$与$y$的关系式可得$y=2$，不符合$x \neq y$，所以$n=1$时原方程无解。

\[Q.E.D. \]

代码

#include

using namespace std;

int main(){

int n;

scanf("%d",&n);

if(n==1) printf("-1\n");

else printf("%d %d %d\n",n,n+1,n*n+n);

return 0;

}

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